2012版高考数学 3-2-1精品系列专题08 圆锥曲线 理 （教师版2）

用心 爱心 专心 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0808 圆锥曲线圆锥曲线 理理 教师版 教师版 2 2 17 2011 2011 黄冈期末黄冈期末 过双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的一个焦点作一条渐近线的垂线 垂足恰好落在曲线 22 22 1 xy ba 上 则双曲线的离心率为 2 19 2011 2011 承德期末承德期末 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一个焦点为 1 F 顶点为 1 A 2 A P 是 双曲线上任意一点 则分别以线段 211 AAPF为直径的两圆一定 B A 相交 B 相切 C 相离 D 以上情况都有可能 2020 20112011 佛山一检 佛山一检 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 与抛物线 2 8yx 有一个公共 的焦点F 且两曲线的一个交点为P 若5PF 则双曲线的渐近线方程为 B A A 30 xy B B 30 xy C C 20 xy D D 20 xy 20 20112011 福州期末 福州期末 若双曲线 22 22 1 xy ab 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双 曲线的离心率为 A A 5B 5C 2D 2 21 20112011 哈尔滨期末 哈尔滨期末 抛物线 2 4xy 上一点到直线54 xy的距离最短 则该点的 坐标是 C A 2 1 B 0 0 C 1 2 1 D 4 1 22 20112011 哈尔滨期末 哈尔滨期末 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为 2 则 2 1 3 b a 的最 用心 爱心 专心 小值为 A A 2 3 3 B 3 3 C 2 D 1 24 20112011 哈尔滨期末 哈尔滨期末 已知M是椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上一点 两焦点为 12 F F 点P是 12 MF F 的内心 连接MP并延长交 21F F于N 则 PN MP 的值为 A A 22 ba a B 22 ba b C 22 ab b D 22 ab a 25 20112011 哈尔滨期末 哈尔滨期末 AB是抛物线xy 2 的一条焦点弦 若4 AB 则AB的中 点到直线0 2 1 x的距离为 4 9 3 AB 则OA OB 1 2 28 2011 2011 锦州期末锦州期末 双曲线 2 22 4b yx 1 b N 的两个焦点 1 F 2 F P为双曲线上一点 1122 5 OPPFFFPF 成等比数列 则 2 b 1 29 2011 2011 金华十二校一联 金华十二校一联 若0ab 则方程 22 0axyb bxayab 表示的 用心 爱心 专心 曲线只可能是 C 30 2011 2011 金华十二校一联 金华十二校一联 设 12 FF 分别为双曲线 22 22 1 0 xy Ca b ab 的左 右焦点 A为双曲线的左顶点 以 12 FF为直径的圆交双曲线某条渐近线于MN 两 点 且满足120MAN 则该双曲线的离心率为 21 3 31 2011 2011 南昌期末南昌期末 设圆C的圆心在双曲线 22 2 1 0 2 xy a a 的右焦点上 且与此双 曲线的渐近线相切 若圆C被直线 30l xy 截得的弦长等于 2 则a C A 14 B 6 C 2 D 2 55 2011 2011 九江七校二月联考 九江七校二月联考 设抛物线 2 y 2x 的焦点为 F 过点 M 3 0 的直线与 抛物线相交于 A B 两点 与抛物线的准线相交于 C BF 2 则 BCF与 ACF 的 面积之比 BCF ACF S S D A 1 2 B 2 3 C 4 7 D 4 5 解答题 1 20112011 北京朝阳区期末 北京朝阳区期末 设椭圆C 22 22 1 xy ab 0 ab 的左 右焦点分别为 12 FF 上顶点为A 过点A与 2 AF垂直的直线交x轴负半轴于点Q 且 122 2FFF Q 0 uuu u ruuu r 若过A Q 2 F三点的圆恰好与直线l 033 yx相切 过 定点 0 2 M的直线 1 l与椭圆C交于G H两点 点G在点M H之间 求 椭圆C的方程 用心 爱心 专心 设直线 1 l的斜率0k 在x轴上是否存在点 0 P m 使得以PG PH为邻边的平行四 边形是菱形 如果存在 求出m的取值范围 如果不存在 请说明理由 若实数 满足MGMH 求 的取值范围 22 34 1640kxkx 设 11 G x y 22 H xy 则 122 16 34 k xx k 5 分 所以 1122 PGPHxmyxmy uuu ruuu r 1212 2 xxmyy 1212 2 4 xxmk xx 21212121 GHxxyyxxk xx 由于菱形对角线互相垂直 则 PGPH 0GH 6 分 所以 21122112 2 4 0 xxxxmk xxk xx 故 2 211212 2 4 0 xxxxmkxxk 因为0k 所以 21 0 xx 所以 2 1212 2 40 xxmkxxk 即 2 12 1 420kxxkm 所以 2 2 16 1 420 34 k kkm k 解得 2 2 34 k m k 即 2 3 4 m k k 因为0k 所以 3 0 6 m xO y Q A F2F1 用心 爱心 专心 故存在满足题意的点P且m的取值范围是 3 0 6 8 分 当直线 1 l斜率存在时 设直线 1 l方程为2ykx 代入椭圆方程1 34 22 yx 即 2 1 416 所以 1 4216 解得74 374 3 又01 所以74 31 13 分 又当直线 1 l斜率不存在时 直线 1 l的方程为0 x 此时 0 3 G 0 3 H 0 32 MG 0 32 MH 23 23 MGMH 所以74 3 所 以74 31 即所求 的取值范围是 74 3 1 14 分 2 2 20112011 北京丰台区期末 北京丰台区期末 已知O为平面直角坐标系的原点 过点 2 0 M 的直线l与 圆 22 1xy 交于PQ 两点 若 1 2 OP OQ 求直线l的方程 若 OMP 与OPQ 的面积相等 求直线l的斜率 解 依题意 直线l的斜率存在 因为 直线l过点 2 0 M 可设直线l 2 yk x 因为 PQ 两点在圆 22 1xy 上 所以 1OPOQ 因为 1 2 OP OQ 所以 用心 爱心 专心 1 cos 2 OP OQOPOQPOQ 所以 120POQ 所以 O到直线l的距 离等于 1 2 所以 2 2 1 2 1 k k 得 15 15 k 所以 直线l的方程为 1520 xy 或1520 xy 因为OMP 与OPQ 的面积相等 所以2MQMP 3 3 20112011 北京西城区期末 北京西城区期末 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的右焦点为 2 3 0 F 离 心率为e 若 3 2 e 求椭圆的方程 设直线ykx 与椭圆相交于A B两 点 M N分别为线段 22 AFBF的中点 若坐标原点O在以MN为直径的圆上 且 2 3 2 2 e 求k的取值范围 解 由题意得 3 3 2 c c a 得2 3a 2 分结合 222 abc 解得 2 12a 2 3b 3 分 所以 椭圆的方程为1 312 22 yx 4 分 用心 爱心 专心 由 22 22 1 xy ab ykx 得 222222 0ba kxa b 设 1122 A x yB xy 所以 22 1212 222 0 a b xxx x ba k 6 分依题意 OMON 易知 四边形 2 OMF N为 平行四边形 因为 2 3 2 2 e 所以2 33 2a 2 1218a 11 分所以 2 1 8 k 即 22 44 k 4 20112011 巢湖一检 巢湖一检 已知直线1lykx 椭圆E 22 2 1 0 9 xy m m 若不论k 取何值 直线l与椭圆E恒有公共点 试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数 式 当 10 3 k 时 直线l与椭圆E相交于A B两点 与y轴交于点M 若 2AMMB uuuruuu r 求椭圆E方程 解 直线l恒过定点 M 0 1 且直线l与椭圆 E 恒有公共点 点 M 0 1 在椭圆 E 上或其内部 得 22 2 01 10 9 m m 解得13mm 且 联立方程组 用判别式法也可 当13m 时 椭圆的焦点在x轴上 2 9 3 m e 当3m 时 椭圆的焦点在y轴上 2 9m e m 2 2 9 13 3 9 3 m m e m m m 由 22 2 10 1 3 1 9 yx xy m 消去y得 222 10 6 109 1 0mxxm 设 11 A xy 22 B xy 则 12 2 6 10 10 xx m 2 12 2 9 1 10 m x x m 用心 爱心 专心 M 0 1 由2AMMB 得 12 2xx 由 得 2 2 6 10 10 x m 将 代入 得 2 2 22 6 109 1 2 1010 m mm 解得 2 6m 2 15m 不合题意 舍去 椭圆 E 的方程为 22 1 96 xy 5 5 2011 2011 承德期末承德期末 椭圆C的方程为 01 2 2 2 2 ba b y a x 斜率为 1 的直线l与椭圆 C交于 2211 yxByxA 两点 若椭圆的离心率 2 3 e 直线l过点 0 bM 且 5 12 OBOA 求椭圆C的方程 直线l过椭圆的右焦点 F 设向量 0 OBOAOP 若点P在椭圆C上 求 的取值范围 222222 bayaxb cxy 得 02 2222222 bcacxaxab 22 2 21 2 ba ca xx 22 2 21 2 ba cb yy OBOA 22 2 2 ba ca 22 2 2 ba cb 22 2 22 2 22 ba cb ba ca OP 点P在椭圆C上 将点P坐标代入椭圆方程中得 2 22 2 4c ba 用心 爱心 专心 222 acb 10 a c e 4 1 4 1 2 1 4 2 4 22 22 2 22 2 ec ca c ba 2 1 12 分 6 6 20112011 佛山一检 佛山一检 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 3 e 以原点为 圆心 椭圆短半轴长为半径的圆与直线20 xy 相切 A B分别是椭圆的左右两个顶 点 P为椭圆C上的动点 求椭圆的标准方程 若P与 A B均不重合 设 直线PA与PB的斜率分别为 12 k k 证明 12 k k A为定值 M为过P且垂直于x轴 的直线上的点 若 OP OM 求点M的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 设 M x y 其中 3 3 x 由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 22 2 2 2222 2 2 6 3 3 xx x xyxy 整理得 2222 31 36xy 其中 3 3 x 当 3 3 时 化简得 2 6y 所以点M的轨迹方程为6 33 yx 轨 迹是两条平行于x轴的线段 当 3 3 时 方程变形为 22 22 1 66 313 xy 其中 3 3 x 当 3 0 3 时 点M的轨迹为中心在原点 实轴在y轴上的双曲线满足 33x 的部分 用心 爱心 专心 当 3 1 3 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆满足33x 的 部分 当1 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆 7 20112011 福州期末 福州期末 如图 A ADB为半圆 AB 为半圆直径 O 为半圆圆心 且 ODAB Q 为线段 OD 的中点 已知 AB 4 曲线 C 过 Q 点 动点 P 在曲线 C 上运动且 保持 PA PB 的值不变 建立适当的平面直角坐标系 求曲线 C 的方程 过点 B 的直线l与曲线 C 交于 M N 两点 与 OD 所在直线交于 E 点 若 1212 EMMB ENNB 求证为定值 解 以AB OD所在直线分别为x轴 y轴 O为原点 建立平面直角坐标系 动点P在曲线C上运动 且保持 PA PB 的值不变 且点Q在曲线C上 PA PB QA QB 25212 22 AB 4 曲线C是为以原点为中心 A B 为焦点的椭圆设其长半轴为a 短半轴为b 半焦距为c 则 2a 25 a 5 c 2 b 1 曲线C的方程为 5 2 x y2 1 证法 1 设 M N E点的坐标分别为 11220 0 M x yN xyEy 又易知B点的坐标为 2 0 且点B在椭圆C内 故过点B的直线l必与椭圆C相 证法 2 设 M N E点的坐标分别为 11220 0 M x yN xyEy 又易知B点的 坐标为 2 0 且点B在椭圆C内 故过点B的直线l必与椭圆C相交 显然直线 l 的斜率 存在 设直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程是 2 xky 将直线 l 的方程代入到椭 圆 C 的方程中 消去 y 并整理得052020 51 2222 kxkxk 8 分 用心 爱心 专心 2 2 21 51 20 k k xx 2 2 21 51 520 k k xx 又 1 EMMB 则 110111 2 x yyxy 1 1 1 2x x 同理 由 2 ENNB 2 2 2 2x x 10 分 10 24 2 2 22 2121 2121 2 2 1 1 21 xxxx xxxx x x x x 12 分 8 8 20112011 广东广雅中学期末 广东广雅中学期末 已知椭圆的中心为坐标原点 O 椭圆短半轴长为 1 动点 2 Mt 0 t 在直线 2 a xa c 为长半轴 c为半焦距 上 1 求椭圆的标准方程 2 求以OM为直径且被直线3450 xy 截得的弦长为 2 的圆的方程 3 设F是椭 圆的右焦点 过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N 求证 线段ON的长为定值 并求出这个定值 2 以 OM 为直径的圆的方程为 2 0 x xy yt 即 2 22 1 1 24 tt xy 其圆心为 1 2 t 半径 2 1 4 t r 6 分因为以 OM 为直径的圆被直线3450 xy 截 得的弦长为 2 所以圆心到直线3450 xy 的距离 2 1dr 2 t 8 分所以 325 52 tt 解得4t 所求圆的方程为 22 1 2 5xy 10 分 3 方法一 由平几知 2 ONOK OM 直线 OM 2 t yx 直线 FN 2 1 yx t 12 分由 2 2 1 t yx yx t 得 2 4 4 K x t 用心 爱心 专心 22 2 2 2 1 1 44 4 1 22 44 KM tt ONxx t t 所以线段 ON 的长为定值2 14 分 方法二 设 00 N xy 则 00 0000 1 2 2 FNxyOMt MNxyt ONxy 0000 2 1 0 22FNOMxtyxty 12 分 又 2 2 00000000 2 0 22MNONx xyytxyxty 所以 22 00 2ONxy 为定值 14 分 9 20112011 哈尔滨期末 哈尔滨期末 椭圆C的中心在坐标原点 焦点在x轴上 该椭圆经过点 2 3 1P且离心率为 2 1 1 求椭圆C的标准方程 2 若直线mkxyl 与椭圆 C相交BA 两点 BA 不是左右顶点 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 求证 直线l过定点 并求出该定点的坐标 2 22 21 43 43 k km yy 以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 1 BDAD kk 042 212121 xxxxyy 04167 22 kmkm km2 1 7 2 2 m 且均满足043 22 mk 当km2 1 时 l的方程为 2 xky 则直线过定点 0 2与已知矛盾 用心 爱心 专心 当km 7 2 1 时 l的方程为 7 2 xky 则直线过定点 0 7 2 直线l过定点 定点坐标为 0 7 2 10 2011 2011 湖北八校一联湖北八校一联 已知双曲线 22 1xy 的左 右顶点分别为 A1 A2 动直线 lykxm 与圆 22 1xy 相切 且与双曲线左 右两支的交点分别为 111222 P x yP xy I 求 k 的取值范围 并求 21 xx 的最小值 II 记直线 11122212 PAkP Akkk 的斜率为直线的斜率为那么是定值吗 证明你的 结论 解 l 与圆相切 2 1 1 m k 22 1mk 由 22 1 ykxm xy 得 222 1 2 1 0kxmkxm 2 222222 2 12 2 10 44 1 1 4 1 80 1 0 1 k m kkmmk m xx k 2 1 k 11k 故k的取值范围为 1 1 由于 2 12211212 22 2 22 22 2 4 111 mk xxxxxxx x kkk 2 01k 当 2 0k 时 21 xx 取最小值2 2 6 分 用心 爱心 专心 由已知可得 12 A A的坐标分别为 1 0 1 0 12 12 12 11 yy kk xx 12 12 12 1 1 y y k k xx 12 12 1 1 kxm kxm xx 22 1212 1221 1 k x xmk xxm x xxx 2 22 22 2 22 12 11 12 2 1 11 mmk kmkm kk m kk 22222222 22 2 1 2 21 m kkm km km mk 22 22 22 2 km mk 由 得 22 1mk 12 1 32 2 32 2 kk 为定值 12 分 11 2011 2011 湖北重点中学二联 湖北重点中学二联 本小题满分 12 分 已知点 00 P xy是椭圆 2 2 1 2 x Ey 上任意一点 00 1x y 直线l的方程为 0 0 1 2 x x y y I 判断直线l与椭 圆 E 交点的个数 II 直线 0 l过 P 点与直线l垂直 点 M 1 0 关于直线 0 l的对称 点为 N 直线 PN 恒过一定点 G 求点 G 的坐标 2 直线 0 l的方程为 0000 2 xyyyxx 即 0000 20y xx yx y 6 分 设 0 1 M关于直线 0 l的对称点N的坐标为 N m n 用心 爱心 专心 则 0 0 0 000 12 1 20 22 xn my x nm yx y 解得 32 000 2 0 432 0000 2 00 2344 4 2448 2 4 xxx m x xxxx n yx 8 分 直线PN的斜率为 432 00000 32 0000 4288 2 34 nyxxxx k mxyxx 从而直线PN的方程为 432 0000 00 32 000 4288 2 34 xxxx yyxx yxx 即 32 000 432 0000 2 34 1 4288 yxx xy xxxx 从而直线PN恒过定点 1 0 G 12 分 12 2011 2011 惠州三调惠州三调 本题满分 14 分 已知椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心 率为 2 3 过坐标原点O且斜率为 2 1 的直线 l与C相交于A B 102 AB 求 a b的值 若动圆1 22 ymx与椭圆C和直线 l都没有公共点 试求m的取 值范围 012483 22 mmxx 7 分 动圆与椭圆没有公共点 当且仅当 014416 124 34 8 222 mmm或5 m 9 分 解得3 m或 5 m 10 分 动圆1 22 ymx与直线 2 x y 没有公共点当且仅当1 5 m 即5 m 12 分 解 5 3 m m 或 5 5 m m 13 分 得m的取值范围为 553535 mmmmm或或或 14 分 14 分 用心 爱心 专心 13 2011 2011 锦州期末锦州期末 本小题 12 分 如图所示 已知圆 MAyxC 0 1 8 1 22 定点 为圆上一动点 点 P在AM上 点N在CM上 且满足 NAMNPAPAM点 0 2 的轨迹为曲线E I 求曲线E的方程 II 若过定点F 0 2 的直线 交曲线E于不同的两点 G H 点G在点 F H之间 且 满足FHFG 求 的取值范围 解解 0 2 AMNPAPAM NP 为 AM 的垂直平分线 NA NM 2 分 又 222 22 ANCNNMCN 动点 N 的轨迹是以点 C 1 0 A 1 0 为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为 222 a焦距 2c 2 1 1 2 2 bca 5 分 曲线 E 的方程为 1 2 2 2 y x 6 分 当直线 GH 斜率存在时 设直线 GH 方程为 1 2 2 2 2 y x kxy代入椭圆方程 得 2 3 0 0 34 2 1 222 kkxxk得由 设 2 21 2 212211 2 1 3 2 1 4 k xx k k xxyxHyxG 则 8 分 2 2 2211 yxyxFHFG 又 212 2 2212 22122121 1 1 xx x xx xxxxxxxx 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 16 2 1 3 1 2 1 4 k kk k 整理得 10 分 3 3 1 3 16 2 1 4 3 16 3 2 3 16 4 2 3 2 2 解得 k k 用心 爱心 专心 1 3 1 10 又又当直线 GH 斜率不存在 方程为 3 1 3 1 0 FHFGx 1 3 1 1 3 1 的取值范围是即所求 14 2011 2011 金华十二校一联 金华十二校一联 本题满分 15 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的两个焦 点分别为 12 1 0 1 0 FF 点P在椭圆上 且满足 1212 2 30PFPFPFF 直线 ykxm 与圆 22 6 5 xy 相切 与椭圆相交于 A B两点 I 求椭圆的方程 II 证明AOB 为定值 O为坐标原点 解 I 由题意 121212 2 30 2PFPFPFFFF 解三角形得 12 4 3 2 3 PFPF 由椭圆定义得 12 22 3aPFPF 从而3 a 又1c 则2b 所以椭圆的方程为 22 1 32 xy 6 分 II 设交点 1122 A x yB xy 联立 22 1 32 ykxm xy 消去y得 222 23 6360kxkmxm 由韦达定理得 2 1212 22 636 2323 kmm xxx x kk A 9 分 又直线ykxm 与圆 22 6 5 xy 相切 则有 22 2 6 566 5 1 m mk k 11 分 从而 22 121212121212 1 x xy yx xkxm kxmkx xkm xxm 2222 22 222 366 566 1 0 232323 mkmmmk kkmm kkk 14 分 所以0OA OB A 即90AOB 为定值 15 分 15 2011 2011 九江七校二月联考 九江七校二月联考 本小题满分 13 分 已知抛物线C 2 4xy 的焦点为 F 用心 爱心 专心 过点 F 作直线l交抛物线C于A B两点 椭圆E的中心在原点 焦点在x轴上 点 F 是 它的一个顶点 且其离心率 3 2 e 1 求椭圆E的方程 2 经过A B两点分别作 抛物线C的切线 1l 2 l 切线 1l与2 l相交于点M 证明 MFAB 3 椭圆E上是否 存在一点 M 经过点 M 作抛物线C的两条切线M A M B A B 为切点 使得直 线A B 过点 F 若存在 求出抛物线C与切线M A M B 所围成图形的面积 若不存在 试说明理由 解 1 设椭圆E的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 半焦距为c 由已知条件 得 1 0 F 222 2 3 1 cba a c b 解得 1 2 ba 所以椭圆E的方程为 1 4 2 2 y x 4分 2 显然直线l的斜率存在 否则直线l与抛物线C只有一个交点 不合题意 故可设直 3 假设存在点 M 满足题意 由 2 知点 M 必在直线1 y上 又直线1 y与椭圆 E有唯一交点 故 M 的坐标为 1 0 M 设过点 M 且与抛物线C相切的切线方程为 2 1 000 xxxyy 其中点 00 yx为切点 令1 0 yx得 0 2 1 4 1 1 00 2 0 xxx 解得2 0 x或2 0 x 10 分 故不妨取 1 2 1 2 BA 即直线BA 过点F 综上所述 椭圆E上存在一点 1 0 M 经过点 M 作抛物线C的两 条切线AM BM A B 为切点 能使直线BA 过点F 此时 两切线的方程分别为1yx 和1 xy 11 分 抛物线C与切线AM BM 所围成图形的面积为 2 2 232 0 0 1114 2 1 2 41223 Sxxdxxxx 用心 爱心 专心 16 2011 2011 南昌期末南昌期末 本小题满分 13 分 从椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上一点P向 x轴作垂线 垂足恰好为椭圆的左焦点1 F M 是椭圆的右顶点 N是椭圆的上顶点 且 0 MNOP 1 求该椭圆的离心率 2 若过右焦点 2 F 且不与坐标轴垂直的直线 l交椭圆C于A B两点 点A关于x轴的对称点为 1 A 直线 1 A B 与x轴交于点 4 0 R 求椭圆C的方程 2 设直线l的方程为 0 xmyc m 与椭圆方程 22 22 1 2 xy cc 联立得到 22222 222m ymcycyc 即 222 220mymcyc 6 分 记 11 A x y 22 B xy 则 2 1212 22 2 22 mcc yyy y mm 7 分 由 A 关于x轴的对称点为 1 A 得 111 A xy 则直线 1 AB 的方程是 11 2121 yyxx yyxx 过点 4 0R 得到 12121121 4ymymyyymycyy 9 分 即 1212 24my ycyy 所以 2 22 22 4 22 mcmc c mm 11 分 用心 爱心 专心 得到 4cc 所以 2 c 12 分所以所求椭圆方程为 22 1 84 xy 13 分 17 2011 2011 三明三校二月联考 三明三校二月联考 本题 本题满分满分 1414 分 分 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 1 ba b y a x C的左 右焦点分别为 F1 F2 其中 F2也是抛物线 xyC4 2 2 的焦点 M 是 C1与 C2在第一象限的交点 且 3 5 2 MF I 求椭圆 C1的方 程 II 已知菱形 ABCD 的顶点 A C 在椭圆 C1上 顶点 B D 在直线 0177 yx上 求直线 AC 的方程 解 I 设 3 5 0 1 2211 MFFyxM 由抛物线定义 3 2 3 5 1 11 xx 3 62 4 11 2 1 yxy 3 分 3 62 3 2 M M 点 C1上 1 1 3 8 9 4 22 22 ab ba 又 42 93740 aa 222 1 4 9 aac 或舍去 3 4 22 ba 椭圆 C1的方程为 1 34 22 yx 6 分 II ABCDyxBD 0177 的方程直线 为菱形 BDAC 设直线 AC 的方 程为mxy 012487 1 34 22 22 mmxx yx mxy CA 在椭圆 C1上 18 2011 泰安高三期末 泰安高三期末 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的 离心率为 e 3 2 且过点 1 3 2 求椭圆的方程 设直线 用心 爱心 专心 O M N F2F1 y x 第 18 题 l y kx m k 0 m 0 与椭圆交于 P Q 两点 且以 PQ 为对角线的菱形的一顶点为 1 0 求 OPQ 面积的最大值及此时直线 l 的方程 解 e 3 2 c 3 2 a b2 a2 c2 1 4 a2 故所求椭圆为 22 22 4 1 xy aa 又椭圆过点 1 3 2 22 31 1 aa a2 4 b2 1 2 2 1 4 x y 设 P x1 y1 Q x2 y2 PQ 的中点为 x0 y0 将直线 y kx m 与 2 2 1 4 x y 联立得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 22 224 2 41 51 211 20 99 kk kkk 分 当 2 11 2 OPQ k 时的面积取最大值 1 此时 k 3 2 2 2 m 直线方程为 y 3 2 2 2 x 19 20112011 苏北四市二调 苏北四市二调 本小题满分 16 分 如图 椭圆 22 22 1 xy ab 0 ab 过点 3 1 2 P 其左 右焦点分别为 12 F F 离心率 1 2 e MN是椭圆右准线上的两个动点 且 12 0FM F N 1 求椭圆的方程 2 求MN的最小值 用心 爱心 专心 3 以MN为直径的圆C是否过定点 请证明你的结论 解 1 1 2 c e a 且过点 3 1 2 P 22 222 19 1 4 2 ab ac abc 解得 2 3 a b 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 设点 12 4 4 MyNy 则 1122 5 3 FMyF Ny 1212 150FM F Ny y 12 15y y 又 2111 11 1515 15MNyyyy yy 2 MN 的最小 值为2 15 3 圆心C的坐标为 12 4 2 yy 半径 21 2 yy r 圆C的方程为 2 22 1221 4 24 yyyy xy 整理得 22 1212 8 160 xyxyyyy y 12 15y y 22 12 8 10 xyxyyy 令0y 得 2 810 xx 415x 圆C过定点 415 0 20 20112011 苏北四市二调 苏北四市二调 本小题满分 10 分 已知动圆P过点 1 0 4 F且与直线 1 4 y 相切 1 求点P的轨迹C的方程 2 过点 F作一条直线交轨迹C于 A B两点 轨迹C在 A B两点处的切线相交于 点N M为线段AB的中点 求证 MNx 轴 O F x y P 第 22 题 用心 爱心 专心 一年原创一年原创 原创试题及其解析原创试题及其解析 一 选择题 1 已知ABC 的顶点 B C 在椭圆1 3 2 2 y x 上 顶点 A 是椭圆的一个焦点 且椭圆的 另外一个焦点在 BC 边上 则ABC 的周长是 C A 32 B 6 C 34 D 12 2 已知双曲线1 2 2 2 y a x 的一条准线方程为 2 3 x 则该双曲线的离心率为 D A 2 3 B 2 3 C 2 6 D 3 32 3 抛物线 y 2x2的焦点坐标为 D A 2 1 0 B 4 1 0 C 0 4 1 D 0 8 1 4 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 1 F 0 5 点P位于该双曲线上 线段 1 PF的 中点坐标为 2 0 则双曲线的方程为 A 1 4 2 2 y x B 1 4 2 2 y x C 1 32 22 yx D 1 23 22 yx 用心 爱心 专心 5 抛物线 2 1 y m x 的准线与双曲线1 412 22 yx 的右准线重合 则m的值是 A 8 B 12 C 4 D 16 解析 1 412 22 yx 的右准线为 2 12 3 4 a x c 所以抛物线 2 ymx 的开口向左 3 12 4 m m 6 已知双曲线 a 0 b 0 它的两条渐近线截直线 所得线段的长 度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离 则该双曲线的离心率为 C A A B B C C 2 2 D D 3 3 7 已知倾斜角0 的直线l过椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 ba的右焦点 交椭圆于 两点 为右准线上任意一点 则APB 为 A 锐角 直角 钝角 都有可能 8 设 F 是抛物线 2 4 1 xy 的焦点 与抛物线相切于点 4 4 的直线 l 与 x 轴的交点为 Q 则PQF 等于 D A 300 B 450 C 6 00 D 900 9 椭圆 22 4924 xy 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 1 2 F F的连线互相垂直 则 12 PFF 的面积 为 C A 20 B 22 C 24 D 28 10 设 e1 e2分别为具有公共焦点 F1与 F2的椭圆和双曲线的离心率 P 为两曲线的一个公 共点 且满足 则的值为 C A B 1C 2D 4 二 填空题 11 来以椭圆 22 1 43 xy 的右焦点F为圆心 并过椭圆的短轴端点的圆的方程为 用心 爱心 专心 12 设 21 FF 是双曲线1 14 22 yx 的两个焦点 点 P 在双曲线上 且0 21 PFPF 则 21 PFPF 的值等于 2 13 双曲线 22 1 169 xy 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦源点距离的等差中项 则 P 点到左焦点的距离为 答案 13 解析 由4 3 ab 得5c 设左焦点为 1 F 右焦点为 2 F 则 2 1 5 2 PFaccac 由双曲线的定义得 12 2 8513PFaPF 14 设 F1 F2分别是椭圆 22 1 2516 xy 的左 右焦点 P 为椭圆上任一点 点 M 的坐标为 6 4 则 PM PF1 的最大值为 15 解析 PF1 PF2 10 PF1 10 PF2 PM PF1 10 PM PF2 易知 M 点在椭圆外 连结 MF2并延长交椭圆于 P 点 此时 PM PF2 取最大值 MF2 故 PM PF1 的最大值为 10 MF2 22 10 63 415 15 已知函数 log3101 a yxaa 且的图象恒过定点A 若点A在直线 mx ny 1 0 上 其中 mn 0 当 12 mn 有最小值时 椭圆1 2 2 2 2 n y m x 的离心率为 用心 爱心 专心 y x C O B A 22 1641xy 所以椭圆1 2 2 2 2 n y m x 的离心率为 11 416 1 2 e 2 3 三 解答题 16 本小题满分 13 分 若椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左右焦点分别为 2 F F 1 线段 12 FF被抛物线2ybx 2 的焦点F内分成了3 1的两段 1 求椭圆的离心率 2 过点 1 0 C 的直线l交椭圆于不同两点A B 且2ACCB 当AOB 的面积最大时 求直线l和椭圆的方程 解 1 由题意知 3 22 bb cc 2 分 bc 22 2ab 3 分 2 2 1 2 cb e aa 5 分 2 设直线 1l xky 1122 A x yB xy 2ACCB 1122 1 2 1 xyxy 即 21 20yy 7 分由 1 知 22 2ab 椭圆方程为 222 22xyb 当且仅当 2 2k 即2k 时取等号 此时直线的方程为 1xy 2或21xy 12 分 用心 爱心 专心 又当 2 2k 时 2 12 2222 242 1 22 2 kkk y y kkk 由 2 12 2 1 2 2 b y y k 得 2 5 2 b 椭圆方程为 22 1 5 5 2 xy 14 分 17 本小题满分 12 分 已知椭圆 2 2 1 4 x y 中心为O 右顶点为M 过定点 0 2 D tt 作直线l交椭圆于A B两点 1 若直线l与x轴垂直 求三角形 OAB面积的最大值 2 若 6 5 t 直线l的斜率为1 求证 90AMB 3 直 线AM和BM的斜率的乘积是否为非零常数 请说明理由 解 设直线l与椭圆的交点坐标为 1122 A x yB xy 1 把xt 代入 2 2 1 4 x y 可得 2 1 4 2 yt 2 分 则 2 1 41 2 OAB SODADtt 当且仅当2t 时取等号 4 分 2 由 2 2 6 5 1 4 yx x y 得 2 125240440 xx 12 44 125 x x 12 48 25 xx 6 分 所以 12 12 1212 66 55 2222 AMBM xx y y kk xxxx 1212 1212 636 525 24 x xxx x xxx 446 4836 1255 2525 4448 24 1255 64 1 64 90AMB 3 直线AM和BM的斜率的乘积是一个非零常数 当直线l与x轴不垂直时 可设直线 方程为 yk xt 由 2 2 1 4 yk xt x y 消去y整理得 2222 2 41 8440kxk txk t 用心 爱心 专心 显然 2 4 2 AMBM t kk t 所以直线AM和BM的斜率的乘积是一个非零常数 18 本小题满分 12 分 已知 椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 过点 0 aA 0 bB的直线倾斜角为 6 原点到该直线的距离为 2 3 1 求椭圆的方程 2 斜 率大于零的直线过 0 1 D与椭圆交于E F两点 若DFED2 求直线EF的方 程 3 是否存在实数k 直线2 kxy交椭圆于P Q两点 以PQ为直径的圆过 点 0 1 D 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 解 1 由 3 3 a b 22 2 3 2 1 2 1 baba 得3 a 1 b 所以椭圆方程 是 1 3 2 2 y x 2 设 EF 1 myx 0 m 代入1 3 2 2 y x 得022 3 22 myym 用心 爱心 专心 3 将2 kxy代入1 3 2 2 y x 得0912 13 22 kxxk 记 11 yxP 22 yxQ PQ 为直径的圆过 0 1 D 则QDPD 即 0 1 1 1 1 21212211 yyxxyxyx 又2 11 kxy 2 22 kxy 得0 13 1412 5 12 1 2 2121 2 k k xxkxxk 解得 6 7 k 此时 方程0 存在 6 7 k 满足题设条件 19 已知椭圆E 22 22 1 xy ab 0ab 过点 3 1 P 其左 右焦点分别为 12 FF 且 12 6FP F P 1 求椭圆E的方程 2 若 M N是直线5x 上的两个动点 且 12 FMF N 则以MN为直径的圆C是否过定点 请说明理由 解 1 设点 12 F F的坐标分别为 0 0 0 ccc 则 12 3 1 3 1 FPcF Pc 故 2 12 3 3 1 106FP F Pccc 可得4c 所以 2222 12 2 34 1 34 16 2aPFPF 故 222 3 2 18 162abac 所以椭圆E的方程为 22 1 182 xy 2 设 M N的坐标分别为 5 5 mn 则 12 9 1 FMm F Nn 又 12 FMF N 可得 12 90FM F Nmn 即9mn 又圆C的圆心为 5 2 mn 半径为 2 mn 故圆C的方程为 222 5 22 mnmn xy 即 22 5 0 xymn ymn 也就是 22 5 90 xymn y 令0y 可 得8x 或 2 故圆C必过定点 8 0 和 2 0 另法 1 中也可以直接将点P坐标代入椭圆方程来进行求解 2 中可利用圆C直 径的两端点直接写出圆C的方程 20 在平面直角坐标系中 已知焦距为 4 的椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的左 右顶点分 用心 爱心 专心 别为BA 椭圆C的右焦点为F 过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于SR 若 线段RS的长为 3 10 1 求椭圆C的方程 2 设 mtQ是直线9 x上的点 直线QBQA 与椭圆C分别 交于点NM 求证 直线MN必过x轴上的一定点 并求出此定点的坐标 3 实际上 第 2 小题的结论可以推广到任意的椭圆 双曲线以及抛物线 请你对抛物线 0 2 2 ppxy写出一个更一般的结论 并加以证明 1 依题意 椭圆过点 3 5 2 故 4 1 9 254 22 22 ba ba 解得 5 9 2 2 b a 椭圆C 的方程为1 59 22 yx 2 设 9 mQ 直线QA的方程为 3 12 x m y 代入椭圆方程 得072096 80 222 mxxm 设 11 yxM 则 80 3240 80 7209 3 2 2 1 2 2 1 m m x m m x 80 40 3 80 3240 12 3 12 22 2 11 m m m mm x m y 故点M的坐标为 80 40 80 3240 22 2 m m m m 同理 直线QB的方程为 3 6 x m y 代入椭圆方程 得018096 20 222 mxxm 设 22 yxN 则 20 603 20 1809 3 2 2 2 2 2 2 m m x m m x 20 20 3 20 603 6 3 6 22 2 22 m m m mm x m y 可得点N的坐标为 20 20 20 603 22 2 m m m m 若40 20 603 80 3240 2 2 2 2 2 m m m m m 时 直线 MN 的方程为 1 x 与 x 轴交于 0 1 点 若40 2 m 直线 MN 的方程为 20 603 40 10 20 20 2 2 22 m m x m m m m y 令0 y 解得1 x 综上所述 直线 MN 必过 x 轴上的定点 0 1 3 结论 已知抛物线 0 2 2 ppxy的顶点为O P为直线 0 qqx上一动点 过点P作 x 轴的平行线与抛物线交于点M 直线OP 与抛物线交于点N 则直线 MN 必过定点 0 q 14 分 证明 设 mqP 则 2 2 m p m M 直线OP 的方程为x q m y 代入pxy2 2 得0 2 2 y m pq y 可求得 2 2 2 2 m pq m pq N 16 分 直线 MN 的方程为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 p m x pqm pm p m x m pq p m m pq m my 令0 y 得q p pqm p m x 2 2 2 22 即直线 MN 必过定点 0 q 21 本小题满分 13 分 如图 已知过 3 2T 的动直线l与抛物线 2 4C yx 交于P Q两 点 点A 1 2 I 证明 直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为 定值2 II 以PQ为底边的等腰三角形APQ有几个 A B Q O M N x y 9 P O M N x y q 用心 爱心 专心 请说明理由 644 4 2 44 221 2 21 2 2 2 1 mm yyyyyy 所以PQ的中点坐标为 mmm2 322 2 由已知得m mm m 1322 22 2 即012 23 mmm 设 12 23 mmmmf 则 0223 2 mmmf mf在R上是增函数 又 10 f 31 f 故 mf在 1 0内有一个零点 函数 mf有且只有一个零点 即方程012 23 mmm有唯一实根 所以满足条件的等腰三角形有且只有一个 考点预测考点预测 20132013 高考预测高考预测 本章内容是高中数学的重要内容之一 也是高考常见新颖题的板块 各种解题方法在本章 得到了很好的体现和充分的展示 尤其是在最近几年的高考试题中 平面向量与解析几何的融 合 提高了题目的综合性 形成了题目多变 解法灵活的特点 充分体现了高考中以能力立意的 命题方向 通过对近几年的高考试卷的分析 可以发现选择题 填空题与解答题均可涉及 本章的知识 分值 20 分左右 主