2012高考数学最后冲刺 平面向量

用心 爱心 专心 1 最后冲刺最后冲刺 高考预测高考预测 1 向量及其运算 2 平面向量与三角 数列 3 平面向量与平面解析几何 4 解斜三角形 5 向量与轨迹 直线 圆锥曲线等知识点结合 6 平面向量为背景的综合题 易错点易错点 1 1 向量及其运算向量及其运算 1 2012 模拟题精选 如图 6 1 在 Rt ABC 中 已知 BC a 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点 问PQ与BC 的夹角 取何值时BP CQ的值最大 并求出这个最大值 错误答案错误答案 2 BQQPCBQPCBBQBQBQCBBQBQCQBPBQCBCQQPBQBP 此后有的学生接着对上式进行变形 更多的不知怎样继续 错解分析错解分析 此题是湖北省 20 典型例题 已知 a 2 b 3 a 与 b 的夹角为 45 当向量 a b 与 a b 的夹角为锐角时 求实数 A 的范围 错误答案错误答案 由已知 a b a b cos45 3 a b 与 a b 的夹角为锐角 a b a b 0 即 a 2 b 2 2 1 a b 0 2 9 3 2 1 0 解得 6 8511 6 8511 或 实数 的范围是 6 8511 6 8511 错解分析错解分析 解题时忽视了 a b 与 a b 的夹角为 0 的情况 也就是 a b a b 0 既包括了 a b 与 a b 的夹角为锐角 也包括了 a b 与 a b 的 夹角为 0 而 a b 与 a b 的夹角为 0 不合题意 正确解答正确解答 由已知 a b a b b cos45 3 又 a b 与 a b 的夹角为锐角 a b a b 0 且 a b a b 其中 k 0 由 a b a b 0 得 a 2 b 2 2 1 a b 0 即 3 2 11 3 0 解 得 6 8511 6 8511 或 由 a b a b 得 1 即 1 综上 用心 爱心 专心 2 所述实数 的取值范围是 6 8511 6 8511 1 1 3 2012 模拟题精选 已知 O 为 ABC 所在平面内一点且满足 032 OCOBOA 则 AOB 与 AOC 的面积之比为 A 1 B 3 2 2 3 C D 2 错误答案错误答案 OCOBOOCOBOA2 O 在 BC 边上 且 2 OCOB 又 AOB 与 AOC 高相等 AOB 与 AOC 的面积之比为 2 选 D 错解分析错解分析 缺乏联想能力 将常用结论记错是本题错误的原因 实际上只有 O 为 ABC 的重心的情况下 才有 OOCOBOA 而本题无此已知条件 正确解答正确解答 1 如图 6 3 在 AB 上取一点 D 使 OBOAOBOAODABDDBAD 3 2 3 1 21 2 21 1 2 2 得的比分 又由已知 3 2 3 1 OCODOBOAOC O 为 CD 的中点 不妨设 S AOC S 则 S AOD S 两者等底同高 2 3 2 2 1 SSBDADSS AOBBOD AOB 的面积与 AOC 的面积之比为 3 2 选 B 变式探究 1 ABC 内接于以 O 为圆心 1 为半径的圆 且 432OOCOBOA 1 求 AB 答案 由已知得 2 OCOBOA43 所以 6 2 1 1 4 1 21 2 4 1 1 16 912 4 16 32 22 22 222222 OAOAOBOB OAOBABOBOAOCOBOAOCOBOBOAOAOCOBOA 即 2 求 ABC 的面积 用心 爱心 专心 3 答案 设 AOB AOC BOC 由OA OB 4 1 得 cos 4 1 sin 4 15 S AOB 2 1 OA OB sin 2 1 1 1 8 15 4 15 同理可求得 cos 16 11 sin 15 16 3 S AOC 15 32 3 cos 8 7 sinr 8 1 S BOC 2 1 16 15 8 15 由于 为锐角 为钝角 所以OC不可能在 AOB 内部 故 AOB AOC BOC 互不重叠 S ABC S AOB S AOC S BOC 15 32 9 2 已知向量 a 1 1 b 1 0 c 满足 a c 0 且 a c b c 0 1 求向量 c 答案 设 m n 由 a c 0 得 m n 0 再由 a c 得 m2 n2 2 联立 2 0 22 nm nm 解得 m 1 n 1 或 m l n 1 又 b c 1 0 m n m 0 m 1 n 1 c 1 1 2 若映射 f x y x y xo yc 将 x y 看作点的坐标 问是否存在直线 l 使得 l 上任一点在映射 f 的作用下的点仍在直线 l 上 若存在 求出直线 l 的方程 若 不存在 请说明理由 答案 解 设点 A 分BC所成比为 则BA AC 所以OA OB OC OA 即 a b c d 则 1 a b c 0 1 由已知条件得 c 3b ma 代人 1 得 1 a b 3 b m a 0 即 1 m a 1 3 b 0 OBOA 不共线 a b 不共线 1 m 0 1 3 0 解得 3 1 m 2 用心 爱心 专心 4 A 分BC所成的比为 3 1 m 2 易错点易错点 2 2 平面向量与三角 数列平面向量与三角 数列 1 设函数 f x a b 其中 a 2cosx 1 b cosx 3 3 3 x且 求 x 2 若函数 y 2sin2x 的图像按向量 c m n m 0 sin2 cos 由于 cos 0 得 sina 2 1 则 cos 2 3 2 设向量 a cos23 cos67 b cos68 cos22 c a tb t R 求 c 的最 小值 用心 爱心 专心 7 b 4 3 cos a ba 1 x2 y2 1 2 联立 1 2 得 x 1 y 0 或 x 0 y 1 b 1 0 或 b 0 1 2 若 t 1 0 且 b t c cosA 2cos22 c 其中 A C 是 ABC 的内角 若三角 形的三个内角依次成等差列 试求 b c 的取值范围 答案 由题意得 B 3 A C 3 2 b t t 1 0 b 0 1 b C cosA cosC b C 2 cos2A cos2c 1 2 1 cos2A cos2C 1 2 1 cos2A cos2 3 2 A 1 2 1 cos 2A 3 0 A 3 2 3 2A 3 5 3 1 cos 2A 3 2 1 b c 2 4 5 2 1 b c 2 5 2 2 易错点易错点 3 3 平面向量与平面解析几何平面向量与平面解析几何 1 2012 模拟题精选 已知椭圆的中心在原点 离心率为2 1 一个焦点 F m 0 m 是大 于 0 的常数 1 求椭圆的方程 2 设 Q 是椭圆上的一点 且过点 F Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M 若 2 QFMQ 求直线 l 的斜率 错误答案 第 2 问 设 Q xo yo 直线 J 的方程为 y k x m 则点 M 0 km 由已知得 F Q M 三点共线 且 2 QFMQ 2 QFMQ 由于 F m 0 M 0 km 由定比分点坐标公式 得 用心 爱心 专心 8 xQ 62 1 279 1 1 34 3 1 3 2 2 2 2 2 2 k k m y m x Qkmym Q 解得上在椭圆又 2 2012 模拟题精选 如图 6 4 梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上 原点 O 为 AB 的中点 AB 3 24 2 3 24 CD AC BD M 为 CD 的中点 1 求点 M 的轨迹方程 2 过 M 作 AB 的垂线 垂足为 N 若存在常数 o 使 PNMP o 且 P 点到 A B 的距 离和为定值 求点 P 的轨迹 C 的方程 错误答案 第 2 问 设 P x y M xo yo 则 N 0 yo PNMPyyxPNyyxxMP oooo 又 x xo ox y yo o yo y o 1 错解分析 对 PNMP o 分析不够 匆忙设坐标进行坐标运算 实际上 M N P 三 点共线 它们的纵坐标是相等的 导致后面求出 o 1 是错误的 正确解答 1 解法 1 设 M x y 则 C x 1 0 3 22 1 3 22 BDACBDACyxDy得由 即 x y 1 x y 1 0 得 x2 y2 1 又 x 0 用心 爱心 专心 9 M 的轨迹方程是 x2 y2 1 x 0 痕将正方形在其下方的部分向上翻折 使得每次翻折后点 都落在 AD 上 记为 B 折痕 l 与 AB 交于点 E 使 M 满足关系式BEEM 1 建立适当坐标系 求点 M 的轨迹方程 2 若曲线 C 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的 曲线组成的 F 是 AB 边上的一点 4 BF BA 过点 F 的直线交曲线于 P Q 两点 且 FQPF 求实数 的取值范围 错误答案 第 1 问 以 AB 的中点为坐标原点 以 AB 所在的直线为 y 轴建立直角 坐标系 则 A 0 1 B 0 1 设 E 0 t B xo 1 则由 0 xxBEEBEM 得 y t M 的轨迹方程为 x x0 y t 错解分析 对轨迹方程的理解不深刻 x xo y t 不是轨迹方程 究其原因还是题 目的已知条件挖掘不够 本题中 EB B E 是一个很重要的已知条件 正确解答 1 解法 1 以 AB 所在的直线为 y 轴 AB 的中点为坐标原点 建立如图 6 6 所示的直角坐标系 别 A 0 1 B 0 1 设 E 0 t 则由已知有 0 t 1 由 BEEB 及 B 在 AD 上 可解得 B 2 t 1 由 BEEBEM 得 x y t 0 1 t 2 t 1 t 即 x 2 2y t 消去 t 得 x2 4y 0 x 2 解法 2 以 EB EB 分邻边作平行四边形 由于 BEEB 知四边形 EBMB 为菱形 且 ADBM 动点 M 到定直线 AD 的距离等于 M 到定点 B 的距离 M 的轨迹是以 B 为焦点 以 AD 为准线的抛物线的一部分轨迹方程为 x2 4y 0 x 2 2 由 1 结合已知条件知 C 的方程是 x2 4y 2 x 2 由 4 BF BA 知 F 0 2 1 设过 用心 爱心 专心 10 F 的直线的斜率为 k 则方程为 y 2 1 KX P x1 y1 Q x2 y2 由 FQPF 得 x1 x2 联立直线方程和 C 得方程是 x2 4kx 2 0 由 2 x 2 知上述方程在 2 2 内有两个 解 由 次函数的图像知4 1 4 1 k 由 x x2可得 21 1 2 21 2 1 1 xxxx 由韦达 定理得 a2 6 e 3 6 6 2 a c 错解分析 OBOA 与 3 1 共线 不是相等 错解中 认为 OBOA 3 1 这 是错误的 共线是比例相等 正确解答 1 前同错解 OBOA 与 a 共线 得 3 y1 y2 x1 x2 0 3 x1 x2 2c x1 x2 O x1 x2 2 3 c 代入 3 6 2 3 2 2 3 22 2 2 ebac ba ca 2 证明 由 1 知 a2 3b2 所以椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 可化为 x2 32 3b2设OM x y 由已 知得 x y x1 y1 x2 y2 21 21 yyY xxX M x y 在椭圆上 x1 x2 23 y1 y2 2 3b2 用心 爱心 专心 11 即 2 2 1 3 2 1 yx 2 2 3 2 2 23 yx 2 x1x2 2y1y2 3b2 由 1 知 x2 x2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 cbcac 2 8 3 22 2222 21 c ba baca xx x1x2 3y1y2 x1 x2 3 x1 c x2 c 4x1x2 3 x1 x2 c 3c2 2 3 2 2 9 2 2 3 ccc 0 又 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 3 2 1 byxbyx 又 代入 得 2 2 1 故 2 2为定值 定值为 1 特别提醒 平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型 解此类题目关键是将向量关系式进 行转化 这种转化一般有两种途径 一是利用向量及向量的几何意义 将向量关系式转化为 几何性质 用这种转化应提防忽视一些已知条件 二是将向量式转化为坐标满足的关系式 再利用平面解析几何的知识进行运算 这种转化是主要转化方法 应予以重视 变式探究 1 已知 ABC 中 A 0 1 B 2 4 C 6 1 P 为平面上任一点 点 M N 满足 3 1 2 1 PCPOBPAPNPBPAPM 给出下列相关命题 MN BC 2 直线 MN 的方程是 3x 10y 28 0 3 直线 MN 必过 ABC 外心 4 起点为 A 的向量 ACAB AC R 所在射线必过 N 上面四个选项中正确的是 将正确的选 项序号全填上 1 若证 A 的横坐标为 x B 的纵坐标为 y 试求点 P x y 的轨迹 C 的方程 答案 解 由题意 A x 0 B 1 y 则OA x 0 OB 1 y 代入 用心 爱心 专心 12 3 3 OBOAOBOA 0 中 得 2 设 D 0 1 上述轨迹上是否存在 M N 两点 满足 MD ND 且直线 MN 不平 行于 y 轴 若存在 求出 MN 所在直线在 y 轴上截距的取值范围 若不存在 说明理 3 已知点 F 1 0 直线 l x 2 设动点 P 到直线 l 的距离为 d 已知 PF 2 3 3 2 2 2 dd且 1 求动点户的轨迹方程 答案 设 P x y d PF 2 2 1 P 的轨迹为以 1 0 为焦点 以 l x 2 为对应 准线的椭圆 且 c a a c 2 2 2 c 1 解得 a 2 c 1 b 1 又3 2 d 2 3 3 2 2 x 2 3 解得2 1 x 3 4 P 的轨迹方程为2 2 x y2 1 2 1 x 3 4 2 若 OFOPOFPF与求向量 3 1 的夹角 答案 PF 1 x y OF 1 0 OP x y PF OF 1 x 1 y 0 1 x 3 1 x 3 2 代入 11 112 3 7 3 2 3 7 3 2 3 7 1 2 2 2 OFOP OFOP OPOPyy x 或得 OFOP与 的夹角为 arccos 11 112 用心 爱心 专心 13 3 如图 若点 C 满足GF 2OF 点 M 满足 PFMP3 3PF 且线段 MG 的垂直平分线经 过 P 求 PGF 的面积 答案 由已知 GF 2 FO G 为左焦点 又 2 23 2 2 22 3 PG PF PFPG PFPMPG 又 GF 2 PF 2 GF 2 PG 2 PGF 为 Rt S 2 2 易错点易错点 4 4 解斜三角形解斜三角形 1 2012 模拟题精选 在 ABC 中 sinA cosA 2 2 2 AC AB 3 求 tanA 的值和 ABC 的面积 正确解答 解法 1 sinA cosA 2 2 AAA 0 2 1 45cos 2 2 45cos 2又得 180 A 45 60 得 A 105 tanA tan 45 60 2 3 sinA sin 45 60 4 62 S ABC 26 4 3 sin 2 1 AABAC 用心 爱心 专心 14 解法 2 sinA cosA 2 1 cossin2 2 2 AA 又 0 A0 cosA 0 sinA cosA 2 1 2sinAcosA 2 3 sinA csoA 2 6 解得 sinA 4 62 cosA 4 62 sinA 26 4 3 sin 2 1 32 cos sin AABAC ABC S A A 2 2012 模拟题精选 设 P 是正方形 ABCD 内部的一点 点 P 到顶点 A B C 的距离分别 为 1 2 3 则正方形的边长是 错误答案 设边长为 x ABP 则 CBP 90 在 ABP 中 ABP 4 3 2 4 2 3 2 2 2 cos 4 3 2 4 2 1 2 2 2 x x x x CBPCBP x x x x 中在 cos CBP sin 2 4 5 2 2 4 3 2 x x x x 1 正确答案 依题意 c 1 a 2 由正弦定理知 2 1 sin 2 1 sin sinsin CAcaAA a c SINc A a C c 又因为 C 的取值范围是 0 0 cosA0 即 m2 2 由 OBOAOP 及 1 可得 y y1 y2 2 2 4 m m x x1 x2 my1 2 my2 2 2 2 8 m P 的坐标为 2 2 4 2 2 8 m m m 消去 m 得 x2 2y2 4x 0 2 x 0 P 的轨迹方程为 x2 2y2 4x 0 20b 0 交于 P Q 两点 直线 l 与 y 轴交于点 K 且 KQPQOQOP 求直线与双曲线的方程 用心 爱心 专心 18 难点 2 平面向量为背景的综台题 1 设过点 M a b 能作抛物线 y x2 的两条切线 MA MB 切点为 A B 1 求MBMA 2 若MBMA 0 求 M 的轨迹方程 3 若 LAMB 为锐角 求点 M 所在的区域 解析 设切点坐标 利用导数求出切线的斜率 将MBMA 转化为坐标运算 结合 韦达定理求解 答案 1 设抛物线上一点 P t t2 y x2 y 2x 切点为 P 的切线方程是 2 已知OA 1 1 OB 1 5 OC 5 1 若OD x OA y DCDB 2 x y R 1 求 y f x 的解析式 2 把 f x 的图像按向量 a 3 4 平移得到曲线 C1 然后再作曲线 C 关于直线 用心 爱心 专心 19 y x 的对称曲线 C2 设点列 P1 P2 Pn在曲线 C2的 x 轴上方的部分上 点列 Ql Q2 Qn 是 x 轴上的点列 且 OQ1P1 Q1Q2P2 Qn 1QnPn都是等边三角形 设它们的边长分别为 a1 a2 an 求 Sn a1 a2 an的表达式 解析 将 DDCDB 都用 x 表示 再利用数量积的坐标运算 可求解 1 第 2 问关 键是找 an的递推关系式 进而求 an 的通项 求 Sn 答案 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 1 xxDCxxDBxxOAxODOCOBOA y 56 2 2 1 xxDCDB f x x2 6x 5 2 将 y f x 的图像按 a 3 4 平移得到曲线 C1 C1 y x2 而 C1 关于 y x 对称曲线是 C2 y2 x 在 x 轴上方的方程为 y x 由已知 Qn 1 Sn 1 0 Pn Sn 1 n a n a 2 3 2 1 又 Pn 在 y x上 2 4 3 n a Sn 1 2 1 an 1 2 1 2 1 4 3 n a n S n a 两式相减得 4 3 a 2 1 n a 2 n 2 1 an an 1 又 an 1 an an 1 an 3 2 又可求得 a1 3 2 nn n a 3 2 3 2 1 3 2 3 2 2 1 3 2nnnn n S 典型习题导练典型习题导练 1 已知 O A M B 为平面上四点 且 OBOM 1 OA A 1 2 则 A 点 M 在线段 AB 上 B 点 B 在线段 AM 上 B 点 A 在线段 BM 上 D O A M B 四点共线 答案 B 解析 由OM OB 1 OA 得 OAOM OB OA AM AB 又 1 2 点 B 在线 段 AM 上 用心 爱心 专心 20 选 B 2 已知 ABC 中 CB a CA b a b 0 S ABC 4 15 a 3 b 1 5 则 a 与 b 的夹角 为 A 30 B 150 C 150 D 30 或 150 答案 C 解析 S ABC 2 1 a b sinC 4 15 又 a 3 b 5 sinC 2 1 又 a b a b cosC0 b 0 的左 右焦点 O 为坐标原点 户为双曲 线的左支上的点 点 M 在右准线上 且满足 0 1 1 1 OM OM OF OF OPPMQF 1 求此双曲线的离心率 e 用心 爱心 专心 23 答案 由 PMOF 1 得四边形 F1OMP 为平行四边形 1 1 1 OM OM OF OF OPOMOFOP 又 OMPFOMOF 11 为菱形 PF1 C 由双 曲线的定义有 12 PFPF 2a 2 PF 2a c 又 PM c C ca 2 e 解得 e 2 2 若此双曲线过 N 2 2 求双曲线的方程 答案 可设双曲线方程为 2 2 2 2 3a y a x 1 又过 N 2 3 a2 3 双曲线的方程为 93 22 yx 1 3 在 2 的条件下 B1 B2分别是双曲线的虚轴端点 B1 在 y