函数的概念剖析(数学论文)

函数的概念剖析函数的概念剖析 周澜周澜 定义 一般地设 A B 是两个非空数集 如果按照某一对应法则 f 对于 A 中的 每一个元素 x 在 B 中有唯一的元素 y 与它对应 这样的对应叫做 A 到 B 的一个 函数 通常记为 y f x x A 所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y f x 的定义 域 刚接触这个概念学生对这个概念一无所知 而这个概念在教学中非常重要 怎样 才能理解好这个概念呢 1 从概念的关键词出发 1 A B 是两个非空数集 这句话告诉学生 A B 不 仅是集合 而且还是数集 且为非空数集 其它的任何集合都不行 并且举 例说明 例 平面直角坐标系上的点 与点的坐标是一一对应 它是不是函 数 回答 不是函数 因为平面直角坐标系上的点是点集 它不是数集 平 面上直线 y x 上的点的横坐标与纵坐标的关系 它是函数 因为横坐标与纵坐 标是定义在数集上的数 再例如 电影院的位置与电影票的票号是一一对应 位置是一种事物 不是数集 所以它不是函数 电影票上面的号码与坐位上 的号码是定义在数集上的 所以它是函数 2 对这句话的理解 对于 A 中的每一个元素 x 在 B 中有唯一 y 值与它对应 这句话可用 5 个图来表示 这个图只要 a b c 表示的是数 那么这个 图反映的是一一对应 当然它是函数 因为它 符合 A 中的每一个值 a b c 在 B 中有唯一 的元素 1 2 3 与它对应 是函数 这个图反应的是在集合 A 中有两个或两个以 上的元素对应集合 B 中唯一的元素 符合定 义中的 A 中的每一个元素在 B 中有唯一的元 素和它对应 这是多对一的一种关系 是函 数 这个图反应的是集合 A 中的每一个元素在 B 中 有唯一的值和它对应 在集合 B 中可以有多 余的元素 也符合 A 中的每一个元素在 B 中 有唯一的元素和它对应 这一定义 这也是 函数 a b c 1 2 3 AB 1 2 3 1 4 9 AB a b c 1 2 3 4 AB 这个图违背了函数定义中的 每个 x 的值有唯 一的 y 值和它对应 因为在 B 中有两个 y 值和 它对应 这是一对多的对应关系 所以它不是 函数 这个图也违反了函数定义中的 每个 x 的值有唯 一的 y 值和它对应 因为在集合 A 中元素 3 找 不到 y 值和它对应 所以它也不是函数 例如函 数 y x R 当 x 3 时找不到函数值和它 3 1 x 对应 所以 y 在实数范围内不是函数 3 1 x 练习 下列图象中哪些是函数哪些不是函数 1 4 9 1 2 3 AB 1 4 9 3 1 2 3 AB x y o x y o x y o 这不是函数 因为 一个 x 的值对应二个 y 的值 这也不是函数 因 为一个 x 的值对应两 个 y 的值 这也不是函数 因为 一个 x 的值对应二个 y 的值 x y o x y o x y o 这不是函数 因 为一个 x 的值对应 二个 y 的值 这是函数 因为这是一 个 y 的值对应二个 x 的值 这是二次函数 这是函数 因为 一个 y 的值对应无 数个 x 的值 这是 正弦函数 x y o x y o x y o 这是余弦函数 一个 y 的值对应无