抛物线焦点弦的性质及应用(数学论文)

抛物线焦点弦的性质及应用抛物线焦点弦的性质及应用 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 由于抛物线定 义的特殊性 使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征 特别是抛物线过焦点的弦的性质尤 其突出 同时也高考中经常要考查的内容 据不完全统计 在近几年高考中关于抛物线焦点 弦的性质出现在 1 2000 年理科的第 11 题 选择题 2 2001 年理科的第 19 题 解答题 3 2002 年文科的第 16 题 填空题 4 2004 年理科的第 16 题 填空题 设抛物线的方程为 y2 2px P 0 过焦点 F 0 作倾斜角为 的直线 交抛物线于 P Q p 2 两点 则线段 PQ 称抛物线的焦点弦 如图 1 抛物线的焦点弦具有以下性质 性质性质 1 1 设 设 P xP x1 y y1 Q x Q x2 y y2 则则 y1y2 p2 4 2 21 p xx 证明证明 当 90 时 PQ 方程为 x 代入 y2 2px 中有 y2 p2 p 2 即 y1 p y2 p y1y2 p2 当 90 时 设直线 PQ 斜率为 k 则 PQ 方程为 y k x 与 y2 2px 联立 消 x 后得到 p 2 ky2 2py kp2 0 y1y2 p2 因为 所以 1 2 1 2pxy 2 2 2 2pxy 21 22 2 2 1 4xxpyy 所以 2 4 2 2 2 2 1 21 44p p p yy xx 4 2 p 例例 1 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P Q 通过点 P 和抛物线顶点的直线交准线 于点 M 求证 直线 MQ 平行与抛物线的对称轴 证明 证明 为了方便比较 可将 P 点横坐标及 Q 点纵坐标均用 P 点的纵坐标 y1表示 P y1 Q x2 y2 但 y1y2 p2 y2 p2 y1 PM 方程是 y x 当 x 时 y 即为 M 点的纵坐 2p y1 p 2 p2 y1 标 这样 M 点与 Q 点的纵坐标相同 故 MQ Ox 例例 2 2001 年高考 设坐标原点为 O 抛物线 y2 2x 与过焦点的直线交于 A B 两点 则 OA OB A B C 3 D 3 4 3 4 3 解析 设弦的两个端点为 A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 4 2 P 2 21 Pyy 故答案选 B OA OB 2121 yyxx 4 2 P 2 p 4 3 4 3 2 p 性质性质 2 2 抛物线焦点弦的长度 抛物线焦点弦的长度 21 xxpAB 2p sin2 证明证明 如图所示 分别做 垂直于准线 由抛物线定义有 1 AA 1 BBl BFAFABpxx p x p x 2121 22 且有 pAFAAAF cos 1 cos 1 BFpBBBF 于是可得 cos1 p AF cos1 p BF BFAFAB cos1 p cos1 p 2 cos1 p 2 sin p 故命题成立 例例 3 3 已知圆 M x2 y2 4x 0 及一条抛物线 抛物线顶点在 O 0 0 焦点是圆 M 的圆心 F 过 F 作倾斜角为 的直线 l l 与抛物线及圆由上而下顺次交于 A B C D 四点 若 arcsin 求 AB CD 解解 如图 方程 x2 y2 4x 0 表示的图的 圆心为 2 0 即为抛物线的焦点 抛物线的方程是 y2 8x 其中 p 4 AD 40 但圆的直径 BC 4 2p sin2 AB CD AD BC 40 4 36 性质性质 3 3 三角形 三角形 OAB 的面积公式 的面积公式 sin2 2 p S OAB 证法一证法一 当直线倾斜角为直角时 公式显然成立 当直线倾斜角不是直角时 设焦点弦所在直线方程 2 p xky 由 pxy p xky 2 2 2 0 2 22 py k p y 2 21 21 2 pyy k p yy 22 1 22 1 21 y p y p S OAB 4 21 yy p 21 2 21 4 4 yyyy p 2 2 2 4 tan 4 4 p pp sin2 2 p 性质性质 4 4 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 证法一证法一 如图 3 设 PQ 中点为 R 则 R 即为 PQ 为直线圆的圆心 过 R 作 RS MN 于 S 又设 P x1 y1 Q x2 y2 PQ PF QF x1 x2 x1 x2 p p 2 p 2 而 R RS x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 p 2 x1 x2 p 2 RS PQ RS 为圆的半径 命题得证 1 2 证法二证法二 由图 3 知 RS 为梯形 PQNM 的中位线 RS PM QN PQ 利用性质 3 1 2 1 2 RS 为圆的半径 故结论成立 性质性质 5 5 以抛物线 以抛物线 y y2 2px p 2px p 0 0 焦点弦焦点弦 PQPQ 端点向准线作垂线 垂足分别为端点向准线作垂线 垂足分别为 M M N N 则 则 FM FN FM FN 其中其中 F F 为焦点为焦点 证明证明 如图 4 由抛物线定义知 PF PM 1 2 而 PM Ox 2 3 1 3 同理 4 6 而 1 3 4 6 180 3 6 90 FM FN 性质性质 6 6 设抛物线 设抛物线 y y2 2px p 2px p 0 0 焦点为焦点为 F F 焦点弦 焦点弦 PQPQ 则 则 定值定值 1 1 F FP P 1 1 F FQ Q 2 2 p p 证法一证法一 由 P Q 向准线作垂线 垂足分别为 M N 作 QA Ox 于 A FB PM 于 B 准线 与 Ox 交于 E 如图 5 由 AFQ BPF 则 即 AF QF BP FP EF NQ QF PM EF PF 但由定义知 NQ FQ PM PF 有 1 1 即 2 EF FQ FQ PF EF FP EF FQ EF FP EF QF EF PF 而 EF p 代入后即得 1 FP 1 FQ 2 p 证法二证法二 由性质的语法二 设 FP t1 FQ t2 而 t1 t2 t1t2 t1 t2 2pcos sin2 p2 sin2 2p sin2 则 t2 t1 0 还有其它证法 1 PF 1 QF 1 t1 1 t2 t2 t1 t1t2 2 p 例例 4 4 2001 年理科第 11 题 过抛物线的焦点 F 作一直线交抛物线于 0 2 aaxy P Q 两点 若线段 PF 与 QF 的长分别是 p q 则等于 qp 11 A 2a B C 4a D a2 1 a 4 2004 年理科第 16 题 设是曲线上的一个动点 则点到点的距P 1 4 2 xyP 1 0 离与点到轴的距离之和的最小值为 Py 性质性质 7 以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点 以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点 证明 证明 如图 设 则 2 2 2111 y p By p A 2 2 21 1 yyp M 又 p yy pp yy KFM 2 22 221 21 1 21 2 2 2 1 21 21 21 2 22 yy p p y p y yy xx yy KAB 即 1 1 FMAB KKABFM 性质性质 8 如图 如图 A O B1和和 B O A1三点分别共线 三点分别共线 证明 证明 因为 1 2 1 1 1 1 2 2 y p p y y x y KOA y x o 1 B B F 1 M 1 A A 1 B y x o B F 1 AA 而 p y p y KOB 22 2 2 1 2 21 pyy 所以 1 2 2 2 22 OBOA K p y y p p K 所以 A O B1三点共线 同理可证 B O