数列经典讲义(教师版)

探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 1 数列和数列的练习 一 数列及其相关概念 1 数列数列 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列 它可以有限 也可以无限 2 数列的项及通项 数列的项及通项 数列中的每个数叫做这个数列的项 各项依次叫做这个数列的第 项 首项 第项 第项 12n 数列的一般形式可以写成 或简记为 其中是数列的第项 又称为数列的通项 123n aaaa n a n an 3 数列的通项公式 数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个函数式来表示 则称这个公式为这个数列的通 n ann n af n 项公式 4 数列的分类 数列的分类 数列的分类方式一般有三种 1 项数有限的数列称为有穷数列 项数无限的数列称为无穷数列 2 从第项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列 从第项起 每一项都比它的前一项小的数22 列称为递减数列 这两种数列统称为单调数列 各项都相等的数列称为常数列 既不是单调数列 又不是 常数列的 称为摆动数列 即有些项小于它的前一项 有些项大于它的前一项 3 如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数 则称此数列为有界数列 否则称为无界数列 5 数列的表示方法 数列的表示方法 数列是定义域为正整数集 或它的一个有限子集 的一类特殊的函数 数列的通项公式也 1 2 3 n f n 就是函数的解析式 数列的表示方法通常有三种 1 通项公式法 对应函数的解析式法 2 图象法 无限多个或有限多个孤立的点 取决于是无穷数列 还是有穷数列 3 列表法 6 数列和函数 集合的区别 数列和函数 集合的区别 1 数列和函数 数列是以正整数集 或它的有限子集 为定义域的函数 N 1 2 3 4n n af n 2 数列和集合的区别和联系 集合是没有顺序的 数列是有顺序的 7 数列的递推公式 数列的递推公式 如果已知数列的第一项 且从第二项开始的任一项与它的前一项间的关系可以用一个公式来表示 那么 n a 1n a 这个公式就叫这个数列的递推公式 例如 11 12 2 nn aaan 给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列 所以递推公式也是给出数列的一种方法 即递推法 8 数列的前数列的前项和项和n 数列的前项和定义为 n an 123nn Saaaa 数列的前项和构成了一个新的数列 且 n n S 1 1 1 2 n nn S n a SSn 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 2 一 数列的基本概念 1 2010 年东城一模 7 已知数列的通项公式 设其前项和为 则使 成 n a 3 log 1 n n an n Nn n S4 n S 立的最小自然数等于 n A B C D 83828180 2 2011 年海淀二模 5 已知正项数列中 则等于 n a1 1 a2 2 a 222 11 2 2 nnn aaan 6 a A 16 8 422 3 数列满足 则等于 n a 1 1 11 2 3 n n aannN a 2008 a A B C D 3 1 3 3 1 3 4 2011 年东城区期末理 11 在数列中 若 且对任意的正整数都有 n a 1 2a p q 则的值为 qpqp aaa 8 a 5 2010 年东城二模 6 已知函数 若数列满足 且是递增数 6 3 3 7 7 x a xx f x ax n a n af n n N n a 列 则实数的取值范围是 a A B C 2 3 D 1 3 9 3 4 9 3 4 6 已知是定义在上不恒为零的函数 对于任意的 都有成立 数列 f xR x y R f x yxf yyf x 满足 且 则数列的通项公式 n a 2 n n af n N 1 2a n a 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 3 二 数列的递推公式 7 2006 年重庆 12 在数列中 若 则该数列的通项 n a 11 123 1 nn aaan n a 8 数列中 对所有的 都有 求数列的通项公式 n a 1 1a 2n 2 123n aaaan n a n a 9 若数列中 且 是正整数 则数列的通项公式时 n a 1 3a 2 1nn aa n n a 10 已知数列 满足 则的通项 n a 11231 1 2 3 1 2 nn aaaaanan n a 11 2 n n a n 11 求满足下列条件的数列的通项公式 n a 1 已知满足求 n a 11 2 11 412 nn aaa n n a 2 已知满足 且 求 n a 1 3n nn aa 1 3a n a 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 4 二 与的关系 n a n S 12 2011 年四川 9 数列的前 n 项和为 若 则 n a n S 11 13 1 nn aaSn 6 a A 3 44 B 3 44 1 C 44D 44 1 13 设数列的前 n 项和为则 n a 11 1 1 1 3 nnn SaaSn n a 14 已知下列个数列的前项和的公式 求的通项公式 n an n S n a 1 2 3 n n Sn 1 32 n n S 2 1 2 1 nn Sn a na 15 已知下列个数列的前项和的公式 求的通项公式 n an n S n a 1 2 2 231 n Snn 2 10 n Snn 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 5 等差数列 二 等差数列二 等差数列 1 等差数列的定义 一般地 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 那么这个数列就叫等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母 d 表示 用递推公式表示为 an an 1 d n 2 或 an 1 an d n N 2 等差数列的通项公式 an a1 n 1 d am n m d 3 等差中项的概念 定义 如果 a A b 成等差数列 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 其中 2 ab A 说明 说明 a A b 成等差数列 2 ab A 4 等差数列的前 n 和公式 1 1 1 22 n n n aan n Snad 5 等差数列的性质 1 在等差数列 an 中 从第 2 项起 每一项是它相邻两项的等差中项 2 在等差数列 an 中 相隔等距离的项组成的数列是等差数列 如 a1 a3 a5 a7 a3 a8 a13 a18 3 在等差数列 an 中 对任意 m n N an am n m d n m nm aa d nm 4 在等差数列 an 中 若 m n s t m n s t N 则 am an as at 5 等差数列 an 中 公差为 d 若 d 0 则 an 是递增数列 若 d 0 则 an 是常数列 若 d 0 d 0 时 Sn有最大值 a1 0 时 Sn有最小值 2 Sn最值的求法 若已知 Sn 可用二次函数最值的求法 n N 若已知 an 则 Sn取最值时 n 的值 n N 可如下确定或 1 0 0 n n a a 1 0 0 n n a a 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 6 1 1 求等差数列 8 5 2 的第 20 项 2 401 是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 解 1 由 a1 8 d 5 8 3 n 20 得 a20 8 20 1 3 49 2 由 a1 5 d 9 5 4 得数列通项公式为 an 5 4 n 1 由题意可知 本题是要回答是否存在正整数 n 使得 401 5 4 n 1 成立 解之得 n 100 即 401 是这个数列的第 100 项 2 2011 湖南理 12 设 Sn是等差数列 an n N 的前 n 项和 且 a1 1 a4 7 则 S5 答案 25 解析 由 a1 1 a4 7 可得 a1 1 d 2 a5 9 所以 5 19 5 25 2 S 3 2012 辽宁理 6 在等差数列 an 中 已知 a4 a8 16 则该数列前 11 项和 S11 B A 58 B 88 C 143 D 176 解析 在等差数列中 a1 a11 a4 a8 16 答案为 B 111 11 11 88 2 aa S 4 2012 江西理 12 设数列 an bn 都是等差数列 若 a1 b1 7 a3 b3 21 则 a5 b5 答案 35 考点 本题考查等差数列的概念和运算 考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 解析 解法一 因为数列 an bn 都是等差数列 所以数列 an bn 也是等差数列 故由等差中项的性质 得 a5 b5 a1 b1 2 a3 b3 即 a5 b5 7 2 21 解得 a5 b5 35 解法二 设数列 an bn 的公差分别为 d1 d2 因为 a3 b3 a1 2d1 b1 2d2 a1 b1 2 d1 d2 7 2 d1 d2 21 所以 d1 d2 7 所以 a5 b5 a3 b3 2 d1 d2 35 5 等差数列 an 的前 n 项和记为 Sn 若 a2 a4 a15的值是一个确定的常数 则数列 Sn 中也为常数的项是 C A S7 B S8 C S13 D S15 解析 设 a2 a4 a15 p 常数 3a1 18d p 即 a7 p S13 13a7 p 3 1 2 13 131 aa 3 13 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 7 6 2012 浙江理 7 设 Sn是公差为 d d 0 的无穷等差数列 an 的前 n 项和 则下列命题错误的是 C A 若 d 0 则数列 Sn 有最大项 B 若数列 Sn 有最大项 则 d 0 D 若对任意 n N 均有 Sn 0 则数列 Sn 是递增数列 解析 选项 C 显然是错的 举出反例 1 1 3 5 7 满足数列 Sn 是递增数列 但是 Sn 0 不恒成 立 故选 C 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 8 7 把正整数按下列方法分组 1 2 3 4 5 6 其中每组都比它的前一组多一个数 设 Sn表示第 n 组中所有各数的和 那么 S21等于 B A 1113 B 4641 C 5082 D 53361 分析 第 21 组共有 21 个数 构成一个等差数列 公差为 1 首项比第 20 组的最后一个数大 1 所以先求前 20 组一共有多少个数 解 因为第n组有n个数 所以前 20 组一共有 1 2 3 20 210 个数 于是第 21 组的第一个数为 211 这组一共有 21 个数 S21 21 211 1 4641 故选 B 21 20 2 说明说明 认真分析条件 转化为数列的基本问题 8 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 10n n2 n N 又 bn an 求 bn的前 n 项和 Tn 解 由题可得 a1 9 当 n 1 时 an Sn Sn 1 2n 11 若使 an 2n 11 0 则 n 5 5 即数列的前 5 项非负 以后各项均负 当 n 5 时 Tn Sn 10n n2 当 n 6 时 Tn a1 a2 a5 a6 a7 an 2 a1 a2 a5 a1 a2 an 2S5 Sn 50 10n n2 2 2 10 05 10505 n nnn T nnn 故第 n 组的第一个数是 n2 n 1 2 n2 n 1 9 设等差数列 an 的首项 a1及公差 d 都为整数 前 n 项和为 Sn 1 若 a11 0 S14 98 求数列 an 的通项公式 2 若 a1 6 a11 0 S14 77 求所有可能的数列 an 的通项公式 解 1 由 S14 98 得 2a1 13d 14 又 a11 a1 10d 0 解得 d 2 a1 20 所以数列 an 的通项公式是 an 22 2n 2 由 得 即 14 11 1 77 0 6 S a a 1 1 1 21311 100 6 ad ad a 1 1 1 21311 2200 212 ad ad a 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 9 由 得 7d 11 即 得 11 7 d 1 13 d 又 d Z d 1 111 713 d 从而得 10 0 q 1 或 a1 0 0 q 1 时为递增数列 当 a1 1 或 a1 0 0 q 1 时为递减数列 当 q a4 a5 B a1 a8 0 q 0 当 q 1 时有 q3 1 q4 1 a1 1 q3 1 q4 0 当 0 q 1 时有 q3 1 q4 0 对任意正数 q 1 都有 a1 a8 a4 a5 0 即 a1 a8 a4 a5 故选 A 12 2012 浙江理 13 设公比为 q q 0 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S2 3a2 2 S4 3a4 2 则 q 答案 3 2 解析 将 S2 3a2 2 S4 3a4 2 两个式子全部转化成用 a1 q 表示的式子 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 12 即 两式作差得 a1q2 a1q3 3a1q q2 1 111 233 11111 32 32 aa qa q aa qa qa qa q a1 0 q 0 q q2 3 q2 1 又 q 0 可得 q 3 q 1 解之得 3 2 q 13 在各项均为正数的等比数列 an 中 若 a5a6 9 则 log3a1 log3a2 log3a10 B A 12 B 10 C 8 D 2 log35 解析 log3a1 log3a2 log3a10 log3 a1a2 a10 log3 a5a6 5 log395 10 14 若等比数列 an 的公比 q S9a8 B S8a9 S9a8 C S8a9 S9a8 D 不确定 解析 由等比数列通项公式与前 n 项和公式得 S8 a9 S9 a8 a1q8 a1q7 q qa 1 1 8 1 q qa 1 1 9 1 q aqqqa 1 1671682 1 a12q7 q qqa 1 782 1 又 q 0 即 S8 a9 S9 a8 15 2012 辽宁理 14 已知等比数列 an 为递增数列 且 a10 2 an an 2 5an 1 则数列 an 的通项公式 2 5 a 为 an 答案 2n 考点 本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力 属于中档题 解析 a10 a1q4 2 a1q9 a1 q 故 an q n 2 5 a 2 an an 2 5an 1 2an 1 q2 5anq 2 1 q2 5q 解得 q 2 或 q 舍去 an 2n 1 2 16 2011 北京理 11 在等比数列 an 中 若 a4 4 则公比 q a1 a2 1 1 2 a an 答案 2 1 1 2 2 n 解析 由 an 是等比数列得 a4 a1q3 又 a4 4 所以 4 q3 q 2 1 1 2 a 1 2 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 13 an 是以为首项 以 2 为公比的等比数列 1 2 a1 a2 an 1 1 12 1 2 2 122 n n 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 14 17 2011 江西理 18 已知两个等比数列 an bn 满足 a1 a a 0 b1 a1 1 b2 a2 2 b3 a3 3 1 若 a 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 唯一 求 a 的值 解 1 当 a 1 时 设 an 的公比为 q 则 b1 1 a 2 b2 2 aq 2 q b3 3 aq2 3 q2 又 bn 为等比数列 则 b1 b2 b3成等比数列 得 2 q 2 2 3 q2 即 q2 4q 2 0 解得 q1 2 或 q2 2 22 所以 an 2 n 1 或 an 2 n 1 22 2 设 an 的公比为 q 则由 2 aq 2 1 a 3 aq2 得 aq2 4aq 3a 1 0 a 0 4a 2 4a 3a 1 4a a 1 0 故方程有两个不同的实根 an 唯一 方程必有一根为 0 将 q 0 代入方程得 1 3 a 探索者研发学习中心探索者研发学习中心 Cxiaojun 15 等差 等比数列综合等差 等比数列综合 18 2010 北京文 16 本小题共 13 分 已知 an 为等差数列 且 a3 6 a6 0 求 an 的通项公式 若等比数列 bn 满足 b1 8 b2 a1 a2 a3 求 bn 的前 n 项和公式 解 设等差数列 an 的公差为 d 因为 a3 6 a6 0 所以 解得 a1 10 d 2 1 1 26 50 ad ad 所以 an 10 2 n 1 2n 12 或 由 a6 a3 3d 及 a3 6 a6 0 得 d 2 an a6 2 n 6 2n 12 或 an a3 2 n 3 2n 12 设等比数列 bn 的公比为 q 因为 b2 a1 a2 a3 24 b1 8 所以 8q 24 即 q 3 所以 bn 的前 n 项和公式为 4 1 3n 1 1 1 n n bq S q 19 等差数列 an 中 a4 10 且 a3 a6 a10成等比数列 求数列 an 前 20 项的和 S20 解 设数列 an 的公差为 d 则 a3 a4 d 10 d a6 a4 2d 10 2d a10 a4 6d 10 6d 由 a3 a6 a10成等比数列得 a3a10 a62 即 10 d 10 6d 10 2d 2 整理得 10