数列知识点总结及题型归纳---含答案

1 数列数列 一 等差数列一 等差数列 题型一题型一 等差数列定义 一般地 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么2 这个数列就叫等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母表示 用递推公式表示为d 或 1 2 nn aad n 1 1 nn aad n 例 等差数列 12 nan 1nn aa 题型二题型二 等差数列的通项公式 1 1 n aand 说明 等差数列 通常可称为数列 的单调性 为递增数列 为常数列 为递减数列 A Pd0 0d 0d 例 1 已知等差数列中 等于 n a 12497 116aaaa 则 A 15 B 30 C 31 D 64 2 是首项 公差的等差数列 如果 则序号等于 n a 1 1a 3d 2005 n a n A 667 B 668 C 669 D 670 3 等差数列 则为 为 填 递增数列 或12 12 nbna nnn a n b 递减数列 题型三题型三 等差中项的概念 定义 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 其中 aAbAab 2 ab A 成等差数列 即 aAb 2 ab A 21 2 nnn aaa mnmnn aaa 2 例 1 设是公差为正数的等差数列 若 则 n a 123 15aaa 123 80a a a 111213 aaa A B C D 1201059075 2 设数列是单调递增的等差数列 前三项的和为 12 前三项的积为 48 则它的首项是 n a A 1 B 2 C 4 D 8 题型四题型四 等差数列的性质 1 在等差数列中 从第 2 项起 每一项是它相邻二项的等差中项 n a 2 在等差数列中 相隔等距离的项组成的数列是等差数列 n a 3 在等差数列中 对任意 n amnN nm aanm d nm aa d nm mn 4 在等差数列中 若 且 则 n amnpqN mnpq mnpq aaaa 题型五题型五 等差数列的前和的求和公式 n 1 1 1 22 n n n aan n Snad n d a 2 n 2 1 1 2 是等差数列 2 为常数BABnAnSn n a 递推公式 2 2 1 1 naa naa S mnm n n 2 例 1 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 2 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等于 A 13 B 35 C 49 D 63 3 已知数列是等差数列 其前 10 项的和 则其公差等于 n a10 10 a70 10 Sd C D 3 1 3 2 BA 3 1 3 2 4 在等差数列 n a中 19 10aa 则 5 a的值为 A 5 B 6 C 8 D 10 5 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和为 390 则这个数列有 A 13 项B 12 项C 11 项D 10 项 6 已知等差数列的前项和为 若 n an n S 1185212 21aaaaS 则 7 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 53 5aa 则 9 5 S S 8 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 9 设等差数列 n a 的前 n 项和为 n s 若 63 12as 则 n a 10 已知数列 bn 是等差数列 b1 1 b1 b2 b10 100 则bn 11 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S7 7 S15 75 Tn为数列 的前n n Sn 项和 求Tn 12 等差数列的前项和记为 已知 求通项 若 242 求 n an n S5030 2010 aa n a n Sn 13 在等差数列中 1 已知 2 已知 n a 8121 48 168 SSad 求和 6588 10 5 aSaS 求和 3 已知 31517 40 aaS 求 3 题型六题型六 对于一个等差数列 1 若项数为偶数 设共有项 则 偶奇 2nS Snd 1 n n Sa Sa 奇 偶 2 若项数为奇数 设共有项 则 奇偶 21n S S n aa 中 1 Sn Sn 奇 偶 题型七题型七 对与一个等差数列 仍成等差数列 nnnnn SSSSS 232 例 1 等差数列 an 的前m项和为 30 前 2m项和为 100 则它的前 3m项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 2 一个等差数列前项的和为 48 前 2项的和为 60 则前 3项的和为 nnn 3 已知等差数列的前 10 项和为 100 前 100 项和为 10 则前 110 项和为 n a 4 设为等差数列的前项和 n S n an 97104 3014SSSS 则 5 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 3 6 S S 1 3 6 12 S S A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 题型八题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法 定义法 是等差数列 常数 Nndaa nn 1 n a 中项法 是等差数列 2 21 Nnaaa nnn n a 通项公式法 是等差数列 为常数bkbknan n a 前项和公式法 是等差数列n 2 为常数BABnAnSn n a 例 1 已知数列满足 则数列为 n a2 1 nn aa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 2 已知数列的通项为 则数列为 n a52 nan n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 3 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a42 2 nsn n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 4 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a 2 2nsn n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 5 已知一个数列满足 则数列为 n a02 12 nnn aaa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 6 设Sn是数列 an 的前n项和 且Sn n2 则 an 是 A 等比数列 但不是等差数列 B 等差数列 但不是等比数列 C 等差数列 而且也是等比数列 D 既非等比数列又非等差数列 7 数列满足 8 n a 1 a022 124 nnn aaaa 且 Nn 求数列的通项公式 n a 4 题型九题型九 数列最值 1 时 有最大值 时 有最小值 1 0a 0d n S 1 0a 0d n S 2 最值的求法 若已知 n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn 的最值 n S n S 可用二次函数最值的求法 或者求出 n a中的正 负分界项 即 nN 若已知 则最值时的值 可如下确定或 n a n SnnN 1 0 0 n n a a 1 0 0 n n a a 1 设 an n N N 是等差数列 Sn是其前n项的和 且S5 S6 S6 S7 S8 则下列结论错误的是 A d 0 B a7 0 C S9 S5 D S6与 S7均为 Sn的最大值 2 等差数列中 则前 项的和最大 n a 1291 0SSa 3 已知数列的通项 则数列的前 30 项中最大项和最小项分别是 n a 99 98 n n Nn n a 4 设等差数列的前项和为 已知 n an n S0012 13123 SSa 求出公差的范围 d 指出中哪一个值最大 并说明理由 1221 SSS 5 已知是等差数列 其中 公差 n a 1 31a 8d 1 数列从哪一项开始小于 0 n a 2 求数列前项和的最大值 并求出对应的值 n ann 6 已知是各项不为零的等差数列 其中 公差 若 求数列前项和的最大值 n a 1 0a 0d 10 0S n an 7 在等差数列中 求的最大值 n a 1 25a 179 SS n S 5 题型十题型十 利用求通项 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 1 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 2 已知数列的前项和则 n an 14 2 nnSn 3 数列的前项和 1 试写出数列的前 5 项 2 数列是等差数列吗 3 你能写出 n an 2 1 n Sn n a 数列的通项公式吗 n a 4 已知数列中 前和 n a 3 1 an1 1 1 2 1 nn anS 求证 数列是等差数列 n a 求数列的通项公式 n a 等比数列等比数列 等比数列定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比 数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母表示 即 q 0 q 1n a 0 n aq q 一 递推关系与通项公式一 递推关系与通项公式 1 11 q nn m nnnnm aaaaqaaq 递推关系 通项公式 推广 1 等比数列 an 中 a2 8 a1 64 则公比 q 为 A 2 B 3 C 4 D 8 2 在各项都为正数的等比数列中 首项 前三项和为 21 则 n a 1 3a 345 aaa A 33 B 72 C 84 D 189 3 在等比数列中 则 n a2 4 1 qa n a 4 在等比数列中 则 n a 3 7 12 2aq 19 a 5 在等比数列中 则 n a2 2 a54 5 a 8 a 6 二 等比中项 若三个数二 等比中项 若三个数成等比数列 则称成等比数列 则称为为的等比中项 且为的等比中项 且为是成是成cba bca与acbacb 2 注 等比数列的必要而不充分条件等比数列的必要而不充分条件 1 和的等比中项为 23 23 1A 1B 1C 2D 2 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 三 等比数列的基本性质 三 等比数列的基本性质 1 1 1 qpnm aaaaqpnm 则若 Nqpnm其中 2 2 Nnaaa a a q mnmnn m nmn 3 为等比数列 则下标成等差数列的对应项成等比数列 n a 4 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列 n a n a 1 在等比数列中 和是方程的两个根 则 n a 1 a 10 a 2 2510 xx 47 aa 5 2 A 2 2 B 1 2 C 1 2 D 2 等比数列的各项为正数 且 n a 56473132310 18 loglogloga aa aaaa 则 A 12 B 10 C 8 D 2 3 log 5 3 已知等比数列 n a 满足 0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当 1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 4 在等比数列 已知 则 n a5 1 a100 109 aa 18 a 5 在等比数列中 n a 14361 3233 nn aaaaaa 求 若 n a nnn TaaaT求 lglglg 21 7 四 等比数列的前四 等比数列的前 n n 项和 项和 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 例 1 设 则等于 4710310 22222 n f nnN f n A B C D 2 81 7 n 1 2 81 7 n 3 2 81 7 n 4 2 81 7 n 2 已知等比数列的首相 公比 则其前 n 项和 n a5 1 a2 q n S 3 已知等比数列的首相 公比 当项数 n 趋近与无穷大时 其前 n 项和 n a5 1 a 2 1 q n S 4 设等比数列的公比为 q 前 n 项和为 Sn 若 Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 则 q 的值为 n a 5 设等比数列的前 n 项和为 已 求和 n a n S 6 2 a306 31 aa n a n S 6 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S3 S6 2S9 求数列的公比q 五五 等比数列的前等比数列的前 n n 项和的性质项和的性质 若数列是等比数列 是其前 n 项的和 那么 成等比数列 n a n S Nk k S kk SS 2kk SS 23 1 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 若 6 3 S S 3 则 6 9 S S A 2 B 7 3 C 8 3 D 3 2 一个等比数列前项的和为 48 前 2项的和为 60 则前 3项的和为 nnn A 83 B 108 C 75 D 63 3 已知数列是等比数列 且 n a mmm SSS 32 3010 则 4 等比数列的判定法 8 1 定义法 为等比数列 常数 q a a n n 1 n a 2 中项法 为等比数列 0 2 2 1nnnn aaaa n a 3 通项公式法 为等比数列 为常数 qkqka n n n a 4 前项和法 为等比数列 n 为常数 qkqkS n n 1 n a 为等比数列 为常数 qkkqkS n n n a 例 1 已知数列的通项为 则数列为 n a n n a2 n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 2 已知数列满足 则数列为 n a 0 2