频率角频率和数字频率的物理含义

古人云 基础不牢 地动山摇 勿在浮沙筑高台 古人云 基础不牢 地动山摇 勿在浮沙筑高台 此话真不假 比如 MATLAB 中下标 从 1 开始而物理概念 t 从 0 开始 结果往往会差一点 做 FFT 后结果会莫名其妙的差 一点 做仿真的时候经常会因为这样一些基本概念不清而导致对结果无法正确的解释 盲目的追求多学习 不求甚解是得不偿失的 最后无知的还是你自己 一定要动脑子 想想 把知识消化了才能灵活运用 本文是数字信号处理的基本功 是本人学习思考 后的总结 网上没有发现有人讲此很基本的内容 相信肯定有不懂的 所以贴出来希 望大家能受益 最后 原大家得大智慧 断贪嗔痴 阿弥陀佛 1 模拟角频率 单位 rad s 大大 OMEGA 的物理含义是的物理含义是 2 pi 的时间段里面包含的时间段里面包含 y sin OMEGA t 正弦信号的个数 正弦信号的个数 2 pi T 现象下手指头绕原点做圆周运动 经 过一个周期 T 的时间 我们绕了 圈 则在 2 pi 的时间段内 正弦 y sin OMEGA t 就会有 个完整的波形 我们往往看到 2 pi T 每秒经历多少弧度 单位 rad s 你 想想到 当初其实就是刻画你绕原点画圆圈的快慢了吗 正弦信号和余弦信号实际上 是绕圆周运动的点在 x 轴和 y 轴上的投影 2 pi f t 0 pi 50 2 pi for OMEGA 1 4 y OMEGA sin OMEGA t str OMEGA OMEGA num2str OMEGA end h plot t y legend h str 2 频率 f 单位 Hz 频率频率 f 的物理含义是的物理含义是 1s 的时间段内包含有的时间段内包含有 f 个个 y sin f t 完整周完整周 期的信号波形 期的信号波形 根据 f 1 T 可以看出 f 表征的是 1s 时间段内振动了多少次 频率 f 不同于角频率 是绕着一个周期 T 时间间隔内物体绕原点转的圈数 由 2 pi f 看出 f 已经和圆周 2 pi 脱离关系了 手指头绕原点画圆圈投影到 x 轴或者 y 轴上的情 况是指尖左右移动 或者上下振动的情况 这就是 f 的物理含义 在周期的物理含义 在周期 T 内上下振内上下振 动的次数 或者左右移动的次数 动的次数 或者左右移动的次数 T 1 f 下图中是正弦的情况 f 1 就是 1s 内指尖 从 1 0 点向 1 0 点移动再移回来 1 次 f 4 就是 1s 内指尖从 1 0 点向 1 0 点移动再移回来 4 次 clear t 0 1 100 1 for f 1 4 y f sin 2 pi f t str f f num2str f end h plot t y legend h str 3 数字频率 w 单位是 rad 学习数字信号处理的要明白 数字频率实际上是和采样 周期 Ts 联系在一起的 离开采样周期 Ts 或者采样频率 Fs 1 Ts 单独谈数字频率 w 是没有实际价值的 因为此时它没有任何物理意义 这个我当初学的时候也没有弄明 白 此点大家要谨记 数字频率 w 是从单位圆上的 N 点等间隔采样而来的 这个 N 不 是别的就是数字周期 先给出数字频率 w 和数字周期 N 之间的关系 N 2 pi w k 当 信号是 以 N 为周期的时候 要求 2 pi w 是个有理数 对这个不明白的请看数字信号 处理的课本 w 2 pi k N 可见 w 的物理含义是相邻的两个采样点之间的弧度 的物理含义是相邻的两个采样点之间的弧度 w T Fs 是用是用 Fs 归一化后的频率 归一化后的频率 此时想想手指不沿着单位圆绕着原点做转圈了 而是在单位圆上有 N 个树坑 第一个树坑和第二个树坑之间的弧度大小为 w 注意 采样频率 s 2 和数字频率是一点关系都没有 顺便说下数字周期 N N 有两种 含义 f n f n N 周期信号 f n 的一个周期内有 0 N 1 共 N 个采样点 cos 2pi f t cos t cos n Ts cos Ts n cos w n clear w pi 4 N 2 pi w N 8 此处是在数据上采样 N 个点 FFT 时在频谱上也采样 N 个点 n 0 N 1 x sin n w h plot n x o 注意上图中没有时间信息 所以没有任何物理含义 这在实际中是没有用的 所以要 加上采样信息 Ts 或者 Fs 才能知道具体的物理含义 比如这些圆周上的树坑是以多快 的速度挖好的 w Fs w Ts 是 1 天挖好 Ts 较小 的还是 3 天挖好的 Ts 较大 由于采样丢失了 Ts 信息 即丢失了挖树坑的快慢信息 而仅仅将单位圆上树坑的个数 N 以及树坑之间的间距 w 保留了下来 仅仅是个最终结果 现实世界中有果比有因 非因果的东西是没有意义的 所以我们必须弄清楚这些树坑是以什么多长时间挖好的 即要补充 Ts 采样信息 才可以对应到模拟角频率 Ts w 或者频率 f 上 2 pi f Ts w clear close all 该信号的数字周期 N 8 模拟周期 T N Ts 0 008s 实际频率 f 125 Hz w pi 4 N 2 pi w N 8 n 0 N 1 n 0 N 可能会更好看一些 但是要清楚第 N 1 点可是下一个采样周期 的第一个点 x sin n w h plot n x o 注意 n 没有定标 没有物理含义 Fs 1000 采样频率为 1000Hz Ts 1 Fs t n Ts t 时间序列的给法永远只有这么一种 请铭记 时间序列的给法永远只有这么一种 请铭记 T N Ts 模拟周期 T f w Fs 2 pi 信号的真实频率 f figure plot t x 1 做 FFT 的点数和时间采样的点数 N 注意和数字周期 N 相同 相同时频率 f 的定标 数据上采样数据上采样 N 个点 频谱上采样个点 频谱上采样 N 个点个点 freq n Fs N Fs 2 频率序列的定标 注意此式子是本来面目 不要给此式子穿个 马甲就不认识了 下面是此式子的变形 freq n N 1 2 Fs freq n N 2 N Fs 注意 0 N 1 时 第 N 点对应着 Fs N 2 点对应着 Fs 2 Fs N 就是频率分辨率就是频率分辨率 freq n N 2 N 就是归一化频率 从 0 5 到 0 5 1 N 看看不是 0 5 0 5 哦 实际结合硬件编程就要这样干 X fftshift abs fft x 采用 N 8 点的 FFT 时的 FFT 做 FFT 的点数和时间采样的 点数相同 x IFFT ifft fft x figure plot freq X grid figure plot t x IFFT grid t 0 N 1 Ts N Ts 2 等价的有 t 0 N 2 N 1 N 2 Ts 即 t N 2 N 2 1 Ts figure plot t x IFFT grid 可以看出来频谱没有混叠 而且频率正确 2 做 FFT 的点数和时间采样的点数 N 不同时频率 f 的定标 补零后 FFT 补零后的 FFT 和补零前的 FFT 两者会有较大的不同 但两频谱的包络还是一致的 设补零前数据长 N 补零后数据长 M 补了 M N 个零值 则补零前的 FFT 有 N 条 谱线 分别代表的频率点是 0 1 N 1 fs N 补零后的 FFT 有 M 条谱线 分别代表 的频率点是 0 1 M 1 fs M 由于补零前后数据长度不一样 它们的分辨率 分别 为 df1 fs N df2 fs M 不一样 在频域中谱线所代表的频率也不一样 所以这两个 频谱所描述的对象也不相同 这里举一个例子 fs 1000HZ 补零前后数据长度 N 500 和 M 800 对应的 df1 2 df2 1 25 补零前的频谱是对应于 0 2 4 500HZ 的频谱 而补零后的频谱是对应于 0 1 25 2 5 500HZ 的频谱 所以两频谱中对应频 率不两同 描述当然不同 注意补零前后注意补零前后 fs 始终没有变 始终没有变 但是当特殊情况 M 2 n N 时 补零后的频谱相当于在补零前的频谱中插入 2 n 1 条谱线 与补零前的频谱中相重合的谱线 它们的幅值和相位完全一致 Nfft 1024 此处 Nffft N 128 所以要对结果的频谱进行 128 点的抽取 才可以 得到正确的频率定标 X Nfft fftshift abs fft x Nfft freqNormalized 0 Nfft 1 Nfft 2 Nfft freq freqNormalized 1 128 end Fs 结果和上面的结果完全相同 500 375 250 125 0 125 250 375 X X Nfft 1 128 end figure plot freq X grid 4 说说 0 N 1 和 1 N 和归一化频率 归一化频率 1 1 2 0 1 2 1 频率 f Fs Fs 2 0 Fs 2 Fs 模拟角频率 s s 2 0 s 2 s 数值频率 w 2 pi pi 0 pi 2 pi 0 N 1 和 1 N 都是描述单位圆上 N 个树坑的分布情况的 是一个正弦周期内应该采样 的点的范围 0 N 1 描述的概念是这样的 第一个采样点 N 0 对应 w 的 w 0 最后一个采样点 N 1 点对应 w 2 pi N 1 N 此时 w pi 处对应处对应 f Fs 2 或或 s 2 的模拟最高频的模拟最高频 分量对应分量对应 N 2 而不是 0 N 1 2 N 1 2 因为最后一点即 N 1 点不对应 Fs 从图 像上可以很清楚的看到这一点 不注意的话在此就要犯错 A D 采样就是按这样 0 N 1 的方式操作 比如 fftshift 后往往要调整下频率范围此时要用到中点 N 1 2 1 N 描述的也是单位圆上 N 个树坑的分布情况 只不过第一点 N 1 的位置在 w 2 pi N 的位置 最后一点 N 点对应 w 2 pi N N 2 pi 是零频率的位置 由于 MATLAB 中下标从 1 开始 所以这样表达有时候比较方便 此时 w pi 处对应处对应 f Fs 2 或或 s 2 的模拟最高频分量对应的模拟最高频分量对应 N 2 而不是 1 N 2 因为 N 1 点采样没 有在 t 0 处 下面看一个 1 N 的例子 clear N 100 数字周期 N Fs 2000 采样频率 只有确定了采样频率才能从数字信号频率确定实际模拟频率 Ts 1 Fs n 1 N n 0 N 可能会更好看一些 但是要清楚第 N 1 点可是下一个采样周期的第 一个点 w 0 02 pi x sin w n 数字频率 w 0 02 pi t n Ts t 时间序列的给法永远只有这么一种 请铭记 时间序列的给法永远只有这么一种 请铭记 plot t x grid on 注意此时信号的第 t 0 时没有采样点 T N Ts f w Fs 2 pi 信号