机电控制工程基础课程辅导-4

1 第 4 章 根 轨 迹 法 辅导 学习目标 1 正确理解开环零极点和闭环零极点的概念以及根轨迹方程 2 正确理解根轨迹法则 能熟练地运用法则绘制单位负反馈系统的闭环根轨迹 3 了解闭环系统零极点分布和阶跃响应间的关系 根根轨轨迹迹 所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时 闭环特征根在 s 平面上移动的轨迹 一般取开环增益为可变参数 但也可以用系统中的其他参数 如某 个环节的时间常数等 开环传递函数为 2 2 15 0 ss K ss K sG 其闭环传递函数为 Kss K s 22 2 2 则闭环特征方程为 022 2 Kss 闭环特征根为 Ks211 1 Ks211 2 从特征根的表达式可以看出 每个特征根都是 K 的函数 它们将随着 K 的变化而变化 如果在 s 平面上把不同 K 值下的闭环特征根连成线 则得到了该系统的根轨迹 如图 4 1 所示 图 4 1 二阶系统根轨迹 图 4 2 闭环系统方框图 根轨迹法就是利用已知的开环极 零点的位置 根据闭环特征方程所确定的几何条件 通过图解法求出由 0 时的所有闭环极点 g K 2 根根轨轨迹的迹的绘绘制法制法则则 在 s 平面上满足幅角条件式 4 6 的所有点都是系统的特征根 这些点的连线就是根轨 迹 在绘制根轨迹时 通常首先求出 0 和 时的特征根 再根据绘制法则画出 g K g K 0 时的根轨迹草图 g K 一一 根根轨轨迹的起点 迹的起点 Kg 0 当 0 时 系统的开环极点就是闭环极点 绘制根轨迹时 我们通常是从 g K 0 时的闭环极点画起 即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点 起点数 n 就是根轨迹 g K 曲线的条数 二二 根根轨轨迹的迹的终终点 点 Kg 系统的开环零点就是 时的闭环极点 即根轨迹曲线的终点 其个数为 m 另 g K 外的 n m 个根轨迹终点在无穷远 三三 根根轨轨迹的分支数和迹的分支数和对对称性称性 根轨迹在 s 平面上的分支数 条数 等于开环特征方程的阶数 n 即与开环极点个数 相同 此外 在一般控制系统的特征方程中 各项系数都是实数 因此 特征根或是实数 或是共扼复数 则根轨迹一定是对称于实轴 四四 实轴实轴上的根上的根轨轨迹迹 当开环传递函数有实数极点 零点时 如图 4 4 所示 这意味着实轴上有根轨迹的起 点和终点 这时 必须确定实轴上哪一区间有根轨迹 哪一区间没有根轨迹 图 4 4 实轴上的根轨迹 图 4 5 分离点和会合点 五五 根根轨轨迹的分离点和会和点迹的分离点和会和点 如图 4 5 所示 在有根轨迹的实轴上 存在着两个开环极点时 必然有一个分离点 a 同样 在有根轨迹的实轴上 存在两个开环零点 包括无穷远零点 时 必然有一个会合点 b 当为 a a 点的 值 或 b b 点的 值 时 特征方程都将出现重根 这是两 g K g K g K g K g K 者的共性 此外 分离点 a 的值 是其实轴根轨迹上的最大值 会合点 b 的值 g K g K g K 3 是其实轴根轨迹上的最小值 根据重根现象或的极值条件 都可以确定分离点和会 g K g K 合 例 4 2 已知某系统的开环传递函数为 21 1 psps zsK sD sNK sHsG gg 式中 0 0 试求其根轨迹的分离点和会合点 g K 1 z 1 p 2 p 解 由于 1 zssN 21 pspssD 上式对 s 求导后得 1 s N 21 2ppssD 代入 得 02 21211 pspsppszs 由此得分离点和会合点分别为 21112 1 pzpzzs 六六 根根轨轨迹的迹的渐渐近近线线 1 渐近线与实轴的交角 渐近线与实轴的交角 渐近线倾角渐近线倾角 设无穷远处有特征根 则有复平面上所有开环有限零点和开环极点到的矢量幅角 i s i s 都相等 即 ji 把上式带入幅角条件得 21 180 11 nm n j j m i i 则渐近线倾角为 mn 21180 2 1 0 当 由 0 增大时 渐近线倾角将重复出现 故独立的渐近线只有 n m 条 例 设某系统的开环传递函数为 41 sss K sHsG g 试计算其根轨迹的渐近线倾角 解 由其开环传递函数可知 m 0 n 3 代入式 4 10 中得该系统的根轨迹渐近 线倾角为 180 60 60 03 21180 4 七七 根根轨轨迹的出射角和入射角迹的出射角和入射角 当开环极点位于复平面上时 需要根据相角条件计算根轨迹起点的斜率 以确定根轨 迹从复数极点出发后的走向 同理 当开环零点位于复平面上时 需要求出根轨迹终点的 斜率 以确定根轨迹是怎样终止于复数零点的 根轨迹离开开环复数极点处的切线和正实 轴的夹角称为出射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为入射角 八八 根根轨轨迹和虚迹和虚轴轴的交点的交点 根轨迹和虚轴的交点意味着特征根的实部等于零 系统处于临界稳定上 求出该交点 所对应的值 显然是重要的 其求解方法可以用劳斯判据 也可用令特征方程中的 g K s j 然后分别令其实部和虚部等于零的方法求得 一一 二二阶阶系系统统的根的根轨轨迹迹 1 无开环零点时无开环零点时 设无开环零点时的二阶系统的结构图如图 4 8 所示 其开环传递函数为 1 1 T ss K Tss K sHsG g k 式中 开环根轨增益 即 g KTKK kg 开环增益 k K 绘出二阶系统的根轨迹曲线 如图 4 9 所示 2 有开环零点时有开环零点时 有开环零点时的二阶系统的结构图如图 4 10 a 所示 它的开环传递函数为 2 0 1 15 2 0 1 ss sK ss sK sHsG g k 式中 kg KK a 结构图 b 根轨迹图 图 4 10 具有开环零点的二阶系统 图 4 8 二阶系统结构图 5 二二 三三阶阶系系统统的根的根轨轨迹迹 1 无开环零点时无开环零点时 无开环零点时的三阶系统的方框图示于图 4 13 中 其开环传递函数为 4 1 125 0 1 sss K sss K sHsG g k 式中 kg KK4 绘制该系统的根轨迹 1 三条根轨迹的起点分别为 0 1 p 三条根轨迹的终点都在无穷远 因 1 2 p4 3 p3 mn 2 实轴上的根轨迹位于 0 1 和 4 两个区间 5 根轨迹与虚轴的交点 该系统的闭环特征方程为 0 4 1 g Ksss 令 s j 得 0 4 1 g Kjjj 上式实部为零 得 05 2 g K 虚部为零 得 04 3 则根轨迹与实轴的交点为 2 而 0 为根 轨迹的起点 根轨迹与虚轴相交处的为 g K 20 g K 因为 故得系统的临界开环增益为 kg KK4 54 204 gk KK 其根轨迹曲线于图 4 14 2 有开环零点时有开环零点时 具有开环零点的三阶系统的开环传递函数为 1 1 1 2 1 2 pss zsK TssT sK sHsG g id dk 式中 并且 TT K K i k g d z 1 1 T p 1 1 T d 绘制其根轨迹如下 1 有三条根轨迹 起点分别为 重根 有条0 2 1 p T p 1 3 213 mn 根轨迹的终点在无穷远 一条根轨迹的终点在 d z 1 1 2 实轴上 区间之右有三 T 1 d 1 个开环极 零点 故该区间有根轨迹 图 4 14 三阶系统根轨迹 图 4 13 三阶系统结构图 6 3 有条渐近线 其倾斜角为213 mn 90 13 180 渐近线与实轴的交点为 d d T T 11 2 1 13 11 根据上面所求得的数据 绘制其根轨迹曲线如