金属材料弹性常数与温度关系的理论解析_刘彤

年 月 第 卷 第 期 金属材料弹性常数与温度关系的理论解析 刘 彤 刘敏珊 郑州大学热能工程研究中心 河南省过程传热与节能重点实验室 郑州 摘 要 应用连续统力学 金属物理宏观性能与固体物理微观理论 通过推导获得了碳钢和压力 容器钢线膨胀系数与宽范围温度之间的解析表达式和近似计算展开式 提出了线膨胀系数的转捩 温度 的定义式 当温度低于 时 线膨胀系数随温度升高而增大 当温度高于 时 线膨胀系 数则随着温度升高而减小 基于固体物理原子理论 推导出了考虑高温热激活能诱导位错变形效应 的弹性模量与温度之间的关系式 并给出了碳钢和压力容器钢弹性模量随温度变化的普适函数表 达式 对于纯铁 碳钢和压力容器钢的弹性常数 采用导出公式的计算结果与试验结果符合甚好 关键词 金属材料 力学性能 线膨胀系数 弹性模量 中图分类号 文献标志码 文章编号 引 言 固体材料在外力作用下会发生弹性和 或塑性 变形 弹性变形的重要性在于各种变形过程都是从 弹性变形开始的 它对脆性材料的强度 刚度和安全 性设计具有重要意义 对塑性和高弹性材料的变形 发展进程和过程都有重要影响 而固体材料的弹性 收稿日期 修订日期 基金项目 国家自然科学基金资助项目 河南省过程传热 与节能重点实验室资助项目 作者简介 刘彤 男 河南虞城人 副教授 博士 常数则是描述材料应力和应变之间关系的重要参 数 基于固体物理和金属学理论 可知 金属材 料的弹性常数对其组织结构不是十分敏感 而且基 本上与单相合金的晶粒尺寸以及复相合金中的第二 相弥散度无关 但是它的高低标志着金属原子间结 合力的本质和强弱 且与键的性质和晶体结构有着 紧密的联系 这些都是研究弹性变形的科学意义 在高温环境下服役的结构件 其组织差异会很快弱 化 而且强度最终也主要由原子间的结合力控制 多晶体材料的弹性常数可由众多单晶体的平均化处 理获得 其值在单晶体弹性常数的最大值与最小值 刘 彤 等 金属材料弹性常数与温度关系的理论解析 之间 且其弹性模量的计算值也与试验值较为一致 这说明多晶体的弹性变形常数具有统计性 且晶界 对多晶体金属材料弹性变形的影响可以忽略 即晶 体结构相关的各向异性可以忽略 因此 工程中大 多数金属材料都可看作是各向同性材料 各向同性 材料独立的弹性常数仅有两个 即弹性模量 和泊 松比 弹性模量是材料损伤和结构安全设计中的 一个重要的力学量 在核电装备设计制造和服役寿 命评估中都会用到 核电装备中的许多钢制压力容 器都是在高温 高压环境下工作 详细了解这些压力 容器的线膨胀系数和弹性模量随温度和压力的变化 规律 对分析研究高温环境下工作的金属材料的变 形和损伤 以及在新材料设计制造 在役设备安全评 估等方面有着重要的工程意义 弹性物质究其本质是一种热力物质 在其连续统力学 中以本构公理为基础推导出了热 力物质的本构方程 并进而获得了弹性物质的本构 方程 即 弹 性 材 料 的 应 力 应 变 关 系 或 称 为 广 义 定律 温度对材料力学性能的影响非常复 杂 不仅有物理作用 而且还包含物理化学过程 目 前有关温度对材料力学性能影响规律方面的了解仍 很欠缺 尤其是在极高温度和极低温度下 材料的物 理性能数据极其匮乏 准确掌握高温 高压下材料 的性能数据 对航空发动机 火箭和核电站设备高效 率设计制造和可靠运行具有重要意义 目前国内外 能够提供的弹性参数一般都是常温和中高温度工况 多在 以下 下的 缺乏高温和高压下的 材料性能数据 另外 在高温下 材料的结构性能因 复杂的物理 化学 变化而与常温 中高温下的差别 显著 现有的金属物理性能分析理论方法不足以解 决这些问题 近年来 随着计算机技术进步而快速 发展起来的分子动力学模拟技术 以其独有的综合 技术优势在计算材料学和 超 高温 超 高压状态 下材料物理性能分析方面得到了越来越多的应用 因此 作者基于现有试验数据 通过理论解析获得了 弹性常数与温度之间的关系 并将分析结果与分子 动力学模拟结果进行相互印证 确认了模拟方法和 程序的正确性 然后 利用分子动力学模拟技术研究 了 超 高温 超 高压下单晶体和多晶体以及合金 元素和晶体结构对材料物理性能的影响规律 基于 试验数据 可整理得到纯铁的弹性模量 碳钢和 低合金钢线膨胀系数随温度变化的曲线 如图 所示 图 纯铁弹性模量随温度变化的曲线 图 不同温度下碳钢和低合金钢的线膨胀系数 基于试验数据采用统计拟合的方法 虽然能够 得出固体弹性模量与温度之间的变化关系 但这些 研究都是从宏观角度和试验数据出发 适用的温度 范围有限 外推结果缺乏可靠性 缺乏有关温度对金 属材料性能影响本质规律的深入揭示和说明 因 此 作者尝试基于固体结构的原子理论和分子模拟 技术 从原子层面对弹性模量随温度变化的规律进 行探讨 基于固体物理微观理论的线膨胀系数 分析 金属材料的线膨胀系数和弹性模量与温度的关 系可根据物理模型从理论上进行一般分析 金属材 料的弹性常数与金属晶体结构中原子相互作用势能 密切相关 而计算金属晶体之间的相互作用能是一 个相当复杂的问题 为了描述金属原子间的相互作 用 人们提出了许多势能表达式 对于金属固体材料 而言 常用的势能模式为 势和嵌入原子模型 对于固体材料而言 原子运动被限制在其平衡 位置附近 不会偏离平衡位置太远 因此 不管使用 何 种形式的势能函数 总可以将原子间距为 的原 刘 彤 等 金属材料弹性常数与温度关系的理论解析 子相互作用势 在平衡位置 处按偏离平衡位 移量 进行 级数展开 即 式中 为相当于简谐振动的弹簧刚度系数 称为 简谐系数 分别称为第一阶和第二阶非简谐 系数 对于金属晶体而言 一般情况下 和 为正 数 为负数 将 表达式代入到任意可观测物 理量的 统计平均计算公式 可得到温 度为 时的原子热振平均位移 的表达式 根 据线膨胀系数 物理定义式可得到 的表达式 式中 为 常数 为热力学温度 由式 可 见 热 力 学 温 度 为 零 时 金属材料线膨胀系数与温度之间的关系比 较复杂 它们之间的规律完全由与金属材料晶体的 势能相关的参数确定 将式 对温度 求导 可 得 从式 可看出 由于 为负数 随着温度升高 是增大还是减小取决于温度 高于还是低于某个特 定的温度值 将该温度定义为转捩温 度 有关 的物理意义尚需探讨 当温度 低于 时 随着温度的升高 增大 当温度 高于 时 随着温度的升高 减小 对于铁 镍 铜等金属 材料 将 和 代入后可知 值一般在几万到十 万之间 该温度远超过金属材料的沸点 而实际工 程中的温度 远低于 故随着温度的升高 增 大 参见图 此时 可将式 按幂级数展开 由式 知 随着 升高 增大 因为 较大 工程中的温度要比 小 个数量级 所以 式 中仅取线性项给出的结果就足够精确 以计算铁在 时的线膨胀系数为例 忽略二次以上高阶项 后的计算值与精确值相比 相对误差小于 镍 和铜的 值更高 故误差更小 因此 对于常见的金 属材料而言 在 的温度范围内 线膨胀系数 随温度升高呈线性增大 计算式如下 令 则式 可简化为 式中 为温度 等于零时的线膨胀系数 为相对 变化比例常数 势能函数常用来表征金属原子间的相互 作用 由 势能函数式易知原子间力的强弱 随距离呈指数式衰减 因此 可选取适当的距离进 行截断 只需将截断距离内的原子对目标原子的势 能贡献计入就足够精确 截断距离外原子的影响可 忽略不计 选取文献 中立方晶体结构金属铁的 势能参数值 截断距离取 倍最近邻距离 应 用式 计算可以得到金属铁的 和 从而获得其 线膨胀系数与温度的线性关系 对不同温度下碳钢的线膨胀系数数据 进行 统计并处理后有 考虑到碳钢与纯铁间的差异 理论计算结果与 试验结果之间符合得还是比较好的 温度对弹性性能影响的理论分析 不同温度下弹性模量的理论计算公式 材料弹性模量 的温度系数 和线膨胀系数 的关系式为 金属物理研究结果表明 弹性模量的温度系数 和线膨胀系数之比为一恒值 即 根据中高温和低温范围内的试验数据 工程 中常用钢 奥氏体钢 铁镍合金 铁 铝和铜合金等的 刘 彤 等 金属材料弹性常数与温度关系的理论解析 常数 平均值 为 标准差为 利用式 并积分式 令热力学温度为零 时的弹性模量为 可得式 式 即为材料弹性模量与温度之间的普遍关 系式 该函数式为复杂的指数函数 其导数为 由式 易见 这说明弹性模量总 是随温度的升高而降低 当温度逐渐升高趋于转捩 温度 时 弹性模量 也趋于零 根据前面的分析知 从热力学温度的零度到金 属熔点温度 远小于转捩温度 范围内 线膨胀系 数 随温度 的变化符合线性关系 将式 代入 式则有 根据 的定义式和式 可得 对式 积分 整理后可得 由于 为正数 且对于包括金属在内的绝大多 数物质来说 都是热胀冷缩 因此 一般情况下线膨 胀系数 都大于零 另外 由前面分析知 当 时 随温度的升高而增大 即斜率常数 大于 由 式 可知 弹性模量 随温度的升高而降低 且 随着温度向高温发展 弹性模量下降得更快 即弹性 模量随温度升高呈复杂的指数规律递减 纯铁弹性 模量随温度的变化情况如图 所示 为便于分析 将式 按 级数展开 并 取前 项 可得下列近似计算公式 线膨胀系数随温度变化的斜率 很小 接近零 在 范围 基本上与温度无关 因此 此时可得 高温金属晶体塑性变形对弹性常数的影响 纯净的单晶体由于其内禀的柔顺性 极易产生 位错 如滑移和孪晶 即使是在比较低的温度下也很 容易发生 而位错的运动会导致塑性变形 尤其是 在高温下 温度产生的热激活能诱导材料晶体内部 发生更密集的位错 纯铁和碳钢在温度超过 后 应当考虑晶体结构中局部塑性变形对材料宏观 性能的影响 材料晶体结构产生塑性变形后 由于塑性的非线性特性 理论上应力和应变之间不 再遵从线性关系 但由于晶格塑性变形所占比例极 小 因此 宏观上应力和应变之间的比例关系并未遭 到严重破坏 弹性常数仍是占据主导意义的物理量 高温诱导的位错所产生的塑性应变 占总应 变 的比例很小 即 远较弹性应变 小 根据材 料的应力应变关系可导出式 式中 为弹性模量原始值 由式 可导出 对于很多材料而言 热激活能的高低决定着所 形成点缺陷的密度 而塑性应变正比于点缺陷数量 且一般情况下应力变化率与应变率的比与应力与应 变的比相同 皆为弹性模量 因此 通过位错滑移 热激活参量分析可以获得塑性应变和热激活能之间 的指数关系 如式 所示 式中 为与材料微观物理结构有关的常数 由应变 速率 滑移面取向因子 矢量 晶体内声速 自由能等决定 与温度无关或关系很 小 为位错用最小激活能从其平衡位置等温移 至鞍点位置时系统的 自由能变化量 它是结 构 温度和有效应力的函数 对于纯铁和低碳钢来说 将式 代入式 可得 的大小代表了热激活能对弹 性常数的影响程度 可见 随着温度的降低 热激活 能的影响减弱 随着温度的升高 其影响变强 综合式 和 可得适应宽泛温度范围 具 有普适性的弹性模量表达式 式 即为适用于高温和低温下材料弹性模量 的计算公式 从工程应用出发 可引入修正系数 年 月 第 卷 第 期 来考虑局部热塑性变形 其定义式为 通过计算可得到纯铁和低碳钢的修正系数 式 可写成 采用近似计算展开式有 在工程合理温度范围 通过多项式统计拟合后 可得 与温度 之间的多项式 对于工业纯铁和 低碳钢而言 的多项式为 对于中高温范围 考虑高温热激活塑性变形后 可得下列弹性模量计算式 考虑线膨胀系数随温度变化的弹性模量计算公 式为 采用随温度线性变化的线膨胀系数关系式为 综合考虑高温热激活局部塑性变形修正后有 采用随温度线性变化的线膨胀系数关系式时 按照碳钢和压力容器钢参数绘制上述关系式的 曲线 如图 所示 将现有试验数据标记于其上 以 便进行对比分析 由图 可以看出 理论计算结果 和试验数据符合得相当好 纯铁的数据略高于理论 计算值 但是变化趋势完全一致 图 不同温度下弹性模量温度关系理论计算曲线与试验数据的对比 上述理论分析是基于材料组织结构不发生变化 的情况下进行的 对于通常的工业应用 工作温度 一般都低于 但是核电厂和火电厂有些结构 零件会在相当高的温度下工作 当温度超过 后 铁的晶体结构会从体心立方转变为面心立方 即 通常所说的 转变成 此时其弹性常数也会 发生较大变化 弹性模量会发生陡降 此时需要考虑 晶体结构变化带来的影响 结 论 导出了碳钢和压力容器钢线膨胀系数 与 温度之间的解析表达式和近似计算展开式 提出了线膨胀系数转捩温度 的定义式 当温度 低于 时 随着温度的升高而增大 当 温度 高于 时 则随着温度的升高而减小 对于常用金属材料 温度不超过 时 线膨胀系数随温度升高而近似线性增大 对于金属固体材料 推导出了考虑高温热 激活能诱导位错变形效应的弹性模量与宽范围温度 之间的关系 给出了碳钢和压力容器钢弹性模量与温度 之间的普适关系 对于纯铁 碳钢以及压力容器钢 采用导出 的理论公式计算的不同温度下的弹性模量与试验值 符合良好 参考文献 基特尔 固体物理导论 杨顺华 译 北京 科学出版社 下转第 页 王 正 等 高温低周疲劳短裂纹萌生的数值模拟 结 论 在 钢低周疲劳短裂纹既有驻留 滑移带开裂引起的穿晶萌生又有晶界开裂引起的沿 晶萌生 其受显微组织和宏观应力状态的影响 有非 常大的随机性 改进了编程方法 使生成的 多边形 更接近真实显微组织 提出了基础能量的概念 以表 征不同类型晶界对裂纹萌生具有的抵抗能力不同 并赋予晶粒以空间三维随机取向 结果更加接近于 金属表面的实际结构 基于建立的显微组织和位错堆积理论 可 视化地再现了不同循环周次下裂纹萌生的结果 实 现了对高温低周疲劳短裂纹萌生行为 沿晶和穿晶 萌生共存 的数值模拟 对比试验结果令人满意 参考文献 张广平 王中光 晶体取向和载荷模式对 合金单晶体疲 劳行为的影响 金属学报 段启强 张辉 莫春丽 等 驻留滑移带与晶界和孪晶界的交互 作用 材料研究学报 张哲峰 张鹏 田艳中 等 金属材料疲劳损伤的界面效