第1章 单自由度系统的振动.doc

第1章 单自由度系统的振动1.1概述图1.1-1机械振动是工程中常见的物理现象。悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。因此，机械振动就是在一定的条件下，振动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。实际中的振动系统是很复杂的。为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。例如图示1.1-1就是个最简单的单自由度质量(m)弹簧(k)系统。如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。机械振动分析方法很多。对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB语言来实现。1.2单自由度系统的振动1.2.1 无阻尼自由振动如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述： (1.2.1-1)令 ，方程的通解为 (1.2.1-2)式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。式(1.2.1-2)中，a、b为积分常数，它决定于振动的初始条件。如假定t=0时，质量块的位移 x=x0，其速度 ,则即 （1.2.1-3）或写成 （1.2.1-4），其中A为振幅，为振动圆频率， 为相位角，（赫兹）称为固有频率。固有频率与外界给予的初始条件无关，它是系统本身所具有的一种重要特性。1.2.2 有阻尼自由振动图1.2-1图1.1-1所示的自由振动中，由于系统的能量守恒，如果振动一旦发生，它就会持久的，等幅的一直进行下去。但是，实际上所遇到的自由振动都是逐渐衰减而至最终停止的，即系统存在阻尼。阻尼有相对运动表面的摩擦力，液体与气体的介质阻力，电磁阻力以及材料变形时的内阻力等。图1.2-1所示为考虑了阻尼的单自由度振动系统模型。其运动微分方程为 (1.2.2-1)令，则 （1.2.2-2）其通解为 （1.2.2-3）式中c1、c2为积分常数，由振动初始条件确定。令 ，称为相对阻尼系数或阻尼率。则式 （1.2.2-3）可写为 （1.2.2-4）由此可以讨论阻尼对系统的自由振动产生的影响。一、当x1时，称为强阻尼状态此时，式(1.2.2-4)可写成图1.2.2-2 （1.2.2-8）由于，故式(1.2.2-8 )中二项指数皆为实数。又因为，故二项之指数皆为负值，所以，式（1.2.2-8）所表示的是一根指数递减曲线。这表示系统将不再产生前面所述的振动，而是产生一按指数规律衰减的曲线。三、当x=1时，称为临界阻尼状态 由于 ，则有 (1.2.2-9) 这里 cc 为临界阻尼状态下的阻尼系数，称为临界阻尼系数。显然它是系统本身所具有的特性之一。由及，有。也就是说，相对阻尼系数（阻尼率）反映了系统的实际阻尼与临界阻尼的关系。在临界阻尼状态下，有 (1.2.2-10)其中。显然，在这种状态下不能形成振动(图1.2.2-4)。1.2.3 有阻尼自由振动响应计算与 MATLAB实现根据式(1.2.2-7)、(1.2.2-8)、(1.2.2-10) 编写的程序如下：function VTB1(m,c,k,x0,v0,tf)%VTB1用来计算单自由度有阻尼自由振动系统的响应%VTB1绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%m为质量;c为阻尼;k为刚度;x0为初始位移;v0为初始速度;tf为仿真时间%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%zeta为阻尼系数;n为固有频率%程序中z为阻尼系数;A为振动幅度;phi为初相位clc%该循环确定输入方式是VTB1(m,c,k,x0,v0,tf),还是%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)if nargin=5 z=m;wn=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w2;endwn=sqrt(k/m);%固有频率z=c/2/m/wn;wd=wn*sqrt(1-z2);fprintf(固有频率为%.3g.rad/s.n,wn);fprintf(阻尼系数%.3g.n,z);fprintf(有阻尼的固有频率%.3g.n,wd);t=0:tf/1000:tf;if zVTB1(1,0.05,1,1,1,100)则显示固有频率为1（rad/s）,阻尼系数0.03，幅值为A=1.43相位角为phi=0.773。其响应曲线如图 (1.2.3-1) 所示。程序中if语句就是判断大小的，即判断是弱阻尼状态、强阻尼状态还是临界阻尼状态。如果运行VTB1(1,2,1,0.1,1,20)，则显示固有频率为1（rad/s），阻尼系数1。其响应曲线如图 (1.2.3-2) 所示。如果要想求出振动的速度(=xd)和加速度(=xdd)，只要式(1.3-11)、式(12-12)、式(1.2-10)分别进行求导，在程序中加入相应的内容，最后增加plot(t,xd)，plot(t,xdd)即可给出速度和加速度图。1.2.4 有阻尼受迫振单自由度有阻尼强迫振动的微分方程为 (1.2.4-1)式中f(t)为外加的激励力。如果f(t)=F0sint,则称为谐激励力，式(1.2.4-1)可写成 (1.2.4-2)式(1.2.4-2) 是一个线性非齐次方程。其振动响应为 (1.2.4-3)式中A与仍按式(1.2.2-7)计算，为频率比，B为稳态响应的振幅。谐迫振动的主要特性有：1. 式(1.2.4-3)包括瞬态与稳态响应两部分，其中瞬态响应是一个有阻尼的谐振。振动频率为系统固有频率，振幅A与初相位角决定于初始条件，振幅的衰减按规律，因此，振动持续时间决定于系统的阻尼比。2. 谐振的稳态响应也是一个简谐振动，其频率比等于激励力的频率，振幅为B，相位角为。3. F0/k是系统的静载荷F0作用下产生的变形，称“静变位”。而系统在作用时，产生等幅振动，这个振动实质上是一种”动态变位”。即为“动态变位”与静态变形之比，称为动力放大因子。H()随阻尼比和频率比而变化。当时，即，说明激励频率 远小于系统固有频率时，系统可视为静态，振幅也等于静变位。当时，即这是因为激励力频率非常高，系统由于惯性而来不及随之振动。当时，B急剧增大，即发生共振。下面是单自由度谐迫振动计算程序。function vtb2(m,c,k,x0,v0,tf,w,f0)%单自由度系统的谐迫振动wn=sqrt(k/m);z=c/2/m/wn; %阻尼比lan=w/wn; %频率比wd=wn*sqrt(1-z2);A=sqrt(v0+z*wn*x0)2+(x0*wd)2)/wd2);t=0:tf/1000:tf;phi=atan2(2*z*lam,1-lam2) %相位角B=wn2*f0/k/sqrt(wn2-w2)2+(2*z*wn*w)2);x=A*exp(-z*wn*t).*sin(sqrt(1-z2)*wn*t+phi)+B*sin(w*t+phi);plot(t,x),grid图1.2.4-1xlabel(时间(s)ylabel(位移)title(位移与时间的关系)【例1.2.4-1】图(1.2.4-1)是谐迫振动系统。已知k=43.8(N/cm)，m=18.2(kg)，c=1.49(N.s/cm)，F0=44.5(N),=15(rad/s)。求系统的响应。图1.2.4-2运行vtb2(18.2,1.49,43.8,1,1,100,15,44.5)，可得出振动响应(图1.2.4-2)。读者可自己调整c、的大小，从而调整的大小，分析系统的响应形态。1.3 等效质量与等效刚度本节内容在机械原理中已学到。在第6章“考虑构件弹性的机械系统的动力学”中还要介绍传动系统的等效质量和等效刚度。在实际振动系统中往往有多个质量块、分布质量和多个以不同形式联结的弹性元件，尽管这些系统可以用有限元方法进行动力学分析，但为了简化，需要进行等效处理。1等效质量和等效转动惯量根据能量法原理,分布质量可简化为一个等效质量。它是一个假想的集中质量，在振动过程中产生的动能等于分布质量所产生的总能量。对于离散分布的各集中质量，其等效质量为 （1.3-1）其中质量的运动速度；等效质量的运动速度；转动惯量的转动角速度。等效转动惯量为 （1.3-2）图1.3-1其中等效转动惯量的转动角速度。图1.3-1所示的系统，现将质量简化到A点，利用式（1.31），且，可得2等效刚度等效刚度时在保证系统总势能不变的条件下，将各部分的刚度向一定位置转换，转换得到的假想刚度为等效刚度。机械系统中常用几个弹性元件串连或并联。建立动力学模型时，常需将组合弹簧系统换算成一个等效弹簧。这个弹簧得刚度为等效刚度。组合弹性元件的等效刚度见表1.3-1。表1.3-1组合弹性元件的等效刚度序号弹簧元件组合形式组合等效刚度1或234【例1.3-1】一振动系统如图1.3-2所示。假定水平杆OB是刚性杆，试求系统转化到B点的等效刚度。图1.3-2【解】将刚度的弹簧转换到B点。根据势能相等原理，A点弹簧的势能应等于B点等效弹簧的势能，即弹簧和弹簧成串联组合，则等效刚度为1. 4隔振原理机械设备运转时所产生的振动，不仅影响本身工作精度、结构强度和使用寿命，而且会对周围的仪器设备和建筑物带来危害。由振动引起的噪声还会影响人体的健康。因此，有效地隔离振动是十分必要的。（a）主动隔振 (b)被动隔振图1.4.1工程上通常采用两种性质不同的隔振，即主动隔振和被动隔振。两种隔振的设计方法是相同的，都是把隔振的机器或仪器安装在由弹簧与阻尼器组成的隔振器上，使大部分振动能量为隔振器所吸收。1主动隔振机器本身是振源。为了减少它对周围其它设备的影响，用隔振器将它与地基隔开，这种隔振称为主动隔振。例如行走机械中，原动机底座加橡胶隔振垫等。图1.4.1（a）是单自由度主动隔振的动力学模型。机器本身产生的振动激励力为。如果没有隔振装置，设备和支承之间为刚性接触，则传递到支承上的动载即为。采用隔振措施后，系统作用在支承上的力将为通过弹簧（）和阻尼器（）传递的最大载荷和的矢量和，即因（上述振动为简谐振动，其振动位移与速度之间的相位差），则最大合力为 (1.4-1)由式(1.2.4-3),谐迫振动的振幅为将上式代入式(1.4-1)，得主动隔振得隔振效果常用隔振系数来表示。为设备隔振后传给地基的最大动载荷(幅值)与未隔振时设备传给地基的最大动载荷（幅值）之比值。 (1.4-2)2被动隔振为了减小周围振源对仪器设备的影响，需隔离来自地基的振动，这种隔振称为被动隔振，如图1.4.1（b）所示。地基传给系统的激励是，经隔振后仪器设备的响应为，其振幅为被动隔振得隔振效果常用隔振系数来表示。 (1.4-3)当振源为简谐振动时，主动隔振与被动隔振的隔振系数的数学表达式是完全相同的。采用不同的、值，可绘制一系列隔振曲线。当时，无隔振效果；当时，不但不能隔振，反而会有扩振的效果；当时，系统共振。所以，称为扩振区。设备在启动和制动过程中必定要经过这一区域，因而，在隔振器内，应具有适当的阻尼，以减少经过共振区域的振幅。当时，这才有隔振效果，故称为隔振区，且随着的增大隔振效果增强。在工程中一般取即可满足要求。在此区域，增大阻尼会降低隔振效果。1.5等效粘性阻尼在振动微分方程中，一般将阻尼假定为粘性阻尼，从而使方程容易求解。而实际系统常为非粘性阻尼，因而需要用等效粘性阻尼来进行近似计算。当系统作简谐振动时，粘性阻尼力也是简谐力，即在一个周期中，粘性阻尼所消耗的能量等于它在一个周期中所做的功 （1.5-1）对于非粘性阻尼系统，根据一个周期中非粘性阻尼和等效阻尼所消耗的能量相等的原理，假设为非粘性阻尼在一个周期内所做的功，为其等效阻尼，则 （1.5-2）常见的非粘性阻尼的等效阻尼：1干摩擦阻尼干摩擦阻尼力为常数力，在系统振动过程中大小不变，其方向始终与运动方向相反，在1/4振动周期内，阻尼力所作的功为，故干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系数为 （1.5-3）2流体粘性阻尼当物体以较大速度在粘度较小的流体内运动时，其阻尼力和速度平方成正比（）,而方向与速度相反。流体阻尼在一个周期内所作的功为 （1.5-4）3结构阻尼图1.5-1结构材料在振动过程中，存在加载和卸载的循环。每个振动周期内形成一个应力曲线，如图（1.5-1）所示。试验表明，一个周期内结构阻尼消耗的能量与振幅平方成正比，而与振动频率无关，即式中b为常数。结构阻尼的等效粘性阻尼系数为 （1.5-5）如果一个系统存在几个性质不同的阻尼时，也可以把它折算成等效阻尼 (1.5-6)其中为系统各阻尼在一个周期中消耗的能量。关于结构阻尼，还请参考“李润方,王建军,齿轮系统动力学振动、冲击，噪声，科学技术出版社，1997.3”。1.6非谐周期激励的响应对于工程中常见的线性系统来说，任何周期函数均可按傅立叶级数理论展开为一系列简谐函数之和。假设系统受一周期激励作用，其周期为T,可表示为图1.6-1（1.6-1）式中。图（1.6-1）为给定周期函数的频谱。【例1.6-1】设周期激励为图（1.6-2）所示,求此函数的傅立叶级数和频谱。【解】的数学表达式为图1.6-2式中T为激励的周期，基频。不难求出傅立叶系数为因此如图1.6-3。在工程中一般取前5各谐波合成就能满足精度要求。图1.6-3（b）为对应的频谱图。从图中可以看出，当n=9时，谐波的幅值为0.14A，占比重很小。因此，可以忽略高阶谐波。下面有阻尼的弹簧质量系统在周期激励作用下的响应。其运动方程为图1.6-3 （1.6-2）方程右端的常数项相当于激励力的静力部分，若将响应曲线的坐标选在静平衡位置，此常数力不会出现在微分方程中。所以只讨论各阶简谐交变力引起的响应。同样，这里只讨论周期激励下的稳态响应。对于线性系统，可应用叠加原理将式（1.6-2）右端各谐波激励分别单独作用于系统，逐个求得其响应，然后将各响应叠加，即为系统在周期激励作用下得稳态响应。在于第n阶谐波激励力（）作用下，根据式（1.2.4-3），其响应可表示为（1.6-3）式中第n阶频率比，；系统固有频率，；k系统刚度。系统得总响应为 （1.6-4）当阻尼比较小可以忽略时，上式可写成 （1.6-5）式（1.6-5）表明，周期激励力作用下系统无阻尼稳态响应不仅与各阶谐波激振力幅、有关，且与频率比密切相关，要防止强烈振动应避免出现的情况。当系统是在周期性支承运动(参见1.2.5 支承激励引起的振动)作用下振动时，则在忽略阻尼时系统的响应为 （1.6-6）1.7单位脉冲的响应如前所述，一个无阻尼弹簧质量系统，在初始位移和初始速度下的自由振动响应为 设系统原来静止于平衡位置。从开始，突然作用有冲量，其中是极其短暂的阿冲击时间。由冲量定理，质量m的初速度，初始位移，代入上式，则系统体的运动规律为 （1.7-1）如果冲量，则称为单位脉冲，则由单位脉冲引起的系统响应为 （1.7-2）引入阻尼则单位脉冲引