第1讲---一元二次方程解法讲义

1 专专 题题一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教学目标教学目标 1 理解一元二次方程及其有关概念 2 会解一元二次方程 并能熟练运用四种方法去解 重点 难点重点 难点 1 一元二次方程的判定 求根公式 2 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求考点及考试要求 1 一元二次方程的定义 一般形式 配方式 2 熟练一元二次方程的解法能灵活运用 直接开平法 配方法 因式分解 公式 法去 3 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容教学内容 考点一 概念考点一 概念 1 1 定义 定义 只含有一个未知数 并且 未知数的最高次数是 2 这样的 整式方程就是一元二次方程 2 2 一般表达式 一般表达式 0 0 2 acbxax 注 当 b 0 时可化为这是一元二次方程的配方式0 2 cax 3 3 四四个个特特点点 1 只含有一个未知数 2 且未知数次数最高次数是 2 3 是整式方程 要判断 一个方程是否为一元二次方程 先看它是否为整式方程 若是 再对它进行整理 如果能整理为 的形式 则这个方程就为一元二次方程 4 将方程化为一般形式 0 0 2 acbxax 时 应满足 a 0 0 2 cbxax 4 4 难点 难点 如何理解 未知数的最高次数是 2 该项系数不为 0 未知数指数为 2 若存在某项指数为待定系数 或系数也有待定 则需建立方程或不等式加以讨论 典型例题典型例题 例例 1 1 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 A B C D 1213 2 xx02 11 2 xx 0 2 cbxax12 22 xxx 变式 变式 当 k 时 关于 x 的方程是一元二次方程 32 22 xxkx 例例 2 2 方程是关于 x 的一元二次方程 则 m 的值为 0132 mxxm m 考点二 方程的解考点二 方程的解 概念 概念 使方程两边相等的未知数的值 就是方程的解 2 应用 应用 利用根的概念求代数式的值 典型例题典型例题 例例 1 1 已知的值为 2 则的值为 32 2 yy124 2 yy 例例 2 2 关于 x 的一元二次方程的一个根为 0 则 a 的值为 042 22 axxa 说明 说明 任何时候 都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制 例例 3 3 已知关于 x 的一元二次方程的系数满足 则此方程必有一根为 00 2 acbxaxbca 说明 说明 本题的关键点在于对 代数式形式 的观察 再利用特殊根 1 巧解代数式的值 例例 4 4 已知是方程的两个根 是方程的两个根 则 m 的值为 ba 04 2 mxxcb 058 2 myy 例例 5 5 已知 求 ba 012 2 aa012 2 bb ba 变式 变式 若 则的值为 012 2 aa012 2 bb a b b a 6 方程的一个根为 0 2 acxcbxba A B 1 C D 1 cb a 7 若 yx yx324 0352 考点三 方程解法考点三 方程解法 1 1 基基本本思思想想方方法法 解一元二次方程就 是通过 降次 将它化为两个一元一次方程 2 2 方法 方法 直接开方法 因式分解法 配方法 公式法 类型一 直接开方法 类型一 直接开方法 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法 用直接开平方法解形如 mxmmx 其解为 0 2 对于 等形式均适用直接开方法 max 2 22 nbxmax 典型例题典型例题 例 1 解方程 2 0821 2 x7 13 2 x 0913 2 x 4 5 22 21619 xx1116249 2 xx 例 2 解关于 x 的方程 0 2 bax 3 下列方程无解的是 A B C D 123 22 xx 02 2 xxx 13209 2 x 3 类型二 配方法类型二 配方法 基本步骤 1 先将常数 c 移到方程右边 2 将二次项系数化为 1 3 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4 方程左边成为一个完全平方式 在解方程中 多不用配方法 但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题 典型例题典型例题 例 1 试用配方法说明的值恒大于 0 的值恒小于 0 32 2 xx4710 2 xx 例 2 已知 x y 为实数 求代数式的最小值 742 22 yxyx 例 3 已知为实数 求的值 x yyxyx01364 22 y x 变式 1 已知 则 04 11 2 2 x x x x x x 1 例 4 分解因式 3124 2 xx 类型三 因式分解法类型三 因式分解法 把方程变形为一边是零 把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的 形式 让两个一次因式分别 等于零 得到两个一元一次方程 解这两个一元一次方程所得到的根 就是原方程的两个根 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 0 21 xxxx 21 xxxx 或 方程特点 左边可以分解为两个一次因式的积 右边为 0 方程形式 如 22 nbxmax cxaxbxax 02 22 aaxx 分解方法 提公因式 利用平方差与完全平方公式 十字相乘法 针对练习针对练习 例 1 的根为 3532 xxx A B C D 2 5 x3 x3 2 5 21 xx 5 2 x 例 2 1 平方差 2 提公因式 22 1694ba yxyxyx 3234 268 3 平方差 4 完全平方式 22 4 nmnm 96 2 aa 5 完全平方式 6 十字相乘法 22 3612yxxy 4 5 2 baba 7 十字相乘法 8 提公因式 22 127qpqp 32 2 2 2 5mnnmn 4 例 3 若 则 4x y 的值为 04434 2 yxyx 例 4 方程的解为 06 2 xx A B C D 23 21 xx23 21 xx33 21 xx22 21 xx 例 5 解方程 0432132 2 xx 例 6 已知 则的值为 0232 22 yxyx yx yx 变式 已知 且 则的值为 0232 22 yxyx0 0 yx yx yx 例 7 解下列方程 1 2x 3 2 3x 2 2 2 x 2 4x 14 5 x 5 2 2 3 4 5m2 17m 14 0 5 x2 x 1 x2 x 12 42 6 2x2 3a b x 2a2 3ab b2 0 类型四 公式法 类型四 公式法 把一元二次方程化成一般形式 然后计算 判别式的值 当判别式大于等于零 时 把各项系数 a b c 的值代入求根公式 就可得到方程的根 条件 公式 04 0 2 acba且 a acbb x 2 4 2 04 0 2 acba且 典型例题典型例题 例 1 选择适当方法解下列方程 6 13 2 x 8 63 xx014 2 xx 0143 2 xx 5211313 xxxx 说明 解一元二次方程时 首选方法是因式分解法和直接开方法 其次选用求根公式法 一般不选择 配方法 例 2 在实数范围内分解因式 1 2 322 2 xx184 2 xx 22 542yxyx 说明 对于二次三项式的因式分解 如果在有理数范围内不能分解 一般情况要用cbxax 2 求根公式 这 种方法首先令 0 求出两根 再写成 cbxax 2 cbxax 2 21 xxxxa 分解结果是否把二次项系数乘进括号内 取决于能否把括号内的分母化去 类型五 类型五 降次思想降次思想 的应用的应用 主要内容 主要内容 求代数式的值 解二元二次方程组 5 典型例题典型例题 例 1 已知 求代数式的值 023 2 xx 1 11 2 3 x xx 例 2 如果 那么代数式的值 01 2 xx72 23 xx 例 3 已知是一元二次方程的一根 求的值 a013 2 xx 1 152 2 23 a aaa 说明 在运用降次思想求代数式的值的时候 要注意两方面的问题 能对已知式进行灵活的变形 能利用已知条件或变形条件 逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂 最后求解 例 4 用两种不同的方法解方程组 2 0 65 1 62 22 yxyx yx 说明 解二元二次方程组的具体思维方法有两种 先消元 再降次 先降次 再消元 但都体现了一种共同的数学思想 化归思想 即把新问题转化归结为我们已知的问题 考点四 根与系数的关系考点四 根与系数的关系 前提 前提 对于而言 当满足 时 才能用韦达定理 0 2 cbxax0 a0 主要内容 主要内容 a c xx a b xx 2121 应用 应用 整体代入求值 典型例题典型例题 例例 1 1 已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根 则这个直角三0782 2 xx 角形的斜边是 A B 3 C 6 D 36 说明说明 要能较好地理解 运用一元二次方程根与系数的关系 必须熟练掌握 ba ba ab 之间的运算关系 22 ba 例例 2 2 解方程组 2 10 2 24 10 1 22 yx yx xy yx 说明说明 一些含有 的二元二次方程组 除可以且代入法来解外 往往还可以yx 22 yx xy 利用根与系数的关系 将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题 有时 后者显得更为简便 6 例例 3 3 已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根 0112 22 xkxk 21 x x 1 求 k 的取值范围 2 是否存在实数 k 使方程的两实数根互为相反数 若存在 求出 k 的值 若不存在 请说 明理由 例例 4 4 已知 求 ba 012 2 aa012 2 bb ba 变式变式 若 则的值为 012 2 aa012 2 bb a b b a 例例 5 5 已知是方程的两个根 那么 01 2 xx 3 4 测试题目测试题目 一 选择题 1 解方程 3x2 27 0 得 A x 3 B x 3 C 无实数根 D 方程的根有无数个 2 方程 2 3x 3x 2 2 0 的解是 A x2 1 B C x1 x2 D x2 1 3 方程 x 1 2 4 的根是 A 3 3 B 3 1 C 2 3 D 3 2 4 用配方法解方程 正确的是 7 A B C 原方程无实数解 D 原方程无实数解 5 一元二次方程用求根公式求解 先求 a b c 的值 正确的是 A a 1 b B a 1 b c 2 C a 1 b c 2 D a 1 b c 2 6 用公式法解方程 3x2 5x 1 0 正确的结果是 A B C D 都不对 二 填空 7 方程 9x2 25 的根是 8 已知二次方程 x2 t 2 x t 0 有一个根是 2 则 t 另一个根是 9 关于 x 的方程 6x2 5 m 1 x m2 2m 3 0 有一个根是 0 则 m 的值为 10 关于 x 的方程 m2 m 2 x2 mx n 0 是一元二次方程的条件为 11 方程 x 2 x a 0 和方程 x2 x 2 0 有两个相同的解 则 a 三 用适当的方法解下列关于 x 和 y 的方程 12 x 2 x 2 1 13 3x 4 2 4x 3 2 14 3x2 4x 4 0 15 x2 x 1 0 8 16 x2 2x 1 0 17 2y 1 2 3 2y 1 2 0 18 2x2 19 x2 bx 2b2 0 20 a2x2 2abx b2 4 0 a 0 21 b c x2 c a x a b 0 a c 22 用因式分解法 配方法 分式法解方程 2x2 5x 3 0 A 因式分解法 B 配方法 C 公式法 23 解方程 1 2 24 已知 2m 3 1 试解关于 x 的方程 3mx x 1 5 x 1 x 1 x2 25 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品 据市场分析 若按每千克 50 元销售 一个月 能售出 500 千克 销售单价每涨 1 元