等比数列专题(教师版)

1 等比数列专题复习等比数列专题复习 一 知识归纳 1 概念与公式 1 定义 2 通项公式 3 前 n 项和公式 2 中项定理与下标和定理 1 中项定理 2 下标和定理 3 前 n 项积定理 记 nn aaaaT 321 则 12n T 则 n T2 3 等比数列的 灵活设元 4 前 n 项和的性质 n S 1 2 3 例题与练习例题与练习 一 基本量计算一 基本量计算 例例 1 在等比数列 an 中 已知 S30 13S10 S10 S30 140 求 S20的值 解 S30 3S10 q 1 由Error Error Error q20 q10 12 0 q10 3 S20 S10 1 q10 10 1 3 40 a1 1 q20 1 q 练习 练习 1 在各项都为正数的等比数列 an 中 首项 a1 3 前 3 项和为 21 则 a3 a4 a5等于 C A 33 B 72 C 84 D 189 2 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 2S2 3S3成等差数列 则 an 的公比为 1 3 3 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则 a1a2 a2a3 anan 1等于 C 1 4 A 16 1 4 n B 16 1 2 n C 1 4 n D 1 2 n 32 3 32 3 2 4 若等比数列 an 中 a1 1 an 512 前 n 项和为 Sn 341 则 n 的值是 10 5 已知 an 是首项为 1 的等比数列 Sn是 an 的前 n 项和 且 9S3 S6 则数列 的前 5 项和为 C 1 an A 和 5 B 和 5C D 15 8 31 16 31 16 15 8 6 一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度 在以后的每一分钟里 它上升的高度都是它在前一分钟里上升高 度的 80 这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗 解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度 由 题意 得an 1 an 4 5 因此 数列 an 是首项a1 25 公比q 的等比数 4 5 列 热气球在前n分钟内上升的总高度为 Sn a1 a2 an a1 1 qn 1 q 125 125 25 1 4 5 n 1 4 5 1 4 5 n 故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m 4 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a2 6 6a1 a3 30 求 an和 Sn 解 当 a1 3 q 2 时 an 3 2n 1 Sn 3 2n 1 a1 1 qn 1 q 3 1 2n 1 2 当 a1 2 q 3 时 an 2 3n 1 Sn 3n 1 a1 1 qn 1 q 2 1 3n 1 3 二 中项定理和下标和定理二 中项定理和下标和定理 例 已知等比数列 an 若 a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求 an 解 由等比数列的定义知 a2 a1q a3 a1q2代入已知得 Error 即Error 即Error 将 a1 代入 得 2q2 5q 2 0 2 q q 2 或 q 1 2 由 得Error 或Error 练习 1 已知正项等比数列 an 中 a1a5 2a2a6 a3a7 100 a2a4 2a3a5 a4a6 36 求数列 an 的通项公式 解 an 2n 1 2n 2或 an 32 n 1 26 n 1 2 1 2 三 灵活设元三 灵活设元 例 1 解答下述问题 三数成等比数列 若将第三项减去 32 则成等差数列 再将此等差数列的第二项减去 4 又成等比数列 求原来的三数 解析 设等差数列的三项 要比设等比数列的三项更简单 3 设等差数列的三项分别为 a d a a d 则有 9 338 9 26 9 2 50 10 2 9 26 10 3 8 8 064323 168 03232 4 32 2 2 2 2 2 或原三数为 或得或 adddd da add dadaa adada 有四个正整数成等差数列 公差为 10 这四个数的平方和等于一个偶数的平方 求此四数 解析 设此四数为 15 15 5 5 15 aaaaa 25 2 125 1 2551251125 125 45004 2 15 5 5 15 22 22222 am am am am amamamam amamma Nmmaaaa 且均为正整数与 解得所求四数为 47 57 67 77 1262不合或aa 练习 1 有四个数 其中前三个数成等比数列 其积为 216 后三个数成等差数列 其和为 36 求这四个数 解 设这四个数为aaqaqa q a 2 则 36 3 216 aaqaqa aqa q a 由 得 a3 216 a 6 代入 得 3aq 36 q 2 这四个数为 3 6 12 18 2 在四个正数中 前三个成等差数列 和为 48 后三个成等比数列 积为 8 000 求这四个数 解 设前三个数分别为a d a a d 则有 a d a a d 48 即a 16 设后三个数分别为 b bq 则有 b q b bq b3 8 000 即b 20 b q 这四个数分别为m 16 20 n m 2 16 20 12 n 25 202 16 即所求的四个数分别为 12 16 20 25 四 等比数列前四 等比数列前 N 项积问题 项积问题 例 1 等比数列的项数 n 为奇数 且所有奇数项的乘积为 1024 所有偶数项的乘积为 求项数 n 2128 解析 设公比为24 2128 1024 142 531 n n aaa aaaa q 4 1 24 2 1 1 n qa 7 2 35 2 5 2 2 1 2 2 1 221281024 2 35 2 5 2 35 2 1 1 2 35 321 1 2 35 321 n n qa nqaaaaa nn n n 得 代入得将 而 五 前五 前 n 项和项和的性质 的性质 n S 1 等比数列 an 共 2n 项 其和为 240 且奇数项的和比偶数项的和大 80 则公比 q 2 2 等比数列 an 中 前 n 项和为 Sn S3 2 S6 6 则 a10 a11 a12 16 六 下标成数列问题六 下标成数列问题 例 1 等差数列 an 中 公差 d 0 在此数列中依次取出部分项组成的数列 求数列 17 5 1 321 21 kkkaaa n kkk 其中恰为等比数列 项和的前nkn 解析 171 2 51751 aaaaaa 成等比数列 1 3 13 13 2 132 1 2 1 323 3 4 2 0 0 2 16 4 1 1 11 1 1 1 1 5 1 111 2 1 nnSnk k dkddkaa daa a da a a qa dad daddaada n n nn n n nnk nn k k n n n 项和的前 得由 而 的公比数列 练习 1 已知数列是公差不为零的等差数列 数列是公比为的等比数列 求公比及 n ad n b aq46 10 1 321 bbbq n b 解 a a1 a a10 a1 9d a a46 a1 45d 1 b 2 b 3 b 由 abn 为等比数例 得 a1 9d 2 a1 a1 45d 得 a1 3d 即 ab1 3d ab2 12d ab3 48d q 4 又由 abn 是 an 中的第 bna 项 及 abn ab1 4n 1 3d 4n 1 a1 bn 1 d 3d 4n 1 bn 3 4n 1 2 七 七 之间的关系之间的关系 nn Sa 与 例例 1 1 数列的前项和记为 n an 11 1 211 nnn S aaSn 求的通项公式 n a 等差数列的各项为正 其前项和为 且 又成等比数列 求 n bn n T 3 15T 112233 ab ab ab n T 5 解 I 由可得 两 1 21 nn aS 1 212 nn aSn 式相减得 11 2 32 nnnnn aaa aan 又 21 213aS 21 3aa 故是首项为 公比为得等比数列 n a13 1 3n n a 设的公差为 n bd 由得 可得 可得 2 5b 3 15T 123 15bbb 故可设 13 5 5bd bd 又 123 1 3 9aaa 由题意可得 2 51 5953dd