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简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导 一 等截面细直梁的横向振动一 等截面细直梁的横向振动 取梁未变形是的轴线方向为 X 轴 向右为正 取对称面内与 x 轴垂直的方向为 y 轴 向上为正 梁在横向振动时 其挠曲线随时间而变化 可表示为 y y x t 1 除了理想弹性体与微幅振动的假设外 我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当 大的 大于 10 故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论 根据这一理论 在我们采 用的坐标系中 梁挠曲线的微分方程可以表示为 2 2 2 y EIM x 其中 E 是弹性模量 I 是截面惯性矩 EI 为梁的弯曲刚度 M 代表 x 截面处的弯 矩 挂怒弯矩的正负 规定为左截面上顺时针方向为正 右截面逆时针方向为正 关于剪 力 Q 的正负 规定为左截面向上为正 右截面向下为正 至于分布载荷集度 q 的正向则规 定与 y 轴相同 在这些规定下 有 3 MQ Qq xx 于是 对方程 2 求偏导 可得 4 222 222 EI EI yMyQ Qq xxxxxx 考虑到等截面细直梁的 EI 是常量 就有 5 34 34 yy EIQEIq xx 方程 5 就是在等截面梁在集度为 q 的分部李作用下的挠曲微分方程 应用达朗贝尔原理 在梁上加以分布得惯性力 其集度为 6 2 2 y q t 其中代表梁单位长度的质量 假设阻尼的影响可以忽略不计 那么梁在自由振动中 的载荷就仅仅是分布的惯性力 将式 6 代入 5 即得到等截面梁自由弯曲振动微分方 程 7 42 42 yy EI xt 其中 2 aEI 为求解上述偏微分方程 7 采用分离变量法 假设方程的解为 y x t X x Y t 8 将式 8 代入 7 得 9 224 24 1Ya d X YtX dx 上式左端仅依赖于 t 而右端仅依赖于 x 因此要使对于任何 x t 上式均成立 必须二者 均等于一个常数 将这一常数记为 p2 于是有 10 2 2 2 0 Y p Y t 11 4 42 4 0 d X Xp a dx 方程 10 的通解为 Y t Asinpt Bcospt 12 其中 A B 为积分常数 方程 11 的通解为 13 1234 x cossinXC ch xC sh xCxCx 二 简支梁的固有振型和固有频率二 简支梁的固有振型和固有频率 简支梁的边界条件为 X 0 0 X 0 0 X l 0 X l 0 所以有 123 0CCC 特征方程为 sin0l 由此得特征值为 1 2 i i l l 与此相应的固有频率为 2 4 i
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