广东省五华县2013届高三第一次质检数学理试题（word版）

广东省梅州市五华县 2013 届高三上学期第一次质检 数学 理 试题 本试卷满分 150 分 考试时间 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 位号填写在答题卡上 2 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用 铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 参考公式 锥体的体积公式 其中 S 是锥体的底面积 h 是锥体的高 1 3 VSh 球的表面积 体积公式 R 是半径 3 3 4 VR 又 一 选择题 本大题 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题意要求的 1 已知集合 集合则为 0 1 2 3 4 1 2 3 2 4 AB C AB A 1 2 4 B 2 3 4 C 0 2 4 D 0 2 3 4 2 复数 2 1 i i A B C D 1 i 1 i 1 i 1 i 3 如右图 是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 942 B 3618 C 9 12 2 D 9 18 2 4 是 函数有零点 的 1m 2 f xxxm A 充分不必要条件B 充要条件 C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件 5 若曲线在点 0 1 处的切线方程是 则 2 yxaxb 10 xy A a 1 b 1B a 1 b 1C a 1 b 1D a 1 b 1 6 已知向量 则是 1 2cos 2 cos 2 axbxf xa b xR f x A 最小正周期为的偶函数B 最小正周期为的奇函数 C 最小正周期为的偶函数D 最小正周期为的奇函数 2 2 7 有 5 名班委进行分工 其中 A 不适合做班长 B 只适合做学习委员 则不同的分工方 案种数为 A 18B 24C 60D 48 8 对于任意 x x 表示不超过 x 的最大整数 如 1 1 1 2 1 3 定义 R 上的函数 若 则 A 中所有元素的和为 2 4 8 f xxxx 01 Ay yf xx A 55B 58C 63D 65 二 填空题 本大题共 7 小题 分为必做题和选做题两部分 每小题 5 分 满分 30 分 9 计算 2 2 2 xdx 10 如图所示的流程图中 输出的结果是 11 在等差数列中 有 则此数列的前 13 n a 678 12aaa 项之和为 12 展开式中 常数项是 6 2 x x 13 设变量 x y 满足约束条件 则目标函数的 220 240 10 xy xy x 32zxy 最小值为 二 选做题 第 14 15 题为选做题 考生只能选做其中一题 两题全答的 只计前一题的得分 14 坐标系与参数方程选做题 在直角坐标系 xOy 中 已知曲线为参 1 1 1 2 xl Ct yt 数 与曲线为参数 有一个公共点在 X 轴上 则 a 2 3cos xain C y 0a 15 几何证明选讲选做题 如图 PAB PCD 为 0 的两条割线 若 PA 5 AB 7 CD 11 AC 2 则 BD 等于 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数的最大值 sin 0 0 f xAxAx xR 是 1 其图像经过点 1 3 2 M 1 求的解析式 f x 2 已知求的值 312 0 2513 f af f 17 本小题满分 13 分 第 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行 当地某学校招募了 8 名男志愿 者和 12 名女志愿者 将这 20 名志愿者的身高编成如上茎叶图 单位 cm 若身高 在 180cm 以上 包括 180cm 定义为 高个子 身高在 180cm 以下 不包括 180cm 定义 非高个子 且只有 女高个子 才能担任 礼仪小姐 如果用公层抽样的方法从 高个子 和 非高个子 中抽了 5 人 再从这 5 人中选 2 人 那么至少有一人是 高个子 的概率是多少 若从所有 高个子 中选 3 名志愿者 用 X 表示所选志愿者中能担任 礼仪小姐 的人数 试写出 X 的分布列 并求 X 的数学期望 18 本小题满分 13 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 平面PA ABCD ACAD PA AD 2 AC 1 证明 PCAD 求二面角 A PC D 的正弦值 19 本小题满分 14 分 设正项等比数列的首项前 n 项和为 且 n a 1 1 2 a n S 1010 302010 2 21 0 SSS 求的通项 n a 求的前 n 项 n nS n T 20 本小题满分 14 分 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆 它的中心在原点 左 焦点为 右项点 D 2 0 设点 3 0 F 1 1 2 A 1 求该椭圆的标准方程 2 若 P 是椭圆上的动点 求线段 PA 中点 M 的轨迹方程 3 过原点 O 的直线交椭圆于点 B C 求 ABC 面积的最大值 21 本小题满分 14 分 已知函数 1 nx f xkx g x x 求函数的单调区间 1 nx g x x 若不等式在区间上恒成立 求实数 k 的取值范围 f xg x 0 求证 444 1 21 311 232 nnnn ne 参考答案 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 1 C 2 A 3 D 4 C 5 D 6 A 7 A 8 B 3 解析 有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体 其体积 3 439 3 3 2 18 322 V 故选 D 8 解析 1 0 0 8 xf x 1 2 1 8 8 xf x 2 3 3 8 8 xf x 3 4 4 8 8 xf x 4 5 7 8 8 xf x 5 6 8 8 8 xf x 6 7 10 8 8 xf x 7 1 11 8 xf x 1 14f 所以 A 中所有元素的和为 58 二 填空题 本大题共 7 小题 分为必做题和选做题两部分 每小题 5 分 满分 30 分 9 8 10 120 11 52 12 60 13 4 14 15 6 3 2 13 解析 做出不等式对应的可行域如图 由得 由图象yxz23 22 3z xy 可知当直线经过点时 22 3z xy 2 0 C 直线的截距最大 而此时 22 3z xy 最小为 yxz23 423 yxz 14 解析 曲线 直角坐标方程为 与轴交点为 1 C 1 1 2 xt yt 32yx x 3 0 2 曲线 直角坐标方程为 其与轴交点为 2 C sin 3cos xa y 22 2 1 9 xy a x 0 0 aa 由 曲线与曲线有一个公共点在 X 轴上 知 0a 1 C 2 C 3 2 a 15 解析 由得又PA PBPC PD 15PD 6 PAAC PACPDBBD PDDB 三 解答题 16 解 1 依题意知 A 1 分 又 分 1 sin 332 f 4 333 即 分 5 36 2 因此 分 sincos 2 f xxx 2 且 3 cos 5 f 12 cos 13 f 0 2 分 4 sin 5 5 sin 13 3124556 coscoscossinsin 51351365 f 分 17 解 根据茎叶图 有 高个子 8 人 非高个子 12 人 用分层抽样的方法 每 个人被抽中的概率是 所以选中的 高个子 有人 非高个子 有 51 204 1 82 4 人 3 分 1 123 4 用事件表示 至少有一名 高个子 被选中 则它的对立事件表示 没有一名 高AA 个子 被选中 则 因此 至少有一人是 高个子 的 P A 1 2 5 2 3 C C 10 7 10 3 1 概率是 6 分 10 7 依题意 所选志愿者中能担任 礼仪小姐 的人数 X 的取值分别为 0 1 2 3 3 4 3 8 1 0 14 C P X C 12 44 3 8 3 1 7 C C P X C 3 4 3 8 1 3 14 C P X C 因此 X 的分布列如下 X0123 p 1 14 3 7 3 7 1 14 11 分 所以 X 的数学期望 13 分 13313 0123 1477142 EX 18 解 方法一 1 以 AD AC AP 为 x y z正半轴方向 建立空间直角左边系 Axyz 1 分 则 3 分 2 0 0 0 1 0 0 0 2 DCP 0 1 2 2 0 0 0PCADPC ADPCAD 6 分 2 0 1 2 2 1 0 PCCD 设平面PCD的法向量 nx y z 则 0202 20 0 n PCyzyz xyxz n CD 取1 1 2 1 zn 10 分 2 0 0 AD 是平面PAC的法向量 11 分 630 cos sin 66 AD n AD nAD n AD n 得 二面角APCD 的正弦值为 30 6 13 分 方法二 1 证明 由平面 可得 2 分PA ABCDPAAD 又由 故平面 5 分 ADAC PAACA AD PAC 又平面 所以 6 分PC PACPCAD 2 解 如图 作于点 连接 由 可得平AHPC HDH PCAD PCAH PC 面 因此 从而为二面角的平面角 ADHDHPC AHD APCD 9 分 在中 由此得 10Rt PAC 2 1PAAC 2 5 AH 分 由 1 知 故在中 ADAH Rt DAH 12 分 22 2 30 5 DHADAH 因此 所以二面角 30 sin 6 AD AHD DH 的正弦值为 13 分APCD 30 6 19 解 由 得 0 12 2 1020 10 30 10 SSS 2 10202030 10 SSSS 分 即 2 201211302221 10 aaaaaa 可得 分 2 201211201211 1010 aaaaaaq 因为 所以 解得 分 0 n a 12 1010 q 2 1 q 因而 分 2 1 2 1 1 1 nqaa n n n 因为是首项 公比的等比数列 故 n a 2 1 1 a 2 1 q 分 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n n n n n n nnSS 则数列的前 n 项和 9 分 n nS 22 2 2 1 21 2n n n nT 11 分 22 1 2 2 2 1 21 2 1 2 132 nn n nn n T 前两式相减 得 12 分 12 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 nn n n n T 即 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 4 1 n n nnn 2 22 1 2 1 1 nn n nnn T 分 20 解 1 由已知得椭圆的半长轴 a 2 半焦距 c 则半短轴 b 1 3 分 又椭圆的焦点在 x 轴上 椭圆的标准方程为 分1 4 2 2 y x 2 设线段 PA 的中点为 M x y 点 P 的坐标是 x0 y0 x 2 1 0 x x0 2x 1 由 y 2 2 1 0 y 得 y0 2y 2 1 分 由 点 P 在椭圆上 得 分1 2 1 2 4 12 2 2 y x 线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 分1 4 1 4 2 1 22 yx 3 当直线 BC 垂直于 x 轴时 BC 2 因此 ABC 的面积 S ABC 1 分 当直线 BC 不垂直于 x 轴时 设该直线方程为 y kx 代入 1 4 2 2 y x 解得 B C 14 2 2 k14 2 2 k k 14 2 2 k14 2 2 k k 分 则 又点 A 到直线 BC 的距离 d 分 2 2 41 1 4 k k BC 2 1 2 1 k k ABC 的面积 S ABC 分 2 211 2 14 k BC d k 于是 S ABC 14 4 1 14 144 22 2 k k k kk 由 1 得 S ABC 其中 当 k 时 等号成立 14 4 2 k k 2 2 1 S ABC的最大值是 分2 21 解 故其定义域为 1 分 x x xg ln 0 2 分 2 ln 1 x x xg 令 0 得 令 0 得 3 分 xg ex 0 xg ex 故函数的单调递增区间为单调递减区间为 4 分 x x xg ln 0 e e ln 0 x x kxx 2 ln x x k 令 又 令解得 6 分 2 ln x x xh 3 ln2 1 x x xh 0 xh ex 当 x 在内变化时 变化如下表 0 xh xh x 0 e e