集合与简易逻辑十年高考题(带详细解析)

1 第一章第一章 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 考点阐释 集合的初步知识与简易逻辑知识 是掌握和使用数学语言的基础 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言 并用集合语言表达数学 问题 运用集合观点去研究和解决数学问题 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科 是人们认识和研究问题不可缺少的工具 是为了培养学生的推理技能 发展学生的思维能力 重点掌握 1 强化对集合与集合关系题目的训练 理解集合中代表元素的真正意义 注意利用 几何直观性研究问题 注意运用文氏图解题方法的训练 加强两种集合表示方法转换和化 简训练 2 要正确理解 充分条件 必要条件 充要条件 的概念 数学概念的定义具有 对称性 即数学概念的定义可以看成充要条件 既是概念的判断依据 又是概念所具有的 性质 试题类编 一 选择题 1 2003 京春理 11 若不等式 ax 2 6 的解集为 1 2 则实数 a 等于 A 8 B 2 C 4 D 8 2 2002 京皖春 1 不等式组 03 01 2 2 xx x 的解集是 A x 1 x 1 B x 0 x 3 C x 0 x 1 D x 1 x 3 3 2002 北京 1 满足条件 M 1 1 2 3 的集合 M 的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 4 2002 全国文 6 理 5 设集合 M x x 4 1 2 k k Z N x x 2 1 4 k k Z 则 A M NB M NC M ND M N 5 2002 河南 广西 广东 7 函数 f x x x a b 是奇函数的充要条件是 A ab 0B a b 0C a bD a2 b2 0 6 2001 上海 3 a 3 是直线 ax 2y 3a 0 和直线 3x a 1 y a 7 平行且不重合 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件 7 2000 北京春 2 设全集 I a b c d e 集合 M a b c N b d e 那么 IM IN 是 A B d C a c D b e 2 8 2000 全国文 1 设集合 A x x Z 且 10 x 1 B x x B 且 x 5 则 A B 中元素的个数是 A 11 B 10C 16 D 15 9 2000 上海春 15 a 1 是 函数 y cos2ax sin2ax 的最小正周期为 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既非充分条件也非必要条件 10 2000 广东 1 已知集合 A 1 2 3 4 那么 A 的真子集的个数是 A 15 B 16 C 3 D 4 11 1999 全国 1 如图 1 1 I 是全集 M P S 是 I 的 3 个 子集 则阴影部分所表示的集合是 A M P SB M P S C M P IS D M P IS 12 1998 上海 15 设全集为 R A x x2 5x 6 0 B x x 5 a a 为常数 且 11 B 则 A RA B R B A RB R C RA RB R D A B R 13 1997 全国 1 设集合 M x 0 x 2 集合 N x x2 2x 3 0 集合 M 等于 A x 0 x 1 B x 0 x 2 C x 0 x 1 D x 0 x 2 14 1997 上海 1 设全集是实数集 R M x x 1 2 x R N 1 2 3 4 则 RM N 等于 A 4 B 3 4 C 2 3 4 D 1 2 3 4 15 1996 上海 1 已知集合 M x x 2 N x x 4 那么集合 M N 为 A x 3 y 1 B 3 1 C 3 1 D 3 1 16 1996 全国文 1 设全集 I 1 2 3 4 5 6 7 集合 A 1 3 5 7 B 3 5 则 A I A BB I IA B C I A IB D I IA IB 17 1996 全国理 1 已知全集 I N 集合 A x x 2n n N B x x 4n n N 则 A I A BB I IA B 图 1 1 3 C I A IB D I IA IB 18 1996 上海文 6 若 y f x 是定义在 R 上的函数 则 y f x 为奇函数的一个 充要条件为 A f x 0 B 对任意 x R f x 0 都成立 C 存在某 x0 R 使得 f x0 f x0 0 D 对任意的 x R f x f x 0 都成立 19 1995 上海 2 如果 P x x 1 2x 5 0 Q x 0 x 10 那 么 A P Q B P Q C P Q D P Q R 20 1995 全国文 1 已知全集 I 0 1 2 3 4 集合 M 0 1 2 N 0 3 4 则 IM N 等于 A 0 B 3 4 C 1 2 D 21 1995 全国理 1 已知 I 为全集 集合 M N I 若 M N N 则 A IM IN B M IN C IMIN D M IN 22 1995 上海 9 ab 0 是 方程 ax2 by2 c 表示双曲线 的 A 必要条件但不是充分条件B 充分条件但不是必要条件 C 充分必要条件D 既不是充分条件又不是必要条件 23 1994 全国 1 设全集 I 0 1 2 3 4 集合 A 0 1 2 3 集合 B 2 3 4 则 IA IB 等于 A 0 B 0 1 C 0 1 4 D 0 1 2 3 4 24 1994 上海 15 设 I 是全集 集合 P Q 满足 P Q 则下面的结论中错误的是 A P IQ B IP Q I C P IQ D IP IQ IP 二 填空题 25 2003 上海春 5 已知集合 A x x 2 x R B x x a 且 A B 则实数 a 的取值范围是 26 2002 上海春 3 若全集 I R f x g x 均为 x 的二次函数 P x f x 0 Q x g x 0 则不等式组 0 0 xg xf 的解集可用 P Q 表示为 4 27 2001 天津理 15 在空间中 若四点不共面 则这四点中任何三点都不共线 若两条直线没有公共点 则这两条直线是异面直线 以上两个命题中 逆命题为真命题的是 28 2000 上海春 12 设 I 是全集 非空集合 P Q 满足 P Q I 若含 P Q 的一个集合运算表达式 使运算结果为空集 则这个运算表达式可以 是 只要写出一个表达式 29 1999 全国 18 是两个不同的平面 m n 是平面 及 之 外的两条不同直线 给出四个论断 m n n m 以其中三个论断作为条件 余下一个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 三 解答题 30 2003 上海春 17 解不等式组 2 1 3 086 2 x x xx 31 2000 上海春 17 已知 R 为全集 A x log 2 1 3 x 2 B x 2 5 x 1 求 RA B 32 1999 上海 17 设集合 A x x a 2 B x 2 12 x x 1 若 A B 求实数 a 的取值范围 图 1 2 5 答案解析答案解析 1 答案 C 解析 ax 2 6 6 ax 2 6 8 ax0 时 有 a x a 48 而已知原不等式的解集为 1 2 所以有 1 8 2 4 a a 此方程无解 舍去 当 a6 或 x 1 B x 5 a x6 此时 5 a6 A B R 评述 本题考查集合基本知识 一元二次不等式 绝对值不等式的解法及分析问题解 决问题的能力 13 答案 B 解析 方法一 N x x2 2x 3 0 x 1 x 3 所以 M N x 0 x 2 故选 B 方法二 由 2 3 2 2 2 3 3 0 知 1 5 N 又 1 5 M 因此 1 5 M N 从而排除 A 由交集定义与 M 的表达式 可排除 D 得 B 评述 本题考查对交集的理解和掌握 所设定的集合实质是不等式的解集 兼考处理 不等式解集的基本技能 14 答案 B 解析 RM x x 1 2 x R 又 1 2 3 故 RM N 3 4 故选 B 15 答案 D 解析 方法一 解方程组 4 2 yx yx 得 1 3 y x 故 M N 3 1 所以选 D 方法二 因所求 M N 为两个点集的交集 故结果仍为点集 显然只有 D 正确 评述 要特别理解集合中代表元素的意义 此题迎刃而解 16 答案 解析 方法一 显然 IB 1 2 4 6 7 于是 A IB I 故选 方法二 利用文氏图 1 3 知 I A IB 应选 17 答案 解析 方法一 IA 中元素是非 2 的倍数的自然数 IB 中元素是非 4 的倍数的自然 数 显然 只有 选项正确 方法二 因 A 2 4 6 8 B 4 8 12 16 所以 IB 1 2 3 5 6 7 9 所以 I A IB 故答案 为 方法三 因 B A 所以 IAIB IA IB IA 故 I 图 1 4 8 A IA A IB 方法四 根据题意 我们画出文氏图 1 4 来解 易知 B A 如图 可以清楚看到 I A IB 是成立的 评述 本题考查对集合概念和关系的理解和掌握 注意数形结合的思想方法 用无限 集考查 提高了对逻辑思维能力的要求 18 答案 D 解析 由奇函数定义可知 若 f x 为奇函数 则对定义域内任意一个 x 都有 f x f x 即 f x f x 0 反之 若有 f x f x 0 即 f x f x 由奇函数的定义可知 f x 为奇函数 评述 对于判断奇偶性问题应注意 x 为定义域内任意值 因此定义域本身应关于原 点对称 这是奇偶性问题的必要条件 19 答案 B 解析 由集合 P 得 1 x 2 5 由集合 Q 有 0 x 10 利用数轴上的覆盖关系 易得 P Q 20 答案 B 解析 由已知 IM 3 4 IM N 3 4 21 答案 C 解析一 M N N N M IN IM 解析二 画出韦恩图 1 5 显然 IM IN 故选 C 评述 本题主要考查集合的概念和集合的关系 题目中不给 出具体集合 对分析问题解决问题能力提高了要求 22 答案 A 解析 如果方程 ax2 by2 c 表示双曲线 即1 22 b c y a c x 表示双曲线 因此有 0 b c a c 即 ab 0 这就是说 ab 0 是必要条件 若 ab 0 c 可以为 0 此时 方程不 表示双曲线 即 ab 0 不是充分条件 评述 本题考查充要条件的推理判断和双曲线的概念 23 答案 C 解析 IA 4 IB 0 1 IA IB 0 1 4 24 答案 D 解析 依题意画出文氏图 如图 1 6 显然 A B C 均正确 故应选 D 25 答案 a 2 解析 A x 2 x 2 B x x a 又 A B 利用数轴上覆盖关系 如 图 1 5 图 1 6 9 图 1 7 因此有 a 2 评述 本题主要考查集合的概念和集合的关系 26 答案 P IQ 解析 g x 0 的解集为 Q 所以 g x 0 得 x 2 x 4 0 x4 由 1 3 x x 2 得 1 5 x x 0 1 x 5 原不等式组的解是 x 1 2 4 5 评述 本题主要考查二次不等式 分式不等式的解法 31 解 由已知 log 2 1 3 x log 2 14 因为 y log 2 1x 为减函数 所以 3 x 4 由 03 43 x x 解得 1 x 3 所以 A x 1 x 3 由 2 5 x 1 可化为2 2 3 0 2 2 5 x x x x 02 0 2 3 x xx 解得 2 x 3 所以 B x 2 x 3 于是 RA x x 1 或 x 3 故RA B x 2 x 1 或 x 3 评述 本题主要考查集合