浙江省台州外国语学校2012-2013学年高二数学下学期第一次月考试题 文（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年浙江省台州外国语学校高二 下 第一次月考数学学年浙江省台州外国语学校高二 下 第一次月考数学 试卷 文科 试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题有一 选择题 本大题有 1010 题 每小题题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 1 4 分 f x x3 f x0 6 则 x0 A B C D 1 考点 导数的几何意义 专题 常规题型 分析 用幂函数的导数公式求出 f x 解方程可得答案 解答 解 f x 3x2 f x0 3x02 6 x0 故选项为 C 点评 本题考查幂函数的导数法则 xn nxn 1 2 4 分 下列运算正确的是 A B C 3x x3x 1 D 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 利用导数的运算法则即可得出 解答 解 A 是一个常数 因此 A 不正确 B B 不正确 C 3x 3xlna C 不正确 D D 正确 故选 D 2 点评 熟练掌握导数的运算法则是解题的关键 3 4 分 2004 黑龙江 曲线 y x3 3x2 1 在点 1 1 处的切线方程为 A y 3x 4B y 3x 2C y 4x 3D y 4x 5 考点 导数的几何意义 分析 首先判断该点是否在曲线上 若在曲线上 对该点处求导就是切线斜率 利用点 斜式求出切线方程 若不在曲线上 想法求出切点坐标或斜率 解答 解 点 1 1 在曲线上 y 3x2 6x y x 1 3 即切线斜率为 3 利用点斜式 切线方程为 y 1 3 x 1 即 y 3x 2 故选 B 点评 考查导数的几何意义 该题比较容易 4 4 分 函数 y 1 3x x3有 A 极小值 1 极大值 3 B 极小值 2 极大值 3 C 极小值 1 极大值 1 D 极小值 2 极大值 2 考点 函数在某点取得极值的条件 专题 计算题 导数的综合应用 分析 利用导数工具去解决该函数极值的求解问题 关键要利用导数将原函数的单调区间 找出来 即可确定出在哪个点处取得极值 进而得到答案 解答 解 y 1 3x x3 y 3 3x2 由 y 3 3x2 0 得 1 x 1 由 y 3 3x2 0 得 x 1 或 x 1 函数 y 1 3x x3的增区间是 1 1 减区间是 1 1 函数 y 1 3x x3在 x 1 处有极小值 f 1 1 3 1 3 1 函数 y 1 3x x3在 x 1 处有极大值 f 1 1 3 13 3 故选 A 点评 利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键 要先确定出导函数大于 0 时的实 数 x 的范围 再讨论出函数的单调区间 根据极值的判断方法求出该函数的极值 体现了导数的工具作用 5 4 分 函数 y 2x3 3x2 12x 5 在区间 0 3 上最大值与最小值分别是 A 5 15 B 5 4 C 4 15 D 5 16 3 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 计算题 分析 对函数 y 2x3 3x2 12x 5 求导 利用导数研究函数在区间 0 3 上的单调性 根据 函数的变化规律确定函数在区间 0 3 上最大值与最小值位置 求值即可 解答 解 由题意 y 6x2 6x 12 令 y 0 解得 x 2 或 x 1 故函数 y 2x3 3x2 12x 5 在 0 2 减 在 2 3 上增 又 y 0 5 y 2 15 y 3 4 故函数 y 2x3 3x2 12x 5 在区间 0 3 上最大值与最小值分别是 5 15 故选 A 点评 本题考查用导数判断函数的单调性 利用单调性求函数的最值 利用单调性研究函 数的最值 是导数的重要运用 注意上类题的解题规律与解题步骤 6 4 分 函数 f x 2x2 lnx 的递增区间是 A 0 B 0 及 C D 及 0 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 常规题型 分析 先确定函数的定义域然后求导数 f x 在函数的定义域内解不等式 f x 0 即可求出函数 f x 2x2 lnx 的递增区间 解答 解 f x 2x2 lnx x 0 f x 4x 令 f x 4x 0 解得 x 函数 f x 2x2 lnx 的递增区间是 故选 C 点评 本题主要考查了对数函数的导数 以及利用导数研究函数的单调性等基础知识 考 查计算能力 属于基础题 4 7 4 分 2013 河东区二模 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的 横坐标为 A 3B 2C 1D 考点 导数的几何意义 分析 根据斜率 对已知函数求导 解出横坐标 要注意自变量的取值区间 解答 解 设切点的横坐标为 x0 y0 曲线的一条切线的斜率为 y 解得 x0 3 或 x0 2 舍去 不符合题意 即切点的横坐标为 3 故选 A 点评 考查导数的几何意义 属于基础题 对于一个给定的函数来说 要考虑它的定义 域 比如 该题的定义域为 x 0 8 4 分 函数 f x a b 1 则 A f a f b B f a f b C f a f b D f a f b 大小关系不能确定 考点 利用导数研究函数的单调性 分析 先对函数进行求导数 再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案 解答 解 当 x 1 时 f x 0 即 f x 在区间 0 上单调递增 又 a b 1 f a f b 故选 C 点评 本题主要考查函数的增减性和导数正负的关系 即当导数大于 0 时原函数单调递增 当导数小于 0 时原函数单调递减 9 4 分 2007 浙江 设 f x 是函数 f x 的导函数 将 y f x 和 y f x 的图象画在同一个直角坐标系中 不可能正确的是 5 A B C D 考点 利用导数研究函数的单调性 导数的几何意义 专题 压轴题 分析 本题可以考虑排除法 容易看出选项 D 不正确 因为 D 的图象 在整个定义域内 不具有单调性 但 y f x 和 y f x 在整个定义域内具有完全相同的走势 不 具有这样的函数 解答 解析 检验易知 A B C 均适合 不存在选项 D 的图象所对应的函数 在整个定义 域内 不具有单调性 但 y f x 和 y f x 在整个定义域内具有完全相同的走 势 不具有这样的函数 故选 D 点评 考查函数的单调性问题 10 4 分 函数 f x x3 ax2 bx a2 在 x 1 时有极值 10 则 a b 的值为 A a 3 b 3 或 a 4 b 11 B a 4 b 1 或 a 4 b 11 C a 1 b 5 D 以上都不对 考点 函数在某点取得极值的条件 专题 计算题 分析 先求出函数的导函数 f x 然后根据在 x 1 时 f x 有极值 10 得到 求出满足条件的 a 与 b 然后验证在 x 1 时 f x 是否有极值 解答 解 对函数 f x 求导得 f x 3x2 2ax b 又 在 x 1 时 f x 有极值 10 解得或 当 a 3 b 3 时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 在 x 1 时 f x 无极值 考察四个选项 只有 D 选项符合 6 故选 D 点评 本题主要考查了函数在某点取得极值的条件 以及考查利用函数的极值存在的条件 求参数的能力 属于中档题 二 填空题 本大题有二 填空题 本大题有 6 6 小题 每小题小题 每小题 3 3 共 共 1818 分 分 11 3 分 函数 y x3 x2 x 的单调增区间为 考点 利用导数研究函数的单调性 分析 先对函数 f x 进行求导 然后令导函数大于 0 求出 x 的取值范围即可 解答 解 y x3 x2 x y 3x2 2x 1 令 y 3x2 2x 1 0 x 或 x 1 故答案为 1 点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系 出基础题 12 3 分 把总长为 16m 的篱笆 要围成一个矩形场地 则矩形场地的最大面积是 16 m2 考点 基本不等式在最值问题中的应用 专题 计算题 分析 设一边长为 x 则另一边长可表示为 8 x 则其面积可表示关于边长的二次函数 在定义域内求最值 解答 解 设一边长为 x 则另一边长可表示为 8 x 则面积 S x 8 x x2 8x x 4 2 16 0 x 8 故当矩形的长与宽相等 都为 4 时面积取到最大值 16 故应填 16 点评 考查将实际问题求最值的问题转化为二次函数在某个区间上的最值问题 二次函数 求最值一般用配方法 13 3 分 曲线 y x3 2x 在点 1 1 处的切线的倾斜角是 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 先求该点处的导数 即切线斜率 由斜率定义即可求得倾斜角 7 解答 解 y 3x2 2 y x 1 1 设点 1 1 处的切线的倾斜角为 则 tan 1 解得 故答案为 点评 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程 属中档题 正确理解导数的几何意义 是解决题目的基础 注意倾斜角的范围 14 3 分 若 f x 2xf 1 x2 4x 则 f 1 2 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 利用导数的运算法则即可得出 解答 解 f x 2xf 1 x2 4x f x 2f x 2x 4 令 x 1 则 f 1 2f 1 2 4 解得 f 1 2 故答案为 2 点评 熟练掌握导数的运算法则是解题的关键 15 3 分 函数斜率最小的切线方程为 6x 3y 2 0 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 导数的概念及应用 分析 求出 f x 利用二次函数的性质可求得其最小值 即切线的最小斜率 再求出切 点 利用点斜式即可求得答案 解答 解 f x x2 2x 3 x 1 2 2 当 x 1 时 f x 取得最小值 2 即最小的切线斜率为 2 又 f 1 1 3 1 所以斜率最小的切线方程为 y 2 x 1 即 6x 3y 2 0 故答案为 6x 3y 2 0 点评 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程 考查二次函数的性质 正确理解导数 的几何意义是解决本题的基础 8 16 3 分 函数 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 有极大值又有极小值 则 a 的范围是 a a 1 或 a 2 考点 函数在某点取得极值的条件 专题 计算题 分析 先对函数进行求导 根据函数 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 既有极大值又有极小值 可以得到导函数为 0 的方程有两个不等的实数根 从而有 0 进而可解出 a 的范 围 解答 解 f x 3x2 6ax 3 a 2 要使函数 f x 有极大值又有极小值 需 f x 3x2 6ax 3 a 2 0 有两个不 等的实数根 所以 36a2 36 a 2 0 解得 a 1 或 a 2 故答案为 a a 1 或 a 2 点评 本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用 利用导数作为工具去研究函数的性 质非常方便 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 4 4 小题 共小题 共 4242 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 8 分 已知 x 2 与 x 4 是函数 f x x3 ax2 bx 的两个极值点 1 求常数 a b 的值 2 判断函数 x 2 x 4 处的值是函数的极大值还是极小值 并说明理由 考点 函数在某点取得极值的条件 专题 导数的概念及应用 分析 1 先对函数 f x 进行求导 由题意知 2 4 是方程 f x 0 的两实根 由 韦达定理可求出 a b 的值 2 将 a b 的值代入导函数 然后根据导函数的符号及极值点的定义可确定是极 大值还是极小值 解答 解 1 f x 3x2 2ax b 由极值点的必要条件可知 x 2 和 x 4 是方程 f x 0 的两根 则 2 4 2 4 解得 a 3 b 24 2 由 1 知 f x 3x2 6x 24 3 x 2 x 4 当 x 2 或 x 4 时 f x 0 当 2 x 4 时 f x 0 当 x 2 时 f x 取得极小值 x 4 时 f x 取得极大值 点评 本题主要考查函数的单调性 极值点与其导函数之间的关系 属基础题 18 10 分 设 f x x3 2x 5 9 1 求函数 f x 的极值 2 当 x 1 2 时 f x m 恒成立 求实数 m 的取值范围 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的极值 专题 计算题 转化思想 分析 1 先利用导数求函数 f x x3 2x 5 的单调区间 从而确定函数的极值 2 恒成立问题可转化成 f x max m 即可 函数在 1 2 上的最大值 利用极 值与端点的函数值可以确定 解答 解 1 f x 3x2 x 2 0 解得 x 1 函数在 1 上单调增 在 1 上单调减 函数的极大值为 f 5 极小值 f 1 3 2 f 1 5 f 5 f 1 3 f 2 7 即 f x max 7 要使当 x 1 2 时 f x m 恒成立 只需 f x max m 即可 故实数 m 的取值范围为 7 点评 本题以函数为载体 考查函数的单调性 考查函数的极值 同时考查了恒成立问题 的处理 注意利用好导数工具 19 12 分 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 2 处取得极值 并且它的图象与直线 y 3x 3 在点 1 0 处相切 1 求 a b c 的值 2 若关于 x 的方程 f x m 有三个不同实根 求 m 的取值范围 考点 函数在某点取得极值的条件 根的存在性及根的个数判断 利用导数研究曲线上某 点切线方程 专题 综合题 导数的综合应用 分析 1 欲求函数的解析式 只需找到关于 a b c 的三个方程即可 因为函数 f x 在 x 2 时取得极值 所以当 x 2 时 导数等于 0 因为函数图象与直线 y 3x 3 切于点 P 1 0 所以当 x 1 时 导数等于 3 原函数值等于 0 这样就 得到关于 a b c 的三个方程 解出 a b c 即可 2 数形结合 关于 x 的方程 f x m 有三个不同实根 等价于函数 y f x 和 y m 图象有三个交点 利用导数求出 f x 的极大值 极小值 则 m 介于两者之间 解答 解 1 f x 3x2 2ax b 函数 f x 在 x 2 时取得极值 f 2 0 即 12 4a b 0 函数图象与直线 y 3x 3 切于点 P 1 0 10 f 1 3 f 1 0 即 3 2a b 3 1 a b c 0 由 解得 a 1 b 8 c 6 2 由 1 知 f x x3 x2 8x 6 f x 3x2 2x 8 3x 4 x 2 由 f x 0 得 x 2 或 x 由 f x 0 得 2 x 所以 f x 在 2 和 上递增 在 2 上递减 所以当 x 2 时 f x 取得极大值 f 2 18 当 x 时 f x 取得极小值 f 因为关于 x 的方程 f x m 有三个不同实根 所以函数 y f x 和 y m 图象有三个 交点 所以 m 18 即为 m 的取值范围 点评 本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题 注意函数在某点取得极