2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习2答案

1 2011 年下学期数学院研究生年下学期数学院研究生 泛函分析泛函分析 复习与练习复习与练习 2 1 是度量空间 证明是度量空间 证明是连续映射的充要条件是对每个实数是连续映射的充要条件是对每个实数 集合 集合Xfc 和集合和集合都是闭集都是闭集 cxFXxx cxFXxx 第七章 第七章 P215P215 13 13 证明证明 设设 f 是是 X 上连续的实函数 又对每一实数上连续的实函数 又对每一实数 c G c 是开集 于是 是开集 于是 是开集 这样是开集 这样 1 cxFXxxGf cxfXxx 是闭集 同理是闭集 同理是闭集 是闭集 cxfXxxC cxfXxx 反之 若对每个实数反之 若对每个实数 c 和和都是闭集 则都是闭集 则 cxfXxx cxfXxx 和和都是开集 设都是开集 设 G 是直线上的开集 则是直线上的开集 则 cxfXxx cxfXxx 或或 其中是 G 的构成区间 不妨设于于 1 i ii baG n i ii baG 1 ii ba 1 i ii baG 是是 11 1 i i i i ii bxfXxxaxfXxxbxfaXxxGf 是开集 因此是开集 因此 f 是连续的实函数 证毕是连续的实函数 证毕 2 2 设 设表示极限为表示极限为 0 0 的实数列全体 按通常的加法和乘法 以及的实数列全体 按通常的加法和乘法 以及 0 Csup i i x 构成构成空间 证明 空间 证明 12n x Banach 1 0 Cl 第八章 第八章 P236 9P236 9 证明 令 则 对任意 定义0 0 01 00 n n e 0n eC 12 3n 0 fC 1 n Tff ef e 以下先证 且 1 Tfl Tff 记 则 且 1 n nnnni i i f esignxe n xC 1 n x 12 n 111 nnn ni iiii iii f xfe 2 由于 因此 令 这就证明了 nn f xfxf 1 n i i f n 1 n i i f 且 1 Tfl Tff 再证对任意 定义上线性泛函 若 则 12 n y 0 Cf 12n x 因此 1 n ii i f x 112 nn Tff ef ey 又因为 11 sup nn iiii i ii f xfxy 因此 且 于是 0 fC f yTf Tff 由以上证明可知 是到上的同构映射 而在同构意义下 证毕T 0 C 1 l 1 0 Cl 3 3 设 设和和为为空间 空间 是是到到中的有界线性算子 中的有界线性算子 和和XYHilbertAXY AA 分别表示算子分别表示算子的零空间和值域 证明的零空间和值域 证明 A A A A A A A A AA A AA A 第九章 第九章 P265P265 11 11 证明 设 则 这样若 必有 xA A0Ax yY A yA 所以 0 x A yAx y x A 设 则对任意 由的任意性可推得x A yY 0Ax yx A y y 即 0Ax xA A 以上证明了 用代替可得 同 AA AA A AAA A 时 以下证明 AA A AA 首先 由可知从而 AA AA AA A 又设 其中 对任意 yA 12 yyy 12 yAyA xX 3 所以 即 这样 22 0A yxyAx 2 0A y 2 yA A 即 于是 21222 0 y yyyyy 2 0y 1 yyA 这样我们就证明了 用代替又可得 证毕 AA AA A AA A 4 4 设 设是内积空间 是内积空间 是它的共轭空间 是它的共轭空间 表示表示上线性范函上线性范函 XX z f z fxz 若若到到的映射的映射是一一到上的映射 则是一一到上的映射 则是是空间 空间 XX z Fzf XHilbert 第九章 第九章 P265P265 10 10 证明 设是中柯西列 1 n n z X 有可知是中柯西列 因 nm zznmnm ffxxzzxzz 1 n z n f X 是完备的 因此有使 设 其中 设X xX n z fxn z xf zX 则sup n n zM 2 nmnm nnnzznnzz zzzzzzffzzzzff 这就证明了是完备的内积空间 即为 0 nm zz Mzffn X 空间 证毕 Hilbert 5 5 设 设 其中 其中是是 BanachBanach 空间 空间 是赋泛线性空间 是赋泛线性空间 1 2 n TXYn XY 若对每个若对每个 都收敛 令都收敛 令 证明 证明是是到到中有界线性算中有界线性算xX n T xlim n n TxT x TXY 子 子 并且并且 lim n n TT 第十章 第十章 P295P295 12 12 证明证明 由 由 T 的定义知 的定义知 T 是线性的 又是线性的 又 因为对每个因为对每个 收敛 从而收敛 从而有界 有界 xX n T x n T x 由一致有界性定理 存在由一致有界性定理 存在 M 0 sup n n TM 若定义若定义 则显然 则显然 T 是线性的 且是线性的 且 lim n n TxT x limlim nn nn TxT xTx 所以所以 T 是有界的 且是有界的 且 证毕 证毕 lim n n TT 6 6 证明 证明 在完备度量空间 在完备度量空间 X X 中成立闭球套定力 即若中成立闭球套定力 即若 vvv Sx d x x 1 2 v 4 且且 则存在唯一的 则存在唯一的 12 n SSS 0 v v 1 v v xS 反之 若在度量空间反之 若在度量空间 X X 中成立闭球套定理 则中成立闭球套定理 则 X X 是完备度量空间 是完备度量空间 第十章 第十章 P295P295 8 8 证明证明 设设 X 是完备的度量空间 是完备的度量空间 为一列闭球套 为一列闭球套 v S vvv Sx d x x 1 2 v 若若 对任给 对任给 存在 存在 N 当 当时 时 因此当 因此当0 v v 0 nN n 时 时 所以 所以是柯西列 设是柯西列 设 n mN nmn d xx v x 0 lim n n xxX 因为因为当当时 时 又 又是闭集 是闭集 1 1 2 kk SSk nk nk xS k S 因此 因此 0 lim nk n xxS 0 1 k k xS 下面证明下面证明 若 若 则 则 0 1 k k Sx 1 k k yS 0 0 20 kkk d xyd x xd xyk 这样必有这样必有 0 xy 反之 若反之 若 X 满足闭球套定理 满足闭球套定理 是柯西列 则存在是柯西列 则存在 当 当时 时 n x 1 N 1 m mN 记 记 存在 存在 当 当时 时 1 2 d m m 1 1 1 N Sx d x x 21 NN 2 m mN 记 记 存在 存在 当 当时 记时 记 2 1 2 d m m 2 2 1 2 N Sx d x x 1kk NN k m mN 1 1 1 2 2 k kN k Sx d x xk 这样得到一列闭球这样得到一列闭球 对任意 对任意 k 和任意和任意 有 有 1 kk S k xS 11 kkkk NNNN d x xd x xd xx 112 111 222 kkk 所以所以 即 即 于是 由假设存在于是 由假设存在 且 且 1k xS 1 1 2 kk SSk 1 k k xS lim k N k xx 5 因为因为为柯西列 为柯西列 则必有 则必有 因此 因此 X 必为完备度量空间 证毕 必为完备度量空间 证毕 n xlim k N k xx lim n n xx 7 7 证明点列 证明点列 按习题按习题 2 2 中距离收敛与中距离收敛与的的 充要条件为充要条件为的各阶的各阶 n f baCf n f 导数在导数在上一致收敛于上一致收敛于的各阶导数 的各阶导数 a bf 第七章 第七章 P215P215 5 5 证明证明 若若 按习题按习题 2 中距离收敛与中距离收敛与 即 即 n f baCf 0 1 max 2 1 0tftf tftf ffd r r n r r n bta r r n n 因此对每个因此对每个 r 0 这样 这样 1 max 2 1 0tftf tftf r r n r r n bta r r n 0 即 即在在 a b 上一致收敛于上一致收敛于 bta max tftf r r n n tf r n tf r 反之 若的反之 若的 t 各阶导数在 各阶导数在 a b 上一致收敛于上一致收敛于 f t 则任意 则任意 存在 存在 使 使 n fo 0 r 存在 存在 使当 使当时 时 max 取 取 22 1 1 orr r r N r Nn tftf r r n 0 0 2 1 0 2 rr r N max 当 当 n N 时 时 N NN 1 1 max 2 1 0tftf tftf ffd r r n r r n bta r r n 1 max 2 1 0tftf tftf r r n r r n bta r r 12 1 o rr r 22 0 0 r r 即即 0 证毕 证毕 n ffd n 8 8 设 设 证明 证明 0