21章配方法VIP

21 2 1 配方法 一 武穴市花桥中学 项凯鹏 教学目标 一 教学知识点 1 会用开平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 2 理解一元二次方程的解法 配方法 二 能力训练要求 1 会用开平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 理解配方法 2 体会转化的数学思想方法 3 能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性 三 情感与价值观要求 通过师生的共同活动 学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力 教学重点 利用配方法解一元二次方程 教学难点 把一元二次方程通过配方转化为 x m 2 n n 0 的形式 教学方法 讲练结合法 教具准备 投影片六张 第一张 问题 记作投影片 2 2 1 A 第二张 议一议 记作投影片 2 2 1 B 第三张 议一议 记作投影片 2 2 1 C 第四张 想一想 记作投影片 2 2 1 D 第五张 做一做 记作投影片 2 2 1 E 第六张 例题 记作投影片 2 2 1 F 教学过程 创设现实情景 引入新课 师 前面我们曾学习过平方根的意义及其性质 现在来回忆一下 什么叫做平方根 平 方根有哪些性质 生甲 如果一个数的平方等于 a 那么这个数就叫做 a 的平方根 用式子表示 若 x2 a 则 x 叫做 a 的平方根 生乙 平方根有下列性质 1 一个正数有两个平方根 这两个平方根是互为相反数的 2 零的平方根是零 3 负数没有平方根 师 很好 那你能求出适合等式 x2 4 的 x 的值吗 生 由 x2 4 可知 x 就是 4 的平方根 因此 x 的值为 2 和 2 师 很好 下面我们来看上两节课研究过的问题 出示投影片 2 2 1 A 如图 一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m 如果梯子 的顶端下滑 1 m 那么梯子的底端滑动多少米 师 由前节课的分析可知 梯子底端滑动的距离 x m 满足 x2 12x 15 0 上节课我们 已求出了 x 的近似值 那么你能设法求出它的精确值吗 这节课我们就来研究一元二次方程的解法 讲授新课 师 我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念 现在同学们来讨论一下 你能 解哪些一元二次方程 生甲 等式 x2 4 就是一元二次方程 像这样类型的方程我们就能解 生乙 方程 x 3 2 9 我们也可以解 即是要求 x 3 使它的平方等于 9 而 9 的 平方根是 3 和 3 所以 x 3 就等于 3 或 3 因此 x 0 或 x 6 师 乙同学分析得很好 大家听清楚了没有 好 下面大家看大屏幕 出示投影片 2 2 1 B 你会解下列一元二次方程吗 你是怎么做的 1 x2 5 2 3x2 0 3 x2 4 0 4 2x2 50 0 5 x 2 2 5 6 x 3 2 6 7 2x2 50 0 生甲 方程 1 的解为 因为 x 是 5 的平方根 55 方程 2 的解为 0 因为方程 3x2 0 可以化为 x2 0 即 x 是 0 的平方根 生乙 方程 3 可以通过移项化为方程 1 的形式 即 x2 4 所以方程 3 的根为 2 2 方程 4 也可以通过移项化为方程 2 的形式 即 2x2 50 然后再化为 x2 25 因此 方程 4 的根为 5 5 生丙 解方程 5 和 6 时 只要把 x 2 和 x 3 当作整体看待 其形式就如方程 1 这样方程 5 和 6 即可求解 方程 5 就是求 x 2 使它的平方为 5 则 x 2 就等于 或 因此 x 就等于55 2 或 2 55 方程 6 就是求 x 3 使它的平方为 6 则 x 3 就等于 或 因此 x 等于66 3 或 3 66 生丁 方程 7 通过移项得 2x2 50 而由平方根的性质可知 负数没有平方根 所以没有一个实数适合这个方程 师 同学们分析得真棒 大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程 这种解一 元二次方程的方法叫做直接开平方法 其中适合方程 7 的实数 x 不存在 所以原方程无实 数解 从刚才的解题过程中 我们知道了一元二次方程如果有解 则它有两个根 这两个根 可以是相等的 如方程 2 也可以是不相等的 如方程 1 3 4 5 6 所以 我们在书写时 通常用 x1 x2表示未知数为 x 的一元二次方程的两个根 注意 1 方程 3x2 0 有两个相等的实数根 即 x1 0 x2 0 这与一元一次方程 3x 0 有一个 根 x 0 是有区别的 2 刚才我们解的一元二次方程 可用形式 ax2 c 0 来表示 当 a c 异号时 方程 ax2 c 0 有两个不相等的实数根 当 a c 同号时 ax2 c 0 没有实数根 好 接下来同学们来看大屏幕 出示投影片 2 2 1 C 分组讨论讨论 判断下列方程能否用开平方法来求解 如何解 1 x2 4x 4 2 2 x2 12x 36 5 生甲 方程 1 能用开平方法求解 因为方程 1 的左边正好是一个完全平方式 右边 是一个正数 所以它可以化为 x 2 2 2 这样利用直接开平方法可得 x 2 即2 x1 2 x2 2 22 生乙 方程 2 也能用平方法来解 方法同解方程 1 即原方程化为 x 6 2 5 两边 分别开平方 得 x 6 5 即 x1 6 x2 6 55 师 很好 同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路 谁来给大家叙述一下呢 生 解一元二次方程的基本思路是 把原方程变为 x m 2 n 然后两边同时开平方 这样原方程就转化为两个一元一次方程 师 真棒 实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程 即将原 方程 降次 降次 也是一种数学方法 下面我们来看能否求出方程 x2 12x 15 0 的精确值 同学们先来想一想 出示投影片 2 2 1 D 解方程 x2 12x 15 0 的困难在哪里 你能将方程 x2 12x 15 0 转化成 x m 2 n 的形式吗 生 解方程 x2 12x 15 0 的困难就是 怎么样能把 x2 12x 15 0 的左边变成一个完全 平方形式 右边变成一个非负数 师 噢 那想一想完全平方式的特征是什么 生 完全平方公式是 a2 2ab b2 a b 2 师 好 下面大家来做一做 出示投影片 2 2 1 E 填上适当的数 使下列等式成立 1 x2 12x x 6 2 2 x2 4x x 2 3 x2 8x x 2 生甲 1 的左边应填上 36 2 的左边应填上 4 右边填 2 3 的左边应填上 16 右边填 4 生乙 老师 我看出来了 这三个等式的左边填的常数是 一次项系数一半的平方 而右边填的是 一次项系数的一半 是吗 师 大家说呢 生齐声 是 师 好 我们理解了完全平方式的特征后 把方程 x2 12x 15 0 转化为 x m 2 n 的形式 师生共析 x2 12x 15 0 可以先把常数项移到方程的右边 得 x2 12x 15 两边都加上 62 一次项系数 12 的一半的平方 得 x2 12x 62 15 62 即 x 6 2 51 师 接下来能否求出方程 x2 12x 15 0 的精确值 即梯子底端滑动的距离呢 生齐声 能 给方程两边开平方 得 x 6 51 即 x 6 或 x 6 5151 所以 x1 6 2 6 5151 师 噢 所以梯子底端滑动了 6 m 或 6 m 5151 生 老师 梯子底端滑动的距离是正数 不能是负数 所以 x1是原问题的解 而 x2不 是 师 大家说 对吗 生齐声 对 师 很好 x1 x2是方程 x2 12x 15 0 的根 但 x2不是原问题的解 所以应舍去 我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程 x2 12x 15 0 的根 这种解一元 二次方程的方法称为配方法 Solving by completing the square 下面同学们来看一例题 出示投影片 2 2 1 F 例题 解方程 x2 8x 9 0 师 大家能独立解这个方程吗 生齐声 能 解 可以把常数项移到方程的右边 得 x2 8x 9 两边都加上 16 得 x2 8x 16 9 16 即 x 4 2 25 开平方 得 x 4 5 即 x 4 5 或 x 4 5 所以 x1 1 x2 9 师 很好 由此我们可以知道 由配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为 x m 2 n 的形式 它的一边是一个完全平方式 另一边是一个常数 当 n 0 时 两边开 平方便可求出它的根 注 因为在实数范围内任何非负数都有平方根 所以当 n 0 时 方程有解 当 n0 a x2 2 x2 a 0 a 0 3 x a 2 b2 4 ax c 2 d d 0 a 0 过程 通过对本题的探究 让学生了解字母系数的一元二次方程的解法与数字系数的 一元二次方程的解法一样 因为负数没有平方根 因此只有在判明了方程的两边均是非负 数时 才能开平方 本题的 1 2 方程经过变形后 可得 x2 a 因为给了条件 a 0 或 d 0 所以可以对 a 进行开平方 方程 3 中 两边都是完全平方式 可以同时开平方 方 程 4 是给了条件 d 0 所以也可以直接开平方 结果 解 1 化简为 x2 a 因为 a 0 所以两边同时开平方 得 x a 即 x1 x2 aa 2 化简为 x2 a 因为 a 0 所以两边同时开平方 得 x a 即 x1 x2 aa 3 两边同时开平方 得 x a a 即 x a b 或 x a b 解关于 x 的方程 得 x1 a b x2 a b 4 因为 d 0 所以两边同时开平方 得 ax c d 即 ax c 或 ax c dd 又因为 a 0 x1 x2 a dc a dc 注意 若题目 4 中不给条件 d 0 则要分情况讨论如下 若 d 0 时 则有 ax c d 得 x1 x2 a dc a dc 若 d 0 则有 ax c 0 所以 x1 x2 a c 若 d 0 则因为一个数的平方不可能 为负 所以本题无解 板书设计 2 2 1 配方法 一 一 1 x2 4 x 2 2 x 3 2 9 x 3