结构动力学大作业(重庆大学)

研究生课程考核试卷研究生课程考核试卷 适用于课程论文 提交报告 适用于课程论文 提交报告 科科 目 目 结构动力学大作业结构动力学大作业 教教 师 师 姓姓 名 名 学学 号 号 专专 业 业 土木工程土木工程 类类 别 别 学术 上课时间 上课时间 2013 年年 11 月至月至 2014 年年 1 月月 考考 生生 成成 绩 绩 卷面成绩卷面成绩平时成绩平时成绩课程综合成绩课程综合成绩 阅卷评语 阅卷评语 阅卷教师阅卷教师 签名签名 重庆大学研究生院制 研究生 结构动力学 课程大作业 2 土木工程学院土木工程学院 20132013 级硕士级硕士研究生考试试题研究生考试试题 科目名称 结构动力学 考试日期 2014 年 1 月 总分 20 分 1 按规定设计一个 2 跨 3 层钢筋混凝土平面框架结构 部分要求如 附件名单所示 未作规定部分自定 根据所设计的结构参数 求该 结构的一致质量矩阵 一致刚度矩阵 2 至少采用两种方法求该框架结构的频率和振型 3 输入地震波 地震波要求如附件名单所示 采用时程分析法 利用有限元软件或自编程序求出该框架结构各层的线性位移时程反 应 要求给出要求给出 1 框架结构图 并给出一致质量矩阵和一致刚度矩阵 2 出两种方法名称及对应的频率和振型 3 输入地震波的波形图 计算所得各楼层位移反应时程图 第第 1 1 页共页共 1 1 页页 研究生 结构动力学 课程大作业 3 1 1 框架概况 1 1 框架截面尺寸 框架立面图如图 1 1 所示 各跨跨度为 各层建筑层高均为 1 4000Lmm 对应的梁截面分别为 柱截面均为 3 4100Lmm 2 200 400mm 2 300300mm 设楼层进深为 板厚为 100mm 2 4200Lmm 图 1 1 框架立面图 1 2 动力自由度 框架结构可以理想化为在节点处相互连接的单元 梁和柱 的集合 设 梁 柱的轴向变形均忽略不计 只考虑横向平面位移 则该框架有 3 平动自由 度和 9 角自由度 共 12 自由度 自由度编号及梁柱单元编号如图 1 2 所示 研究生 结构动力学 课程大作业 4 图 1 2 自由度编号和梁柱单元编号图 1 3 力学参数计算 梁柱混凝土都采用 C30 其弹性模量为 42 3 0 10 EN mm 梁截面惯性矩 2 200 400mm 33 4 1 200 400 1212 bh Imm 柱截面惯性矩 2 300 300mm 33 4 2 300 300 1212 bh Imm 梁刚度 2 200 400mm 3 442 1 200 400 3 0 103 2 10 12 EIkN m 柱刚度 2 300 300mm 3 442 2 300 300 3 0 102 025 10 12 EIkN m 梁的单位长度质量 按照计算重力荷载代表值的方法计算 2 200 400mm 一二层 考虑楼板恒载及楼面活载作用 研究生 结构动力学 课程大作业 5 1 0 2 0 4 25004 2 0 1 25004 2 200 2090 mkg m 顶层 仅考虑楼板恒载不考虑屋面活载作用 2 0 2 0 4 25004 2 0 12 2500 1460 mkg m 柱的单位长度质量 2 300 300mm 3 0 3 0 3 2500 225 mbhkg mkg m 根据以上计算结果 将其列入表中 如下表 1 3 所示 表 1 3 梁柱力学参数 截面尺寸 2 mm 力学参数 200 400 300 300 截面惯性矩 I 4 mm 9 1 067 10 8 6 75 10 刚度 EI 2 kN m 4 3 2 10 4 2 025 10 一 二层2090 单位长度质量 m kg m 顶层1460225 研究生 结构动力学 课程大作业 6 2 2 一致质量矩阵 一致刚度矩阵 2 1 一致质量矩阵 在节点位移作用下框架梁和柱上所引起的变形形状采用 Hermite 多项式 因此均布质量梁的一致质量矩阵为 22 22 156542213 541561322 221343420 132234 e LL LL mL M LLLL LLLL 2 1 12 1 1 计算梁单元计算梁单元 单位 kg 梁 单 元 水平位移自由度产生 的质量影响系数 ii m 转角自由度产生的质量影响系数 ij m 1 1 121 1460 45860 mm L 23 21 4 45 51 1460 44 4889 90 420420 m L mmL 23 21 4 55 41 1460 3 3 4667 43 420420 m L mmL 1 121 1460 45860 mm L 23 21 5 56 61 1460 44 4889 90 420420 m L mmL 23 21 5 66 51 1460 3 3 4667 43 420420 m L mmL 2 211 2090 48360 mm L 23 11 7 78 81 2090 44 41273 90 420420 m L mmL 23 11 7 88 71 2090 3 3 4955 43 420420 m L mmL 2 211 2090 48360 mm L 23 11 9 98 81 2090 44 41273 90 420420 m L mmL 23 11 9 88 91 2090 3 3 4955 43 420420 m L mmL 3 311 2090 48360 mm L 23 11 10 1011 111 2090 44 41273 90 420420 m L mmL 23 11 10 1111 101 2090 3 3 4955 43 420420 m L mmL 3 311 2090 48360 mm L 23 11 11 1112 121 2090 44 41273 90 420420 m L mmL 23 11 11 1212 111 2090 3 3 4955 43 420420 m L mmL 2 1 22 1 2 计算柱单元计算柱单元 单位 kg 研究生 结构动力学 课程大作业 7 层 号 柱 单 元 质量影响系数 33 1 12 2 225 4 1 156156342 65 420420 m L mm 33 1 22 1 225 4 1 5454118 6 420420 m L mm 33 1 44 13 225 4 1 2222 4 1198 12 420420 m L mmL 33 1 77 13 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 33 2 44 23 225 4 1 13 13 4 1117 07 420420 m L mmL 33 2 77 23 225 4 1 22 22 4 1 198 12 420420 m L mmL 22 33 4 47 73 225 4 1 44 4 1147 68 420420 m L mmL 22 33 4 77 43 225 4 1 3 3 4 1 110 77 420420 m L mmL 33 1 12 2 225 4 1 156156342 65 420420 m L mm 33 1 22 1 225 4 1 5454118 6 420420 m L mm 33 1 55 13 225 4 1 2222 4 1198 12 420420 m L mmL 33 1 88 13 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 33 2 55 23 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 33 2 88 23 225 4 1 22 22 4 1 198 12 420420 m L mmL 22 33 5 58 83 225 4 1 44 4 1147 68 420420 m L mmL 22 33 5 88 53 225 4 1 3 3 4 1 110 77 420420 m L mmL 33 1 12 2 225 4 1 156156342 65 420420 m L mm 33 1 22 1 225 4 1 5454118 6 420420 m L mm 33 1 66 13 225 4 1 2222 4 1198 12 420420 m L mmL 三 层 33 2 99 23 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 研究生 结构动力学 课程大作业 8 33 2 66 23 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 33 2 99 23 225 4 1 22 22 4 1 198 12 420420 m L mmL 22 33 6 69 93 225 4 1 44 4 1147 68 420420 m L mmL 22 33 6 99 63 225 4 1 3 3 4 1 110 77 420420 m L mmL 层 号 柱 单 元 质量影响系数 33 2 23 3 225 4 1 156156342 65 420420 m L mm 33 3 22 3 225 4 1 5454118 6 420420 m L mm 33 2 77 23 225 4 1 2222 4 1198 12 420420 m L mmL 33 2 1010 23 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 33 2 44 23 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 33 3 1010 33 225 4 1 22 22 4 1 198 12 420420 m L mmL 22 33 7 710 103 225 4 1 44 4 1147 68 420420 m L mmL 22 33 7 1010 73 225 4 1 3 3 4 1 110 77 420420 m L mmL 33 2 23 3 225 4 1 156156342 65 420420 m L mm 33 3 22 3 225 4 1 5454118 6 420420 m L mm 33 2 88 23 225 4 1 2222 4 1198 12 420420 m L mmL 33 2 1111 23 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 33 3 88 33 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 二 层 11 33 3 1111 33 225 4 1 22 22 4 1 198 12 420420 m L mmL 研究生 结构动力学 课程大作业 9 22 33 8 811 113 225 4 1 44 4 1147 68 420420 m L mmL 22 33 8 1111 83 225 4 1 3 3 4 1 110 77 420420 m L mmL 33 2 23 3 225 4 1 156156342 65 420420 m L mm 33 2 33 2 225 4 1 5454118 6 420420 m L mm 33 2 99 23 225 4 1 2222 4 1198 12 420420 m L mmL 33 2 1212 23 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 33 3 99 33 225 4 1 13 13 4 1 117 07 420420 m L mmL 33 3 1212 33 225 4 1 22 22 4 1 198 12 420420 m L mmL 22 33 9 912 123 225 4 1 44 4 1147 68 420420 m L mmL 12 22 33 9 1212 93 225 4 1 3 3 4 1 110 77 420420 m L mmL 层 号 柱单 元 质量影响系数 33 3 3 225 4 1 156156342 65 420420 m L m 33 3 1010 33 225 4 1 2222 4 1198 12 420420 m L mmL 13 22 33 10 103 225 4 1 44 4 1147 68 420420 m L mL 33 3 3 225 4 1 156156342 65 420420 m L m 33 3 1111 33 225 4 1 2222 4 1198 12 420420 m L mmL 14 22 33 11 113 225 4 1 44 4 1147 68 420420 m L mL 33 3 3 225 4 1 156156342 65 420420 m L m 33 3 1212 33 225 4 1 2222 4 1198 12 420420 m L mmL 一 层 15 22 33 12 123 225 4 1 44 4 1147 68 420420 m L mL 2 1 32 1 3 计算整体坐标系的计算整体坐标系的 ij m 研究生 结构动力学 课程大作业 10 mnp ijijijij mmmm 根据可知 第一行 1 1 1 2 1 31 41 51 6 1 71 81 91 101 111 12 2 58603 342 65127 47 95kg 3 118 6355 8kg 0198 12kg 117 070 m m mkgmmm mmkg mmmmkg 第二行 2 2 2 3 2 42 52 62 72 82 9 2 10 2 112 12 2 83606 342 6517747 95kg 3 118 6355 8 117 07kg 198 12 117 07 0 m mkg mmmmmm m mm 第三行 3 3 3 43 53 63 73 83 9 3 103 113 12 2 83606 342 6517747 95kg 0117 07kg 0 m mmmkgmmm mmm 第四行 4 4 4 54 64 7 4 84 94 104 114 12 889 90 147 481037 38kg 667 43kg0110 77kg 0 m mmkgm mmmmmkg 第五行 5 5 889 90 2 147 481927 28mkg 5 65 7 5 8 5 95 105 115 12 667 43kg0 110 77kg 0 mmkg m mmmmkg 第六行 6 6 6 76 8 6 96 106 116 12 889 90 147 481037 38kg 00 110 770 m mmkg mkgmmmkg 第七行 7 77 8 7 107 97 117 12 1273 9 147 48 21568 86955 43 110 77kg0 mkg mkg mmmmkg 第八行 研究生 结构动力学 课程大作业 11 8 8 8 98 10 8 118 12 1273 90 2 147 48 22842 76 955 430 110 770 mkg mkgmkg mkgmkg 第九行 9 9 9 109 119 12 1273 9 147 48 21568 86 0110 77 mkg mmkgmkg 第十行 10 10 10 1110 12 1273 9 147 48 21568 86 1360 370 mkg mkg mkg 第十一行 11 11 11 12 1273 90 2 147 48 22842 76 955 43 mkg mkg 第十二行 12 12 1273 9 147 48 21568 86mkg M一致质量矩阵是对称矩阵 故只写出上三角 单位 kg 12747 95355 80198 12198 12198 12117 07117 070000 17747 95355 80117 07117 07117 07198 12198 12198 12117 0700 17747 95000117 07117 07117 07000 1037 38667 430110 7700000 1927 28667 430110 770000 1037 M 3800110 77000 1568 86955 43110 77000 2842 76955 430110 770 1568 8600110 77 1568 86955 430 2842 76955 43 1568 86 研究生 结构动力学 课程大作业 12 2 2 一致刚度矩阵 在节点位移作用下框架梁和柱上所引起的变形形状采用 Hermite 多项式 因此 等截面梁的一致刚度矩阵为 223 22 6633 6633 2EI 332 332 e LL LL K LLLLL LLLL 2 2 12 2 1 计算梁单元计算梁单元 单位 2 kN mA 层 号 梁单 元 相应刚度系数 1 4 5Lm 1 4 24 1 4 45 51 3 1 22 3 2 10 223 2000 10 4 EI kkL L 5 24 1 4 55 41 3 1 22 3 2 10 1 6000 10 4 EI kkL L 三 层 4 24 1 5 56 61 3 1 22 3 2 10 223 2000 10 4 EI kkL L 5 24 1 6 55 61 3 1 22 3 2 10 1 6000 10 4 EI kkL L 4 24 1 7 78 81 3 1 22 3 2 10 223 2000 10 4 EI kkL L 5 24 1 7 88 71 3 1 22 3 2 10 1 6000 10 4 EI kkL L 二 层 4 24 1 8 89 91 3 1 22 3 2 10 223 2000 10 4 EI kkL L 5 24 1 8 99 81 3 1 22 3 2 10 1 6000 10 4 EI kkL L 一 层 4 24 1 10 1011 111 3 1 22 3 2 10 223 2000 10 4 EI kkL L 研究生 结构动力学 课程大作业 13 5 24 1 10 1111 101 3 1 22 3 2 10 1 6000 10 4 EI kkL L 4 24 1 11 1112 121 3 1 22 3 2 10 223 2000 10 4 EI kkL L 5 24 1 11 1212 111 3 1 22 3 2 10 1 6000 10 4 EI kkL L 2 2 22 2 2 计算柱单元计算柱单元 单位 2 kN mA 层 号 柱 单 元 相应刚度系数 3 4Lm 4 4 3 1 12 2 33 3 212 2 025 10 60 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 1 22 1 33 3 212 2 025 10 6 0 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 1 44 11 77 13 32 3 26 2 025 10 30 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 4 3 2 44 22 77 23 32 3 26 2 025 10 3 0 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 24 3 4 47 73 3 3 24 2 025 10 21 9756 10 4 1 EI kkL L 4 24 3 4 77 43 3 3 22 2 025 10 0 9878 10 4 1 EI kkL L 4 4 3 1 12 2 33 3 212 2 025 10 60 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 1 22 1 33 3 212 2 025 10 6 0 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 1 55 11 88 13 32 3 26 2 025 10 30 7228 10 4 1 EI kkkkL L 三 层 4 4 3 2 55 22 88 23 32 3 26 2 025 10 3 0 7228 10 4 1 EI kkkkL L 研究生 结构动力学 课程大作业 14 4 24 3 5 58 83 3 3 24 2 025 10 21 9756 10 4 1 EI kkL L 4 24 3 5 88 53 3 3 22 2 025 10 0 9878 10 4 1 EI kkL L 4 4 3 1 12 2 33 3 212 2 025 10 60 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 1 22 1 33 3 212 2 025 10 6 0 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 1 66 11 99 13 32 3 26 2 025 10 30 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 4 3 2 66 22 99 23 32 3 26 2 025 10 3 0 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 24 3 6 69 93 3 3 24 2 025 10 21 9756 10 4 1 EI kkL L 4 24 3 6 99 63 3 3 22 2 025 10 0 9878 10 4 1 EI kkL L 层 号 柱 单 元 相应刚度系数 3 4Lm 4 4 3 2 23 3 33 3 212 2 025 10 60 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 2 33 2 33 3 212 2 025 10 6 0 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 2 77 22 1010 23 32 3 26 2 025 10 30 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 4 3 3 77 33 1010 33 32 3 26 2 025 10 3 0 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 24 3 7 710 103 3 3 24 2 025 10 21 9756 10 4 1 EI kkL L 研究生 结构动力学 课程大作业 15 4 24 3 7 1010 73 3 3 22 2 025 10 0 9878 10 4 1 EI kkL L 4 4 3 2 23 3 33 3 212 2 025 10 60 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 2 33 2 33 3 212 2 025 10 6 0 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 2 88 22 1111 23 32 3 26 2 025 10 30 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 4 3 3 88 33 1111 33 32 3 26 2 025 10 3 0 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 24 3 8 811 113 3 3 24 2 025 10 21 9756 10 4 1 EI kkL L 11 4 24 3 8 1111 83 3 3 22 2 025 10 0 9878 10 4 1 EI kkL L 4 4 3 2 23 3 33 3 212 2 025 10 60 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 2 33 2 33 3 212 2 025 10 6 0 3526 10 4 1 EI kk L 4 4 3 2 99 22 1212 23 32 3 26 2 025 10 30 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 4 3 3 99 33 1212 33 32 3 26 2 025 10 3 0 7228 10 4 1 EI kkkkL L 4 24 3 9 912 123 3 3 24 2 025 10 21 9756 10 4 1 EI kkL L 二 层 12 4 24 3 9 1212 93 3 3 22 2 025 10 0 9878 10 4 1 EI kkL L 层 号 柱 单 元 相应刚度系数 3 4Lm 研究生 结构动力学 课程大作业 16 4 4 3 3 3 33 3 212 2 025 10 60 3526 10 4 1 EI k L 4 4 3 3 1010 34 32 3 26 2 025 10 30 7228 10 4 1 EI kkL L 13 4 24 3 10 103 3 3 24 2 025 10 21 9756 10 4 1 EI kL L 4 4 3 3 3 33 3 212 2 025 10 60 3526 10 4 1 EI k L 4 4 3 3 1111 33 32 3 26 2 025 10 30 7228 10 4 1 EI kkL L 14 4 24 3 11 113 3 3 24 2 025 10 21 9756 10 4 1 EI kL L 4 4 3 3 3 33 3 212 2 025 10 60 3526 10 4 1 EI k L 4 4 3 3 1212 33 32 3 26 2 025 10 30 7228 10 4 1 EI kkL L 一 层 15 4 24 3 12 123 3 3 24 2 025 10 21 9756 10 4 1 EI kL L 2 2 32 2 3 计算整体坐标系的计算整体坐标系的 ij k 单位 mnp ijijijij kkkk 根据可知 2 kN mA 第一行 44 1 1 10 44 1 21 2 4 1 31 41 51 61 71 81 9 1 101 111 12 3 0 3526 101 0578 10 33 0 3526 10 1 0578 10 0 0 7228 10 0 k kk kkkkkkk kkk 第二行 44 2 2 44 2 3 4 2 42 52 6 4 2 72 82 92 102 112 12 3 0 3526 101 0578 10 3 0 3526 10 1 0578 10 0 7228 10 0 7228 100 k k kkk kkkkkk 研究生 结构动力学 课程大作业 17 第三行 44 3 3 4 3 43 53 63 73 83 9 4 3 103 113 12 6 0 3526 102 1156 10 00 7228 10 0 7228 10 k kkkkkk kkk 第四行 444 4 4 44 4 54 7 4 64 84 94 104 114 12 3 2000 10 1 9756 105 1756 10 1 6000 100 9878 10 0 k kk kkkkkk 第五行 444 5 5 44 5 65 8 5 75 95 105 115 12 3 2000 10 1 9756 105 1756 10 0 9878 101 6000 10 0 k kk kkkkk 第六行 444 6 6 4 6 9 6 76 86 106 116 12 3 2000 10 1 9756 105 1756 10 0 9878 10 0 k k kkkkk 第七行 4444 7 77 8 4 7 107 97 117 12 3 2000 102 1 9756 107 1512 101 6000 10 0 9878 100 kk kkkk 第八行 444 8 8 4 8 98 10 4 8 118 12 2 3 2000 10 2 1 9756 1010 3512 10 1 6000 100 0 9878 100 k kk kk 第九行 444 9 9 9 109 11 4 9 12 3 2000 102 1 9756 107 1512 10 0 0 9878 10 k kk k 第十行 4444 10 1010 11 10 12 3 2000 102 1 9756 107 1512 101 6000 10 0 kk k 第十一行 444 11 11 4 11 12 2 3 2000 10 2 1 9756 1010 3512 10 1 6000 10 k k 第十二行 444 12 12 3 2000 102 1 9756 107 1512 10k 研究生 结构动力学 课程大作业 18 一致质量矩阵K是对称矩阵 故只写出上三角 单位 kN m 1 05781 057800 72280 72280 72280 72280 72280 7228000 1 05781 05780 72280 72280 72280 72280 72280 7228000 2 11560000 72280 72280 72280 72280 72280 7228 5 17561 60000 9878000000 5 17560 98781 6000 K 4 00000 5 17560 987800000 10 7 15121 60000 9878000 10 35121 600000 98780 7 1512000 9878 7 15121 60000 10 35121 6000 7 1512 研究生 结构动力学 课程大作业 19 3 3 频率与振型 3 1 简化的质量矩阵和刚度矩阵的计算 将结构质量集中到各层 此结构用层剪切模型简化为框架等效多质点 体系 如图 3 1 所示 图 3 1 框架等效多质点体系 3 1 13 1 1 计算简化的质量矩阵计算简化的质量矩阵 根据简化的方式 如图 3 1 所示可知 1 2 3 225 4 1 3 0 5 1460 4 213064 225 4 1 32090 4 219488 225 4 1 32090 4 2 19488 mkg mkg mkg 由于结构的质量集中到各层 因此结构的质量矩阵为对角矩阵 质量矩阵 如下所示 4 1306400100 019488001 491701 3064 10 0019488001 4917 Mkgkg 3 1 23 1 2 计算简化的刚度矩阵计算简化的刚度矩阵 研究生 结构动力学 课程大作业 20 1 利用 利用 D 值法值法 计算柱的侧向刚度 计算柱的侧向刚度 各梁 柱构件的线刚度计算如下 其中在求梁截面的惯性矩是考虑现浇板 的作用时 取 为不考虑楼板翼缘作用的梁截面惯性矩 0 2II 0 I 框架梁的线刚度 4 4 1 1 22 3 2 10 1 6000 10 4 c b E I ikN m L 框架柱线刚度 4 4 2 3 1 9756 10 0 4819 10 4 1 c c E I ikN m L 二三层柱的 D 值为 边柱 4 4 21 6000 10 3 32 20 4819 10 b c i K i 0 624 2 c K K 则 4 4 22 1212 0 4819 10 0 6240 215 10 4 1 c c j i DkN m h 边 中柱 4 4 222 1 6000 10 6 64 20 4819 10 bb c ii K i 0 769 2 c K K 则 4 4 c 22 1212 0 4819 10 0 7690 264 10 4 1 c j i DkN m h 中 底层柱的 D 值为 边柱 4 4 1 6000 10 3 32 0 4819 10 b c i K i 0 5 0 718 2 c K K 则 4 4 122 1212 0 4819 10 0 7180 247 10 4 1 c c j i DkN m h 边 中柱 4 4 2 1 4222 10 6 64 0 5063 10 bb c ii K i 0 5 0 826 2 c K K 则 4 4 122 1212 0 4819 10 0 8260 284 10 4 1 c c j i DkN m h 中 研究生 结构动力学 课程大作业 21 从而得到各层的侧向刚度为 44 31 2 20 2470 284101 062 10 kDDkN m 边1中 44 21 2 2 0 2150 264 100 958 10 kkDDkN m 边中 2 计算刚度矩阵 刚度矩阵计算如图 3 2 所示 图 3 2 刚度计算 因此 47 0 9580 9580110 0 9581 9160 95810 1210 958 10 00 9582 020012 1086 KkN mN m 3 2 频率和振型计算 3 2 13 2 1 行列式方程法行列式方程法 结构的运动微分方程为 1 tpvKvCvM 研究生 结构动力学 课程大作业 22 MKC vvvp t 其中 为结构质量矩阵 为结构刚度矩阵 为结构阻尼矩阵 分别为结构加速度 速度和位移 为作用荷载 对于无阻尼自由振动 则矩阵方程 1 式可化为 2 0 2 vMwK 实际上 一个结构体系的振动分析就是矩阵代数求特征值的问题 即求特 征值和特征向量 而特征值就是频率的平方项 特征向量就是振型形式 引入符号 则有 解 27 110 12 1 491710 958 10 0 012 1086 1 4917 KMkN m 行列式得 32 3 75433 53010 49820 123 0 1707 1 2512 2 3323 解得上式三根为 解得 2 1 2 2 2 3 125 18 916 79 1710 31 1 2 3 11 19 30 28 41 36 求主振型 1i 7 2 3 1100 0 958 1012 1 491710 012 1086 1 49170 i ii ii Y Y Y 解得振型为 111 0 82930 25121 3327 0 44731 03720 9727 4 2232 1 7 1 1 3064 101 3064 10 0 958 100 958 m k 23 0 958 10 1 3064 2 0 i i KMY 研究生 结构动力学 课程大作业 23 3 2 23 2 2 Stodola 法法 1 三层框架的第一振型分析 根据体系的质量和刚度矩阵计算结构的动力矩阵 D 1 4 43 3 3 02931 98550 94161 306400 11 1 98551 98550 941601 9488010 1010 0 94160 94160 9416001 9488 3 95753 8693 1 8350 1 2 59393 8693 1 8350 10 1 23011 83501 8350 DfMkM 按式进行迭代 1 0 vDv 假设本题目中的三层框架的第一振型为 则求第一振型的迭代过程如下 0 1 1 1 1 Tv 0 1 3 3 95753 8693 1 83501 1 2 59393 8693 1 83501 10 1 23011 83501 83501 Dv 1 1 2 2 3 3 4 4 5 111111111 9 6618 1 00008 2116 1 00007 9252 1 00007 9830 1 0000 8 2982 0 85896 8480 0 80966 5616 0 82796 6194 0 8292 4 9001 0 50723 7369 0 45513 5508 0 44803 5714 0 4474 vvvvvvvvv 7 9869 1 0000 6 6233 0 8293 3 5727 0 4473 所得最终的形状如所示 对比行列式方程法所求结果已经精确到小数点后三位 4 1 v 根据求第一振型频率可得 1 2 1 1 1 s k s k v v 4 3 2 11 1 5 11 10 125 21 7 9869 v v 1 11 19 2 三层框架的第二振型分析 第一振型淘汰矩阵的形式如下 1 11 1 TT sr MM S I 这个结构的 是质量矩阵的第一列 1 1 00000 82930 4473 T s M 研究生 结构动力学 课程大作业 24 表示质量矩阵剩下的各列 1306400 T s M r M 00 194880 019488 r M 那么 故第一振型的淘汰矩阵为 1 11 1 23800 6573 TT sr MM 1 1 23710 6673 1 00000 01 0000 S 第二振型的动力矩阵是 21 3 1 02650 8058 1 0 66040 1041 10 0 31321 0142 DDS 以下计算第二振型的方法与就算第一振型方法相同 采用同样的格式 因为顶层位移 由正交条件控制 显然这里的试探向量中只需要包含 直到的解 12 v 0 2 v 2232 T r vvv r v 收敛时 才需要计算值 12 v 3 1 10 0 1 1 2 2 3 2222222 1 02650 8058 0 66040 104110 7645 0 57600 4845 0 38050 3554 0 31321 014211 3272 1 00001 1944 1 00001 1332 Dvvvvvv 3 4 4 5 5 6 6 7 22222222 0 31360 3112 0 27980 2889 2 26230 2773 0 25300 2712 1 00001 1122 1 00001 1016 1 00001 0962