竞赛讲座 06平面几何四个重要定理

竞赛专题讲座竞赛专题讲座 06 平面几何四个重要定理 平面几何四个重要定理 四个重要定理 四个重要定理 梅涅劳斯梅涅劳斯 Menelaus Menelaus 定理 梅氏线 定理 梅氏线 ABC 的三边 BC CA AB 或其延长线上有点 P Q R 则 P Q R 共线的充要条件是 塞瓦塞瓦 Ceva Ceva 定理 塞瓦点 定理 塞瓦点 ABC 的三边 BC CA AB 上有点 P Q R 则 AP BQ CR 共点 的充要条件是 托勒密托勒密 Ptolemy Ptolemy 定理定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆 西姆松西姆松 Simson Simson 定理 西姆松线 定理 西姆松线 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上 例题 例题 1 设 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线 直线 CF 交 AD 于 F 求证 分析 CEF 截 ABD 梅氏定理 评注 也可以添加辅助线证明 过 A B D 之一作 CF 的平行线 2 过 ABC 的重心 G的直线分别交 AB AC 于 E F 交 CB 于 D 求证 分析 连结并延长 AG 交 BC 于 M 则 M 为 BC 的中点 DEG 截 ABM 梅氏定理 DGF 截 ACM 梅氏定理 1 评注 梅氏定理 3 D E F 分别在 ABC 的 BC CA AB 边上 AD BE CF 交成 LMN 求 S LMN 分析 评注 梅氏定理 4 以 ABC 各边为底边向外作相似的 等腰 BCE CAF ABG 求证 AE BF CG 相交于一点 分析 评注 塞瓦定理 5 已知 ABC 中 B 2 C 求证 AC2 AB2 AB BC 分析 过 A 作 BC 的平行线交 ABC 的外接圆于 D 连结 BD 则 CD DA AB AC BD 由托勒密定理 AC BD AD BC CD AB 评注 托勒密定理 6 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7 求证 第 21 届全苏数学竞赛 分析 评注 托勒密定理 7 ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交 外接圆于 P 作 PE AB 于 E 延长 ED 交 AC 延长线于 F 求证 BC EF BF CE BE CF 分析 评注 西姆松定理 西姆松线 8 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC CE 分别被内分点 M N 分成的 比为 AM AC CN CE k 且 B M N 共线 求 k 23 IMO 5 分析 评注 面积法 9 O 为 ABC 内一点 分别以 da db dc表示 O 到 BC CA AB的距离 以 Ra Rb Rc表示 O 到 A B C 的距离 求证 1 a Ra b db c dc 2 a Ra c db b dc 3 Ra Rb Rc 2 da db dc 分析 评注 面积法 10 ABC 中 H G O 分别为垂心 重心 外心 求证 H G O 三点共线 且 HG 2GO 欧拉线 分析 评注 同一法 11 ABC 中 AB AC AD BC 于 D BM BN 三等分 ABC 与 AD 相交于 M N 延长 CM 交 AB 于 E 求证 MB NE 分析 评注 对称变换 12 G 是 ABC 的重心 以 AG 为弦作圆切 BG 于 G 延长 CG 交圆于 D 求证 AG2 GC GD 分析 评注 平移变换 13 C 是直径 AB 2 的 O 上一点 P 在 ABC 内 若 PA PB PC 的最小值是 求此时 ABC 的面积 S 分析 评注 旋转变换 费马点 已知 O 是 ABC 内一点 AOB BOC COA 120 P 是 ABC 内任一点 求证 PA PB PC OA OB OC O 为费马点 分析 将 CC OO PP 连结 OO PP 则 B OO B PP 都是正三角形 OO OB PP PB 显然 BO C BOC BP C BPC 由于 BO C BOC 120 180 BO O A O O C 四点共线 AP PP P C AC AO OO O C 即 PA PB PC OA OB OC 14 9595 全国竞赛全国竞赛 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边 分别交于 E F G H 在弧 EF 和弧 GH 上分别作 O 的切线交 AB BC CD DA 分别于 M N P Q 求证 MQ NP 分析 由 AB CD知 要证 MQ NP 只需证 AMQ CPN 结合 A C 知 只需证 AMQ CPN AM CN AQ CP 连结 AC BD 其交点为内切圆心 O 设 MN 与 O 切于 K 连结 OE OM OK ON OF 记 ABO MOK KON 则 EOM FON EOF 2 2 180 2 BON 90 NOF COF 90 CNO NBO NOB AOE MOE AOM 又 OCN MAO OCN MAO 于是 AM CN AO CO 同理 AQ CP AO CO 评注 15 9696 全国竞赛全国竞赛 O1和 O2与 ABC 的三边所在直线 都相切 E F G H 为切点 EG FH 的延长线交于 P 求证 PA BC 分析 评注 16 9999 全国竞赛全国竞赛 如图 在四边形 ABCD 中 对角 线 AC 平分 BAD 在 CD 上取一点 E BE 与 AC 相 交于 F 延长 DF 交 BC 于 G 求证 GAC EAC 证明 连结 BD 交 AC 于 H 对 BCD 用塞瓦定理 可得 因为 AH 是 BAD 的角平分线 由角 平分线定理 可得 故 过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I 过 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J 则 所以 从而 CI CJ 又因为 CI AB CJ AD 故 ACI BAC DAC ACJ 因此 ACI ACJ 从而 IAC JAC 即 GAC EAC 已知 AB AD BC DC AC 与 BD 交于 O 过 O 的任 意两条直线 EF 和 GH 与四边形 ABCD 的四边交于 E F G H 连结 GF EH 分别交 BD 于 M N 求证 OM ON 5 届 CMO 证明证明 作 EOH E OH 则只需证 E M H 共线 即 E H BO GF 三线共点 记 BOG GOE 连结 E F 交 BO 于 K 只需证 1 Ceva 逆定理 1 注注 筝形筝形 一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形 对应于 99 联赛 2 E OB FOB 且 E H GF BO 三线共 点 求证 GOB H OB 事实上 上述条件是充要条件 且 M 在 OB 延长线上时结论仍然 成立 证明方法为 同一法 蝴蝶定理蝴蝶定理 P 是 O 的 弦 AB 的中点 过 P 点 引 O 的两弦 CD EF 连结 DE 交 AB 于 M 连结 CF 交 AB 于 N 求证 MP NP 分析 设 GH 为过 P 的直径 FF F 显然 O 又 P GH PF PF PFPF PA PB FPN F PM PF PF 又 FF GH AN GH FF AB F PM MDF FPN EDF EFF ED