贵州省遵义市2013届高三数学第四月考 理 新人教A版

遵义四中遵义四中 20122012 20132013 学年度高三第四次月考数学年度高三第四次月考数 学学 试试 题 理 题 理 本试卷满分本试卷满分 150150 分分 考试时间考试时间 120120 分钟分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 2012 2013 1 1 i i A B C D 1 i 1 i 1 i 1 i 答案 D 解析 选 D 2012 2013 11 12 1 2 1 1 11 1 1 2 iii i iiii 2 如下图 矩形 ABCD 中 点 E 为边 CD 上的任意一点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个 点 Q 则点 Q 取自 ABE 内部的概率等于 A B C D 1 4 1 3 1 2 2 3 答案 C 解析 由几何概型的计算方法 可以得出所求事件的概率为 所以选 C 1 1 2 2 ABE ABCD AB BC S P SAB BC A A 3 则 2 0 34 log4 log 3 0 3abc A B C D acb cba abc bac 答案 C 解析 所以 选 C 2 0 34 log40 0log 31 0 31ac abc 4 过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 1 3 P x y A B 40 xy 30 xy C 或 D 或 40 xy 30 xy 40 xy 30 xy 答案 D 解析 若直线过原点 设直线方程为 把点代入得 此时直线为ykx 1 3 P 3k 即 若直线不经过原点 在设直线方程为 即 把3yx 30 xy 1 xy aa xya 点代入得 所以直线方程为 即 所以选 D 1 3 P 4a 4xy 40 xy 5 某几何体的三视图如右图所示 则它的体积是 A B 2 8 3 8 3 C D 82 2 3 答案 A 解析 由三视图可知 该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥 正四棱柱的体积为 圆锥的体积为 所以该几何体的体积为 选 A 2 2 28 12 2 33 2 8 3 6 展开式中不含项的系数的和为 8 2x 4 x A 1 B 0 C 1 D 2 答案 B 解析 二项式的通项 令 则 88 2 188 2 1 2 1 k kkkkkkk k TCxCx 8k 所以的系数为 1 令 得展开式的所有项系数和为 8844 98 1 TCxx 4 x1x 8 2 11 所以不含项的系数的和为 0 选 B 4 x 7 已知向量 且与的夹角为锐角 则实数的取值范围是 2 1 a r 1 bk r a r b r k A B C D 2 11 2 22 2 2 2 答案 B 解析 当共线时 此时方向相同夹角为 所以要使与 a b 210k 1 2 k a b 0a r 的夹角为锐角 则有且不共线 由得 且 即b r 0a b A a b 20a bk A2k 1 2 k 实数的取值范围是 选 B k 11 2 22 8 已知函数 sin f xAx 其中 的部分图象如右图所示 为了得到 0 2 A 的图象 则只需将 f x的图象 sin2g xx A 向右平移个长度单位 B 向右平移个长度单位 6 12 C 向左平移个长度单位 D 向左平移个长度单位 6 12 答案 A 解析 由图象知 所以 又所以 此 7 1 41234 T A T 2 T 2 时函数为 即 所以 sin 2 f xx 77 sin 2 1 1212 f 7 sin 1 6 即 解得 所以sin 1 6 2 62 kkZ 2 3 kkZ 又 所以直线 sin 2 3 f xx sin2sin 2 sin 2 3363 g xxxx 将向右平移个单位就能得到函数的图象 选 A sin 2 3 f xx 6 sin2g xx 9 过点 2 2 P 且与曲线 3 3yxx 相切的直线方程是 A B C 2y D 或2y 916yx 920yx 916yx 答案 D 解析 设点是曲线上的任意一点 则有 导数则切线斜率 a b 3 3baa 2 33yx 所以切线方程为 即 2 33ka 2 33 ybaxa 整理得 22233 33 33 33 333yaxaabaxaaaa 将点 2 2 P 代入得 即 23 33 2yaxa 2 233 22 33 2266aaaa 即 整理得 32 340aa 3232 1 33 1 3 1 0aaaa 2 1 2 0aa 解得或 代入切线方程得切线为或2y 选 D 2a 1a 916yx 10 下列命题 在ABC 中 若BA 则BAsinsin 已知 则在上的投影为 已知 1 2 4 3 CDABABCD2 1cos xRxp 则 为假命题 已知函数01 2 xxRxqqp 2 6 sin xxf 的导函数的最大值为 则函数 xf的图象关于对称 其中真命题的个数为 0 3 3 x A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 根据正弦定理可知在三角形中 若BA 则 所以 BAsinsin 正确 ab 在上的投影为 因为 所ABCDcos ABAB CD 5 5 10ABCDAB CD A 以 所以 错误 中命题为真 为真 10 cos 2 5 5 AB CD ABAB CD CD A pq 所以为假命题 所以正确 中函数的导数为 最大值为qp cos 6 fxx 所以函数 所以3 sin 3 2 6 f xx 不是最值 所以错误 所以真命题有 2 个 3 sin 3 2sin 2 33662 f 选 B 11 设圆锥曲线的两个焦点分别为 若曲线上存在点满足 C 1 F 2 FCP 1 PF 12 FF 2 PF 4 3 2 则曲线的离心率等于 C A B C D 23 32 或 2 2 3 或 1 2 2 或 13 22 或 答案 D 解析 因为 4 3 2 所以设 1 PF 12 FF 2 PF 1 4PFx 12 3FFx 因为 所以 若曲线为椭圆 则有 2 2 0PFx x 12 32FFxc 2 3 xc 即 所以离心率 若曲线为双 12 26aPFPFx 3ax 1 2 32 3 3 ccc e ax c 曲线圆 则有即 所以离心率 所以 12 22aPFPFx ax 3 2 2 3 ccc e ax c 选 D 12 对于三次函数 定义 设是函数的 32 f xaxbxcxd 0a fx yfx 导数 若方程有实数解x0 则称点 x0 f x0 为函数的 拐点 0fx yf x 有同学发现 任何一个三次函数都有 拐点 任何一个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 请你将这一发现为条件 若函数 则 32 1151 3 1 3212 2 g xxxx x 12342010 20112011201120112011 ggggg A 2010 B 2011 C 2012 D 2013 答案 A 解析 令 则 g x h x 32 115 3 3212 h xxxx 12 1 21 2 m x x x m x 则 令 所以 h x 的对称中心 2 3h xxx 21hxx 1 210 2 hxxx 为 1 设点 p x0 y0 为曲线上任意一点 则点 P 关于 1 的对称点 P 1 x0 2 y0 也 在曲线上 h 1 x0 2 y0 h x0 h 1 x0 y0 2 y0 2 h h h h h h h h h h h h h 1005 2 2010 由于函数 m x 的对称中心为 0 可得 m x0 m 1 x0 0 m m m m m m m m m m m m m 1005 0 0 g g g g g h h h h h m m m m m 2010 0 2010 选 A 二 填空题 把答案填在答题卡相应题号后的横线上 本大题共二 填空题 把答案填在答题卡相应题号后的横线上 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 执行右侧的程序框图 输出的结果 S 的值为 答案 3 2 解析 由程序框图可知 这是求的程序 在一个周期内 22011 sinsinsin 333 所以 26 sinsinsin0 333 22011 sinsinsin 333 20113 sinsin 332 14 已知 且 0 1 tan 2 1 tan 7 2 答案 3 4 解析 所以 11 tan tan1 27 tantan 1 11 1tan tan3 1 27 所以 0 4 2 2 1 2 2tan3 3 tan21 1 1tan4 1 3 02 4 因为 所以 31 tan2tan 47 tan 2 1 31 1tan2tan 1 47 0 0 所以 所以 2 4 3 2 4 15 等差数列的前项和为 且 等比数列中 n an n S 9 36S 13 104S n b 则 55 ba 77 ba 6 b 答案 4 2 解析 在等差数列中 由 得 即 9 36S 13 104S 1 1 9 8 936 2 13 12 13104 2 ad ad 解得 所以 所以 1 1 44 68 ad ad 1 4 2ad 51 44aad 71 68aad 在等比数列中 所以 57 4 8bb 2 65 7 32bb b 6 324 2b 16 如右图 设A B C D为球O上四点 若AB AC AD两两互相垂直 且 6ABAC 则A D两点间的球面距离 2AD 答案 2 3 解析 因为 AB AC AD 两两互相垂直 所以分别以 AB AC AD 为棱构造一个长方体 在 长方体的体对角线为球的直径 所以球的直径 所以 222 2 6 6 2164R 球半径为 在正三角形中 所以 A D 两点间的球面距离为2R AOD 3 AOD 2 33 R 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 满分 12 分 设数列的前n项和为 已知 n a n S 1 1a 1 31 nn aS n N 求数列的通项公式 n a 记为数列的前项和 求 n T n na nn T 18 满分 12 分 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植树棵树 乙组记录中有一个 数据模糊 无法确认 在图中以表示 X 如果 求乙组同学植树棵树的平均数和方差 8X 如果 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这9X 两名同学的植树总棵树的分布列和数学期望 Y 19 满分 12 分 如右图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 AB D 是 AC 的中点 求证 B1C 平面 A1BD 求二面角 A A1B D 的余弦值 20 满分 12 分 已知椭圆的一个顶点为 B 离心率 22 22 1 yx ab 0 ab 0 4 e 5 5 直线l交椭圆于M N两点 若直线 的方程为 求弦MN的长 l4yx II 如果 BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F 求直线 的方程 l 21 满分 12 分 设函数 2 2ln11f xxx 求函数的单调递增区间 xf II 若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根 求实数x 2 30f xxxa 2 4 的取值范围 a 选做题 请考生在选做题 请考生在 2222 2323 2424 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记 分 做答时 用分 做答时 用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22 满分 10 分 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如下图 AB CD是圆的两条平行弦 BE AC BE交CD于E 交圆于F 过A点的切线 交DC的延长线于P PC ED 1 PA 2 I 求AC的长 II 求证 BE EF 23 满分 10 分 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线 C 的参数方程为为参数 以该直角坐标系的原xOy 2 1 xt t yt 点 O 为极点 轴的正半轴为极轴的极坐标系下 曲线的方程为 xP 2 4 cos30pp 求曲线 C 的普通方程和曲线的直角坐标方程 P 设曲线 C 和曲线的交点为 求 PAB AB 24 满分 10 分 选修选修 4 54 5 不等式选讲 不等式选讲 已知函数 2 5 f xxx I 证明 3 3 xf II 求不等式 的解集 xf 2 815xx 遵义四中遵义四中 20122012 20132013 学年度高三第四次月考学年度高三第四次月考 数数 学学 试试 题 理 参考答案题 理 参考答案 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 5 DCCD A 6 10BBADB 11 12 DA 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 14 15 16 3 4 4 2 2 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 满分 12 分 解 由题意 则当时 1 31 nn aS 2n 1 31 nn aS 两式相减 得 2 分 1 4 nn aa 2n 又因为 4 分 1 1a 2 4a 2 1 4 a a 所以数列是以首项为 公比为的等比数列 5 分 n a 14 所以数列的通项公式是 6 分 n a 1 4n n a n N 因为 21 123 2312 43 44n nn Taaanan 所以 8 分 231 44 12 43 4 1 44 nn n Tnn 两式相减得 10 分 21 1 4 3144444 1 4 n nnn n Tnn 整理得 12 分 311 4 99 n n n T n N 18 满分 12 分 解 1 当 X 8 时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 3 分 4 35 4 10988 x 方差为 6 16 11 4 35 10 4 35 9 4 35 8 4 1 2222 s 分 当 X 9 时 由茎叶图可知 甲组同学的植树棵树是 9 9 11 11 乙组 同学的植树棵数是 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 共有 4 4 16 种可能的结果 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17 18 19 20 21 事件 Y 17 等价于 甲组选出的同学植树 9 棵 乙组选出的 同学植树 8 棵 所以该事件有 2 种可能的结果 因此 P Y 17 21 168 同理可得 4 1 18 YP 4 1 19 YP 8 1 21 4 1 20 YPYP 所以随机变量 Y 的分布列为 Y1718192021 P 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 EY 17 P Y 17 18 P Y 18 19 P Y 19 20 P Y 20 21 P Y 21 17 18 19 20 21 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8 19 12 分 19 满分 12 分 解 1 证明 连交于点 连 1 ABBA1EDE 则是的中点 E 1 AB 是的中点 DACCBDE 1 平面 平面 平面 6 分 DEBDA1 CB1BDA1CB1BDA1 2 法一 设 且 1 2AAa ABAA 11 BAAE aAE2 作 连DAAF 1 EF 平面 平面 平面 BDA1 11A ACC AFBDA1 1 BAEF 就是二面角的平面角 AEF DBAA 1 在中 ADA1 2 5 AFa 在中 AEF 2222 46 2 55 EFAEAFaaa 即二面角的余弦值是 5 15 2 5 6 cos a a AE EF AEFDBAA 1 5 15 12 分 解法二 如图 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 D 0 3 0 Ba 0 0 Aa 1 0 2 Aaa 1 0 0 2 AAa 3 0 ABaa 1 0 2 DAaa 0 3 0 DBa 设平面的法向量是 则BDA1 zyxm 由 取 03 02 1 yDBm zxDAm 1 0 2 m 设平面的法向量是 则BAA1 zyxn 由 取 02 03 1 zAAn yxABn 0 1 3 n 记二面角的大小是 则 DBAA 1 2 315 cos 5 2 5 m n m n 即二面角的余弦值是 12 分DBAA 1 5 15 20 满分 12 分 解答 1 由已知 且 即 4b 5 5 c a 2 2 1 5 c a 解得 椭圆方程为 3 分 22 2 1 5 ab a 2 20a 22 1 2016 yx 由与联立 22 4580 xy 4yx 消去得 y 2 9400 xx 1 0 x 2 40 9 x 所求弦长 6 分 2 21 40 2 1 1 9 MNxx 2 椭圆右焦点F的坐标为 2 0 设线段 MN 的中点为 Q 00 xy 由三角形重心的性质知 又 2BFFQ 0 4 B 故得 00 2 4 2 2 xy 00 3 2xy 求得Q的坐标为 8 分 3 2 设 则 1122 M xyN xy 1212 6 4xxyy 且 10 分 2222 1122 1 1 20162016 xyxy 以上两式相减得 12121212 0 2016 xxxxyyyy 1212 1212 4466 5545 MN yyxx k xxyy 故直线MN的方程为 即 12 分 6 2 3 5 yx 65280 xy 21 满分 12 分 解 1 函数的定义域为 1 分 f x 1 2 分 221 21 11 x x fxx xx 则使的的取值范围为 1x 0fx x 1 2 故函数的单调递增区间为 4 分 f x 1 2 2 方法 1 2 2ln11f xxx 6 分 2 301 2ln10f xxxaxax 令 1 2ln1g xxax 且 23 1 11 x g x xx 1x 由 03 03g xxg xx 得 得1 在区间内单调递减 在区间内单调递增 8 分 g x 2 3 3 4 故在区间内恰有两个相异实根 10 分 2 30f xxxa 2 4 2 0 3 0 4 0 g g g 即解得 30 42ln20 52ln30 a a a 2ln