解直角三角形

解直角三角形 内容 教学目标教学目标 1 使学生理解直角三角形的意义 2 使学生能够用直角三角形的三个关系式解直角三角形 3 通过列方程解直角三角形 培养学生运用代数方法解几何问题的能力 4 培养学生运用化归的思想方法将未知的问题转化为已知的问题去解决 教学重点和难点教学重点和难点 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形是重点 选择适当的关系式解直角三 角形是难点 教学过程设计教学过程设计 一 直接运用三个关系解直角三角形 1 定义 由直角三角形中已知的边和角 计算出未知的边和角的过程 叫做解直角三角形 2 解直角三角形依据 图 6 32 直角三角形 ABC 的六个元素 三条边 三个角 a b c 分别为 A B C 所对的边 除直角 C 外 其余五个元素之间的关系如下 1 三边之间的关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 sinA c aA 斜边 的对边 cosA c bA 斜边 的邻边 tanA b a A A 的邻边 的对边 cotA a b A A 的对边 的邻边 这三个关系式中 每个关系式都包含三个元素 知其中两个元素就可以求出第三个元 素 1 是已知两边求第一边 2 是已知一锐角求另一角 3 是已知两边求锐角 已知一边 一角求另一边 这些关系式是解直角三角形的依据 已知其中两个元素 至少有一个是边 就可以求出 其余的三个未知元素 3 例题分析 例 1 ABC 中 C 为直角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 b 3 A 30 解这个直角三角形 分析 未知元素是 B a c B 最容易求 B 90 A 由 tanA b a 可以求 a 由 cosA c a 可以求 c 解 B 90 A 90 90 30 60 因不 tanA b a 所以 a b tanA 3 tan30 3 3 3 3 因为 cosA c a 问 1 用 cotA 是否可以求出 a 从而说明要优选关系式 2 求 c 边还可以用什么方法 答 也可以用勾股定理求得 练习 1 在 ABC 中 C 90 c 2 B 30 解这个直角三角形 答 A 60 a b 1 例 2 在 ABC 中 C 90 求 A B c 边 分析 此题解法灵活性很强 求 c 边可根据求得 也可先用正 余 切求出 A 或 B 再用正余弦求得 c 边 利用 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 求 c 边也很方便 指出 优选关系式是关键 并让学生讨论每种解法在计算中的优劣 例 3 在 ABC 中 C 90 b 35 c 45 cos39 0 7778 解直角三角形 分析 已知元素是 b c 未知元素 A B 和 a 题中已给条件 cos39 0 7778 很 自然考虑到 cosA c b 因此可将 A 求得 可让学生讨论找出解题途径 4 从特殊到一般归纳总结 由以上所述 引导学生归纳总结出解直角三角形题目分为四种类型 选用关系式归纳为 已知斜边求直边 正弦余弦很方便 已知直边求直边 正切余切理当然 已知两边求一边 勾股定理最方便 已知两边求一角 函数关系要选好 已知锐角求锐角 互余关系要记好 已知直边求斜边 用除还需正余弦 计算方法要选择 能用乘法不用除 练习 2 在 ABC 中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 根据下列条件解 直角三角形 练习 3 填空 在直角三角形 ABC 中 C 90 a b c 分别为 A B C 的对边 1 c 10 B 45 则 a b S 2 a 10 S 则 b A 二 将条件化归为运用三个关系式解直角三角形 例 4 ABC 中 C 90 a b c 分别为 A B C 的对边 1 a 4 sinA 5 2 求 b c tanB 2 a C 12 b 8 求 a c cosB 分析 我们知道 在直角三角形的三条边和两锐角这五个元素中 若已知关于这些元 素的两个独立条件 其中至少有一个条件是边 则此直角三角形可解 但此题中的两小题均 未给出一边一角或两边的两个独立条件 但 1 中 由 sinA 5 2 c a 可设 a 2t c 5t 又因不 a 4 所以 t 2 所以 a 4 c 10 将条件转化为一直角边 一斜边的两个独立条 件 2 中利用勾股定理 c2 a2 82 再由已知 a c 12 构成关于 a c 的二元二次方程组 得 到 a c 本题是将条件经过转化 归结不四种类型之一 从而得到所求 解 1 因为 sinA c a 5 2 所以设 a 2t c 5t 因为 a 4 所以 2t 4 t 2 所以 c 10 212 22 acb 所以 tanB 2 21 4 212 a b 2 解方程组 64 12 22 ac ca 得 3 26 3 10 c a 所以 13 5 3 26 3 10 cos c a B 练习 4 已知在 ABC 中 C 90 a b c 分别为 A B C 的对边 例 5 如图 6 33 ABC 中 C 90 AC 12 A 的平分线 AD 8 3 求 ABC 的面 积 分析 根据三角形面积公式 S 2 1 AC BC 已知 AC 12 只需求 BC 但在直角 ABC 中 除直角外只有一个条件 AC 还要求出另一个边或角 观察已知发现 直角 ABD 可解 然后 再求 BAC 解 在 Rt ABD 中 cos DAC 2 3 38 12 AD AC 所以 DAC 30 因为 AD 平分 A 所以 BAC 60 所以 B 30 所以 AB 2AC 24 练习 5 如图 6 34 ABC 中 C 90 ABC 60 BD 是 ABC 的平分线 且 BD 2 求 ABC 的周长 解 因为 BD 平分 ABC 所以 CBD 2 1 ABC 2 1 60 30 Rt DBC 中 CD 2 1 BD 2 1 2 1 所以 ABC 周长为 3 33 例 6 如图 6 35 ABC 中 A 30 B 45 AC 4 求 AB 的长 采取讲练结合方法教学 分析 通过作高 将解斜三角形的问题化归为解直 角三角形的问题 略解 作 CD AB 于 D 则 CD 2 三 小结 1 先由教师向学生提出问题 学习了哪些内容 解题过程中运用了哪些数学思想方法 2 在学生回答的基础上教师归纳出以下几点 1 解直角三角形的意义 2 直接运用直角三角形的边边关系 角角关系 边角关系解四种类型 已知一锐角 一直角边 一锐角一斜边 一直角边一斜边 两直角边 的题 3 运用化归的思想方法 将已知条件化为四种类型之一的条件 从而解直角三角形 四 作业 课本 p 45 46 习题 6 3 A 组 2 3 板书设计 略 课堂教学设计说明 这份教案为两课时 这份教案也可按以下思路进行设计 一 从一般到特殊总结出直角三角形的性质 二 从特殊到一般归纳总结出解直角三角形的四种类型及其基本思考方法 1 例题分析 例 1 例 2 例 3 选用原教案 2 从特殊到一般