江苏省2013届高考数学二轮复习教学案：第12讲　直线与圆的方程及应用

平面解析几何 专题四 直线与圆的方程及应用 第12讲 解析几何是江苏高考必考题之一 它包含两个 C 级考点 正常情况下 考一小 填空 一 大 解答 小题常涉及直线方程及应用 圆锥曲线方程及其性质 有一定的计算量 大题往 往与圆有关 涉及到方程 位置关系 定点 定值 定线等 圆与圆锥曲线的综合考查 对 数学思想方法要求比较高 能灵活使用待定系数法 定义法等求方程 能用配方法 换元法 等 结合图形将问题进行转化 通过函数 方程 不等式等思想来解决问题 1 理解直线的斜率和倾斜角的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 了解直线的倾 斜角的范围 理解直线的斜率和倾斜角之间的关系 能根据直线的倾斜角求出直线的斜率 2 掌握直线方程的几种形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 的特点与适用 范围 能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程 了解直线方程的斜截式与一次 函数的关系 3 能根据斜率判定两条直线平行或垂直 4 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系 体会数形结合思想 能用 解方程组的方法求两直线的交点坐标 5 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用 会求两条平行直线间的 距离 6 掌握圆的标准方程与一般方程 能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程 理解 圆的标准方程与一般方程之间的关系 会进行互化 7 能根据直线与圆的方程判断其位置关系 相交 相切 相离 能根据圆的方程判断圆 与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 能用直线和圆的方程解决一些简单的问 题 1 与直线 x y 1 0 垂直的直线的倾斜角为 3 2 过点 2 1 且在两坐标轴截距相等的直线方程是 3 直线x y m 0 与圆 x2 y2 2x 2 0 相切 则实数 m 3 4 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 x2 y2 4 上有且仅有四个点到直线 12x 5y c 0 的距离为 1 则实数 c 的取值范围是 例 1 已知圆 C 过点 1 0 且圆心在 x 轴的正半轴上 直线 l y x 1 被圆 C 所截 得的弦长为 2 求过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程 2 例 2 如图 平面直角坐标系 xOy 中 AOB 和 COD 为两等腰直角三角形 A 2 0 C a 0 a 0 AOB 和 COD 的外接圆圆心分别为 M N 1 若 M 与直线 CD 相切 求直线 CD 的方程 2 若直线 AB 截 N 所得弦长为 4 求 N 的标准方程 3 是否存在这样的 N 使得 N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离为 若存在 2 求此时 N 的标准方程 若不存在 说明理由 例 3 已知圆 C x2 y 3 2 4 一动直线 l 过点 A 1 0 与圆 C 相交于 P Q 两 点 M 是 PQ 的中点 l 与直线 m x 3y 6 0 相交于点 N 1 求证 当 l 与 m 垂直时 l 必过圆心 C 2 当 PQ 2时 求直线 l 的方程 3 3 探索 的值是否与直线 l 的倾斜角有关 若无关 请求出其值 若有关 请说 AM AN 明理由 例 4 已知椭圆 E 1 a b 0 的离心率为 且过点 P 2 设椭圆 E 的 x2 a2 y2 b2 2 22 右准线 l 与 x 轴的交点为 A 椭圆的上顶点为 B 直线 AB 被以原点为圆心的圆 O 所截得的 弦长为 4 5 5 1 求椭圆 E 的方程及圆 O 的方程 2 若 M 是准线 l 上纵坐标为 t 的点 求证 存在一个异于 M 的点 Q 对于圆 O 上的任 意一点 N 有为定值 且当 M 在直线 l 上运动时 点 Q 在一个定圆上 MN NQ 1 2011 安徽 若直线 3x y a 0 过圆 x2 y2 2x 4y 0 的圆心 则 a 的值为 2 2011 重庆 在圆 x2 y2 2x 6y 0 内 过点 E 0 1 的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD 则四边形 ABCD 的面积为 3 2011 湖北 过点 1 2 的直线 l 被圆 x2 y2 2x 2y 1 0 截得的弦长为 则直 2 线 l 的斜率为 4 2010 江西 直线 y kx 3 与圆 x 2 2 y 3 2 4 相交于 M N 两点 若 MN 2 则实数 k 的取值范围是 3 5 2011 福建理 已知直线 l y x m m R 1 若以点 M 2 0 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P 且点 P 在 y 轴上 求该圆的方程 2 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l 问直线 l 与抛物线 C x2 4y 是否相切 说 明理由 6 2011 陕西 如图 设 P 是圆 x2 y2 25 上的动点 点 D 是 P 在 x 轴上投影 M 为 PD 上一点 且 MD PD 4 5 1 当 P 在圆上运动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 2 求过点 3 0 且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度 4 5 2011 南京三模 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知定点 A 4 0 B 4 0 动点 P 与 A B 两点连线的斜率之积为 1 4 1 求点 P 的轨迹方程 2 设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C 半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平 分线上 且在 y 轴右侧 圆 M 被 y 轴截得的弦长为r 3 求 M 的方程 当 r 变化时 是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切 如果存在 求出定直线 l 的方程 如果不存在 说明理由 解 1 设 P x y 则直线 PA PB 的斜率分别为 k1 k2 2 分 y x 4 y x 4 由题意知 即 1 x 4 y x 4 y x 4 1 4 x2 16 y2 4 所以动点 P 的轨迹方程是 1 x 4 4 分 x2 16 y2 4 说明 没有范围扣 1 分 2 由题意知 C 0 2 A 4 0 所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y 2x 3 6 分 设 M a 2a 3 a 0 则 M 的方程为 x a 2 y 2a 3 2 r2 圆心 M 到 y 轴的距离 d a 由 r2 d2 2 得 a 3r 2 r 2 所以 M 的方程为 2 y r 3 2 r2 10 分 x r 2 假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切 当定直线的斜率不存在时 不合题意 当斜率存在时 设直线 l y kx b 则 r 对任意 r 0 恒成立 12 分 k r 2 r 3 b 1 k2 由 r k 2 1 r b 3 1 k2 得 2r2 k 2 b 3 r b 3 2 1 k2 r2 k 2 1 所以Error Error 解得Error Error 或Error Error 所以存在两条直线 y 3 和 4x 3y 9 0 与动圆 M 均相切 16 分 第 12 讲 直线与圆的方程及应用 1 已知实数 x y 满足 2x y 5 0 那么的最小值为 x2 y2 答案 5 2 圆 x2 y2 1 与直线 kx y k 0 k R 为常数 的位置关系是 答案 相交 3 若直线 y x b 与曲线 y 3 有公共点 则 b 的取值范围是 4x x2 答案 1 2 3 解析 本题考查数形结合思想 曲线方程可化简为 x 2 2 2 y 3 2 4 1 y 3 即表示圆心为 2 3 半径为 2 的半圆 依据数形结合 当直线 y x b 与此半圆相切时须满足圆心 2 3 到直线 y x b 距离等于 2 解得 b 1 2或 2 1 2 因为是下半圆故可得 b 1 2 当直线过 0 3 时 解得 b 3 故 1 2 b 3 222 4 已知圆 M x2 y 2 2 1 Q 是 x 轴上的动点 QA QB 分别切圆 M 于 A B 两 点 1 如果 AB 求直线 MQ 的方程 4 2 3 2 求动弦 AB 的最小值 解 1 设 Q q 0 因为 M 0 2 所以 MQ 而 MA r 1 q2 22q2 4 从而在 Rt AMQ 中 AQ MQ 2 MA 2q2 4 1q2 3 又由题意和对称性可得 Rt AMQ 斜边 MQ 边上的高为 h AB 1 2 2 2 3 由等面积法得 解得 q 所以 Q 0 2 2 3q2 4q2 355 将 M Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线 MQ 的方程为 2x y 2 0 55 2 由 1 知 利用等面积法得 AB AB 从而 1 2q2 4q2 3 1 2 q2 3 q2 4 1 1 q2 4 当 q 0 时 动弦 AB 取到最小值 3 5 2011 盐城二模 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知曲线 C 由圆弧 C1和圆弧 C2相 接而成 两相接点 M N 均在直线 x 5 上 圆弧 C1的圆心是坐标原点 O 半径为 13 圆弧 C2过点 A 29 0 1 求圆弧 C2的方程 2 曲线 C 上是否存在点 P 满足 PA PO 若存在 指出有几个这样的点 若不存 30 在 请说明理由 3 已知直线 l x my 14 0 与曲线 C 交于 E F 两点 当 EF 33 时 求坐标原点 O 到直线 l 的距离 解 1 圆弧 C1所在圆的方程为 x2 y2 169 令 x 5 解得 M 5 12 N 5 12 则线段 AM 中垂线的方程为 y 6 2 x 17 令 y 0 得圆弧 C2所在圆的圆心为 O2 14 0 又圆弧 C2所在圆的半径为 r2 29 14 15 所以圆弧 C2的方程为 x 14 2 y2 225 x 5 2 假设存在这样的点 P x y 则由 PA PO 得 x2 y2 2x 29 0 30 由Error Error 解得 x 70 舍 由Error Error 解得 x 0 舍 综上知 这样的点 P 不存在 3 因为 EF r2 EF r1 所以 E F 两点分别在两个圆弧上 设点 O 到直线 l 的距离为 d 因为直线 l 恒过圆弧 C2所在圆的圆心 14 0 所以 EF 15 132 d2142 d2 即 18 解得 d2 所以点 O 到直线 l 的距离为 132 d2142 d2 1 615 16 1 615 4 基础训练 1 2 x 2y 0 或 x y 3 0 3 或 3 333 4 13 13 解析 圆的半径为 2 圆心 0 0 到直线 12x 5y c 0 的距离小于 1 即 1 c 的取值范围是 13 13 c 13 例题选讲 例 1 解 由题意可设所求的直线方程为 x y m 0 设圆心坐标为 a 0 则由题意知 2 2 a 1 2 解得 a 3 或 1 又因为圆心在 x 轴的正半轴上 所以 a 3 故圆心 a 1 2 坐标为 3 0 因为圆心 3 0 在所求的直线上 所以有 3 0 m 0 即 m 3 故所求的直 线方程为 x y 3 0 例 2 点拨 直线与圆相交的问题 要利用图形转化为圆心到直线的距离问题 解 1 圆心 M 1 1 圆 M 方程为 x 1 2 y 1 2 2 直线 CD 方程为 x y a 0 M 与直线 CD 相切 圆心 M 到直线 CD 的距离 d 化简得 a 2 舍去负值 a 22 直线 CD 的方程为 x y 2 0 2 直线 AB 方程为 x y 2 0 圆心 N a 2 a 2 圆心 N 到直线 AB 距离为 a 2 a 2 2 22 直线 AB 截 N 所得弦长为 4 22 2 a 2 舍去负值 2 a2 23 N 的标准方程为 x 2 y 2 6 33 3 存在 由 2 知 圆心 N 到直线 AB 距离为 定值 且 AB CD 始终成立 2 当且仅当圆 N 半径 2 即 a 4 时 N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离 a 22 为 2 此时 N 的标准方程为 x 2 2 y 2 2 8 变式训练 已知 m R 直线 l mx m2 1 y 4m 和圆 C x2 y2 8x 4y 16 0 1 求直线 l 斜率的取值范围 2 直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧 为什么 1 2 点拨 直线与圆相交 用圆心到直线距离 已知直线将圆分割弧长的比值 转化为所对 的圆心角的比值 过圆心作弦的垂线 则垂线段长可求 用圆心到直线的距离即可 解 1 直线 l 的方程可化为 y x m m2 1 4m m2 1 直线 l 的斜率 k m m2 1 m m2 1 1 2 k 当且仅当 m 1 时等号成立 m m2 1 1 2 斜率 k 的取值范围是 1 2 1 2 2 不能 由 1 知 l 的方程为 y k x 4 其中 k 1 2 圆 C 的圆心 C 4 2 半径 r 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d 2 1 k2 由 k 得 d 1 即 d 从而若 l 与圆 C 相交 则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的 1 2 4 5 r 2 圆心角小于 2 3 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧 1 2 例 3 1 证明 因为 l 与 m 垂直 且 km 则 kl 3 故直线 l y 3 x 1 即 1 3 3x y 3 0 显然圆心 0 3 在直线 l 上 即当 l 与 m 垂直时 l 必过圆心 C 2 解 当直线 l 与 x 轴垂直时 易知 x 1 符合题意 当直线 l 与 x 轴不垂直时 设直线 l 的方程为 y k x 1 即 kx y k 0 因为 PQ 2 所以 CM 1 则由 CM 1 得 k 所以直线 l 的方程为 34 3 3 k k2 1 4 3 4x 3y 4 0 从而所求直线 l 的方程为 x 1 或 4x 3y 4 0 3 解 CM MN AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN 当 l 与 x 轴垂直时有 N 1 5 3 AN 0 5 3 又 1 3 5 AC AM AN AC AN 当 l 的斜率存在时 设直线 l 的方程为 y k x 1 则由Error Error 得 N 则 3k 6 1 3k 5k 1 3k AN 5 1 3k 5k 1 3k 所以 5 AM AN AC AN 综上 可知 的值与直线 l 的斜率无关 因此与倾斜角也无关 且 5 AM AN AM AN 变式训练 已知直线 m 的方程为 x y 1 0 C 的方程为 x2 2x y2 2y 3 0 C 关于直线 m 的对称的 D 与直线 l 相交于 A B 两点 若在 D 上存在点 P 使得 a 又知 a 1 2 OP OA OB 1 求 D 的方程 2 求点 P 的坐标 3 求直线 l 的方程 解 1 C 方程为 x 1 2 y 1 2 5 设 D a b 则Error Error a 0 b 0 D 方程为 x2 y2 5 2 由题意可知 P 2 P 在圆 D 上 2 4 2 5 1 P 1 2 或 P 1 2 3 P A B 均在圆上 OP AB AOB 120 OP OA OB 圆心 D 到直线 AB 的距离是 5 2 当 P 的坐标为 1 2 时 kl 设直线 l 的方程是 x 2y c 0 d 1 2 c 5 5 2 c 由图形位置可知 c 此时直线 l 的方程是 2x 4y 5 0 5 2 5 2 同理可知 当 P 坐标为 1 2 时 直线 l 的方程是 2x 4y 5 0 例 4 1 解 Error Error Error Error 故椭圆 E 的方程为 1 x2 8 y2 4 A 4 0 B 0 2 直线 AB 方程为 x 2y 4 0 则 O 到 AB 距离为 4 5 圆 O 的半径 r 2 4 5 2 1 2 2 5 2 故圆 O 的方程为 x2 y2 4 2 证明 l 的方程为 x 4 M 点坐标为 M 4 t 在圆 O 上任取一点 N x0 y0 定点 Q x y NM 与 NQ 的比值为常数且 Q 不同于 M NQ2 NM2 0 且 1 为常数 即 x0 x 2 y0 y 2 x0 4 2 y0 t 2 x02 y02 2xx0 2yy0 x2 y2 x02 y02 8x0 2y0t 16 t2 将 x02 y02 4 代入上式 则 2xx0 2yy0 x2 y2 4 8 x0 2 y0t 20 t2 由于 N 是圆 O 上任意一点 所以Error Error 将 代入 得 16 t2 2 20 t2 4 0 1 16 t2 4 0 1 4 16 t2 即存在一个定点 Q 不同于点 M 使得对于圆 O 上的任意一点 N 均有为定值 又 16 t2 代入 得 x2 y2 4 MN NQ 4 于是有 x2 y2 x 即 2 y2 故点 Q 在圆心为 半径为 的定圆上 x 1 2 1 4 1 2 0 1 2 高考回顾 1 1 解析 本题考查直线与圆的位置关系 属容易题 2 10 解析 由题意 AC 为径 设圆心为 F 则 FE BD 圆的标准方程为 x 1 2 2 y 3 2 10 故 F 1 3 由此易得 AC 2 又 kEF 2 所以 BD 的方程为 10 y x 1 F 到 BD 的距离为 由此得 BD 2 所以四边形 ABCD 的面 1 2 1 2 1 3 5 255 积为 AC BD 2 2 10 1 2 1 25102 3 1 或 17 7 4 解析 因为直线过定点 0 3 且该点在圆上 设此点为 M 圆心 2 3 到此直 3 3 3 3 线距离为 d 所以由 4 d2 2 d 1 又 d 1 k2 k 3 2k 3 3 1 k2 1 3 3 3 3 3 5 点拨 本小题主要考查直线 圆 抛物线等基础知识 考查运算求解能力 函数与方 程思想 数形结合思想 化归与转化思想 分类与整合思想 解 解法 1 1 依题意 点 P 的坐标为 0 m 因为 MP l 所以 1 1 0 m 2 0 解得 m 2 即点 P 的坐标为 0 2 从而圆的半径 r MP 2 2 0 2