结构动力学大作业

结构动力学作业 姓名 学号 结构动力学作业 I 目 录 1 力插值法 1 1 1 分段常数插值法 1 1 2 分段线性插值法 4 2 加速度插值法 7 2 1 常加速度法 7 2 2 线加速度法 9 附 录 12 分段常数插值法源程序 12 分段线性插值法源程序 12 常加速度法源程序 13 线加速度法源程序 13 结构动力学作业 1 1 力插值法力插值法 力插值法对结构的外荷载进行插值 分为分段常数插值法和分段线性插值 法 这两种方法均适用于线性结构的动力反应计算 1 1 分段常数插值法 图 1 1 为一个单自由度无阻尼系统 结构的刚度为 k 质量为 m 位移为 y t 施加的 外力为 P t 图 1 2 为矩形脉冲荷载的示意图 图中 td表示作用的时间 P0表示脉冲荷载 的大小 图 1 1 单自由度无阻尼系统示意图图 1 2 矩形脉冲荷载示意图 对于一个满足静止初始条件的无阻尼单自由度体系来说 当施加一个 td时 间的矩形脉冲荷载 此时结构在 td时间内的位移反应可以用杜哈梅积分得到 0 0 sin 2 1 cos 1 cos 0 t ststd P y ttd m t ytytt T 1 1 如果结构本身有初始的位移和速度 那么叠加上结构自由振动的部分 结 构的位移反应为 0 0 2 cossin 1 cos 0 std yt y tyttytt T 1 2 结构动力学作业 2 图 1 3 分段常数插值法微段示意图 对于施加于结构任意大小的力 将其划分为 t 的微段 每一段的荷载都 为一个常数 每段相当于一个矩形的脉冲荷载 如图 1 3 所示 则将每一段的位 移和速度写成增量的形式为 1 costsint 1 cost ii ii yP yy k 1 3 i 1 sintcostsint ii i yP yy k 1 4 程序流程图如下 结构动力学作业 3 开始 输入结构频率 施加荷载 P t 时间微段 t 结构刚度k 初始时刻的位移y0和速度v0 将荷载作用的时间 划分为n个分段 i n i 1 costsint 1 cost ii i yP yy k i 1 sintcostsint ii i yP yy k 输出yn vn 结束 图 1 4 分段常数插值法流程图 根据流程图可以编写相应的算法 利用 MATLAB 进行编程 程序源代码 见附录 为了验证程序的正确性 本文选取的以下的例题进行验证 对于一个单自由度的无阻尼结构 当其受到一个周期荷载时 其结构响应 分为稳态解和瞬态解 由于没有阻尼的影响 其瞬态解并不会衰减 其理论表 达式为 0 2 1 sinsin 1 p x ttt k 1 5 式中 为位移响应 为激励 为刚度 为荷载频率与固有振动 x t 0 pk 频率之比 为荷载频率 为结构固有频率 结构动力学作业 4 现令为 1 为 1 则为 1 取为 2 3 程序求得的解与解析解对比 0 pk 如图 1 5 所示 由于理论解与程序基本重合 所以将理论解乘以 1 方便比较 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 y 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 a 位移 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 v 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 b 速度 图 1 5 分段常数插值法结果验证 由图 1 5 可知理论解与程序算得的解基本重合 可以验证程序的准确性 1 2 分段线性插值法 与分段常数插值法不同 分段线性插值法将每一微段的力当成一个线性的 直线 对于每一个微段 可看成一个矩形和一个三角形脉冲的叠加 图 1 6 为 分段线性插值微段示意图 图 1 6 分段线性插值法微段示意图 对于无阻尼的体系 后一个时间步的位移和速度可由前一个时间步相应的 值求得 1 1 cossin 1 cos 1sin iii ii yPP yytttt kkt 1 6 1 1 sincossin 1 cos iii ii yPP yytttt kkt 1 7 结构动力学作业 5 分段线性插值法的流程图如图 1 7 所示 与分段常数插值法仅仅是迭代的 方式有所不一样 开始 输入结构频率 施加荷载 P t 时间微段 t 结构刚度k 初始时刻的位移y0和速度v0 将荷载作用的时间 划分为n个分段 i n 输出yn vn 结束 1 1 cossin 1 cos 1sin iii ii yPP yytttt kkt 1 1 sincossin 1 cos iii ii yPP yytttt kkt 图 1 7 分段线性插值法流程图 程序源代码见附录 同样利用 1 1 节的算例进行验证 所得的结果如图 1 8 所示 结构动力学作业 6 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 y 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 a 位移 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 v 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 b 速度 图 1 8 分段线性插值法结果验证 由上图可知程序的正确性 结构动力学作业 7 2 加速度插值法加速度插值法 加速度插值法也叫逐步积分法 其对加速度进行插值 可分为常加速度法 和线加速度法 2 1 常加速度法 图 2 1 常加速度法微段示意图 对于一个单自由度结构 其运动方程为 my y tctky tp t 2 1 将式 1 1 转变为增量方程 m yc yk yp 2 2 在通过逐步积分 将时间转化为一系列微小的时间段 如图 2 1 所示 t 现令 11 1 2 iiii y tyyttt 则 t 时间的速度可表示为 1 1 1 2 1 2 ii tt ii tt iii y t dty ty tdt y ty ty ty tt 令 t ti 1 则 i 1 时刻速度可以表示为 11 1 2 iiii yyyyt 2 3 同理 位移可以表示为 2 11 1 4 iiiii yyytyyt 2 结构动力学作业 8 4 将式 2 3 2 4 代入式 2 1 即 1111 myi iii cykyp 2 5 此时 式 2 5 中只有为未知变量 可直接求出 之后再利用式 2 3 1i y 1i y 2 4 可求出 ti 1时刻的速度与位移 算法的流程图如下所示 开始 输入结构频率 施加荷载 P t 时间微段 t 结构刚度k 结构阻尼c 初始时刻的位移y0 和速度v0 将荷载作用的时间划分为n个分段 并计算 i n 输出yn vn an 结束 00 2 4 3 yy t 2 24 i cm kk tt 4 2 2 iiii m PPc ymy t iii yPk 2 2 iii yyy t 2 4 2 iiii yyyty t 图 2 2 常加速度法流程图 算例验证的结果如下图所示 说明了该程序的正确性 由于需要对加速度 进行插值 此处增加了加速度验证 结构动力学作业 9 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 y 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 a 位移 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 v 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 b 速度 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 位 a 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 c 加速度 图 2 3 常加速法结果验证 2 2 线加速度法 线加速度法与常加速度法原理类似 其速度与位移的增量方程与常加速度 法对应的方程略有不同 图 2 4 为线加速度法微段示意图 a 位移b 速度 图 2 4 线加速度法微段示意图 关于具体原理不在赘述 下图为线加速度法的流程图 结构动力学作业 10 开始 输入结构频率 施加荷载 P t 时间微段 t 结构刚度k 结构阻尼c 初始时刻的位移y0 和速度v0 将荷载作用的时间划分为n个分段 并计算 i n 输出yn vn an 结束 2 63 k tk tmc t tt 6 3 3 2 t P tP tmy ty tc ty ty t t yP k 2 66 3 y ty ty ty t tt 3 3 2 t y ty ty ty t t 000 2 33 2 2 yyy tt 图 2 5 线加速度法流程图 算例验证的结果如图 2 6 所示 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 y 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 a 位移 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 v 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 b 速度 结构动力学作业 11 01020304050 4 2 0 2 4 位 位 位 a 位 位 t 位 位 位 位 位 位 位 位 c 加速度 图 2 6 线加速法结果验证 结构动力学作业 12 附附 录录 分段常数插值法源程序 function x inter force constant p w dt k v0 y0 分段常系数插值法 p 代表输入的力 w 为结构基本频率 dt 为时间间隔 k 为结构刚度 v0 为初始的速度 y0 为初始的位移 输出的矩阵第一列代表时间 第二列代表位移 第三列代表速度 r size p x NaN r 3 x 1 p 1 x 1 2 y0 x 1 3 v0 for i 1 r 1 x i 1 2 x i 2 cos w dt x i 3 w sin w dt p i 2 k 1 cos w dt x i 1 3 x i 2 sin w dt x i 3 w cos w dt p i 2 k sin w dt w end 分段线性插值法源程序 function x inter force line p w dt k v0 y0 分段线性插值法 p 代表输入的力 w 为结构基本频率 dt 为时间间隔 k 为结构刚度 v0 为初始的速度 y0 为初始的位移 输出的矩阵第一列代表时间 第二列代表位移 第三列代表速度 r size p x NaN r 3 x 1 p 1 x 1 2 y0 x 1 3 v0 for i 1 r 1 x i 1 2 x i 2 cos w dt x i 3 w sin w dt p i 2 k 1 cos w dt p i 1 2 p i 2 k w dt w dt sin w dt x i 1 3 x i 2 sin w dt x i 3 w cos w dt p i 2 k sin w dt p i 1 2 p i 2 k w dt 1 cos w dt w end 结构动力学作业 13 常加速度法源程序常加速度法源程序 function x inter a constant p w m keci dt v0 y0 k p 代表输入的荷载 w 为结构基本频率 keci 为阻尼比 dt 为时间间隔 m 为结构质量 k 为结构刚度 v0 为初始的速度 y0 为初始的位移 输出的矩阵第一列代表时间 第二列代表位移 第三列代表速度 第四列代表加速度 r size p x NaN r 4 x 1 p 1 x 1 2 y0 x 1 3 v0 x 1 4 4 3 dt dt y0 c 2 keci w for i 1 r 1 K k 2 c dt 4 m dt dt dP p i 1 2 p i 2 4 m dt 2 c x i 3 2 m x i 4 dY dP K dV 2 dt dY 2 x i 3 dA 4 dt dt dY x i 3 dt 2 x i 4 x i 1 2 x i 2 dY x i 1 3 x i 3 dV x i 1 4 x i 4 dA end 线加速度法源程序线加速度法源程序 function x inter a line p w m keci dt v0 y0 k p 代表输入的荷载 w 为结构基本频率 keci 为阻尼比 dt 为时间间隔 m 为结构质量 k 为结构刚度 v0 为初始的速度 y0 为初始的位移 输出的矩阵第一列代表时间 第二列代表位移 第三列代表速度 第四列代表加速度 r size p x NaN r 4 x 1 p 1 x 1 2 y0 x 1 3 v0 x