不等式高考复习总结和习题

不等式 不等式 11 7 12 一 不等式和不等关系 不等式的基本性质 不等式的基本性质 1 对称性 对称性 abba 2 传递性 传递性 cacbba 3 加法法则 加法法则 cbcaba dbcadcba 4 乘法法则 乘法法则 bcaccba 0 bcaccba 0 bdacdcba 0 0 5 倒数法则 倒数法则 ba abba 11 0 6 乘方法则 乘方法则 1 0 nNnbaba nn 且 7 开方法则开方法则 1 0 nNnbaba nn 且 2 几个重要的不等式 1 基本不等式 如果 a b 是正数正数 那么 2 号时取当且仅当 baab ba 基本不等式的推广 当 a b 为正数时 当且仅当 a b 时取 号 22 2 11 22 abab ab ab 即 平方平均数 算术平均数 几何平均数 调和平均数 2 含立方的几个重要不等式 a b c 为正数 3322 aba bab 333 3abcabc 0abc 等式即可成立0abcabc 或时取等 如果 a b c x x 是正实数 那么 3 3 abc abc 当且仅当 a b c 时取 号 3 绝对值不等式 123123 0 ababab ab aaaaaa 时 取等号 注 均值不等式可以用来求最值 积定和小 和定积大 特别要注意条件的满足 一正 二定 三相等一正 二定 三相等 历年真题分析 考点 不等关系与不等式 1 2008 广东文 设 Rba 若 0 ba 则下列不等式中正确的是 A 0 ab B 0 33 ba C 0 ab D 0 22 ba 2 2007 上海理科 已知 a b 为非零实数 且a b 则下列命题成立的是 A 22 ab B 22 a bab C 22 11 aba b D ba ab 3 06 上海文 如果 那么 下列不等式中正确的是0 0ab A B C D 11 ab ab 22 ab ab 4 2003 京春文 设 a b c d R 且 a b c d 则下列结论中正确的是 A a c b d B a c b d C ac bd D c b d a 5 1999 上海理 若 a b b 2均不能成立 aba 11 b 1 a 1 D 不等式和 a 2 b 2均不能成立 1 1 ba a 1 b 1 6 06 浙江理 a b 0 是 ab 的 2 22 ba A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不允分也不必要条件 7 2001 京春 若实数 a b 满足 a b 2 则3a 3b的最小值是 A 18 B 6 C 2 D 23 4 3 8 2000 全国 若 a b 1 P Q lga lgb R lg ba lglg 2 1 2 ba 则 A R P Q B P Q R C Q P RD P R Q 二 不等式的证明 常用不等式的证明方法 比较法 作差作差 变形变形 判断判断 结论结论 综合法 12n ABBBB 分析法 执果索因执果索因 从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充 分条件 把证明不等式转化为判定这些充分条件是 否具备的问题 放缩法 放缩法 a 添加或舍去一些项添加或舍去一些项 1 a n n 1 n 2 a b 将分子和分母放大或缩小 将分子和分母放大或缩小 c 利用基本不等式 利用基本不等式 n n 1 0f x g x 0 0 xg xf xg xf 0 0 xg xgxf 5 讨论法 讨论绝对值中的式于大于零还是小于零 然后去掉绝对值 符号 转化为一般不等式 等价变形 解绝对值不等式常用以下等价变形 x ax2 a2 a x0 x ax2 a2x a 或 x0 一般地有 f x g x g x f x g x f x g x 或 f x 0 的解集是 A x 0 x 1 B x x 0 且 x 1 2 24 1 2 2 xx C x 1 x 1 D x x 1 且 x 1 6 2009 北京 不等式组的解集是 2 2 3 3 0 x x x x x A x 0 x 2 B x 0 x 2 5 C x 0 x D x 0 x 3 6 7 不等式 3 2x的解集是 3 1 8 2 x 8 2006 山东理 设 f x 则不等式 f x 2 的解集为 2 1 log 2 2 2 1 xx xt t x A 1 2 3 B 10 C 1 2 D 1 2 10 9 07 福建 已知是 R 上的减函数 则满足的实数 x 的取值范围 f x 1 1 ff x 是 A B C D 1 1 0 0 1 0 1 10 07 重庆理 若函数 f x 的定义域为 R 则 a 的取值范围为12 2 2 aaxx 考点二 基本不等式 1 2007 上海理 已知 xy R 且 14 yx 则 xy 的最大值是 2 2008 浙江文 已知 A 2 1 ab B 2 1 ab C 2 22 ba D 3 22 ba 3 2008 江苏 已知 x y zR 230 xyz 则 2 y xz 的最小值 4 07 北京理科 如果正数满足 那么abcd 4abcd A 且等号成立时的取值唯一abcd abcd B 且等号成立时的取值唯一abcd abcd C 且等号成立时的取值不唯一abcd abcd D 且等号成立时的取值不唯一abcd abcd 5 07 上海理 已知 且 则的最大值为 x yR 41xy x y 考点三 绝对值不等式 1 2008 湖南文 x 1 2 是 x 3 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 即不充分也不必要条件 2 07 北京 15 记关于的不等式的解集为 不等式的解集x0 1 xa x P11x 为 I 若 求 II 若 求正数的取值范围 Q3a PQP a 则且 2 0 0 baba 考点四 不等式的综合应用 1 2008 江苏模拟 如图 某单位用木料制作如图所示的框架 框架的下部是边长 分别为 x y 单位 米 的矩形 上部是斜边长为x的等腰直角三角形 要求框架围成 的总面积为 8 平方米 求 x y 的关系式 并求x的取值范围 问 x y 分别为多少时用料最省 2 2006 江苏模拟 某工企业 2007 年底投入 100 万元 购入一套污水处理设 备 该设备每年的运转费用是 0 5 万元 此外每年都要花费一定的维护费 第 一年的维护费为 2 万元 由于设备老化 以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元 1 求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用 y 万元 2 问为使该企业的年平均污水处理费用最低 该企业几年后需要重新更换新 的污水 处理设备 考点五 不等式的证明 1 2010 湖南 已知 1 2 1 2 1 baba且 求证 221212 ba 2 2007 湖北理科 已知 m n 为正整数 用数学归纳法证明 当 x 1 时 1 x m 1 mx 对于 n 6 已知 2 1 3 1 1 n n 求证 mn n m 2 1 3 1 m 1 1 2 n 求出满足等式 3n 4m n 2 m n 3 n 的所有正整数 n 3 07 上海理 已知是定义域为正整数集的函数 对于定义域内任意的 f xk 若成立