陕西省西安市2013届高三物理二轮复习 专题8 数学方法在物理中的应用

1 第第 8 8 专题专题 数学方法在物理中的应用数学方法在物理中的应用 方法概述方法概述 数学是解决物理问题的重要工具 借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显 的规律性 能达到打通关卡 长驱直入地解决问题的目的 中学物理 考试大纲 中对学 生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求 要求考生有 应用数学处理物理 问题 的能力 对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷 所谓数学方法 就是要把客观事物的状态 关系和过程用数学语言表达出来 并进行 推导 演算和分析 以形成对问题的判断 解释和预测 可以说 任何物理问题的分析 处理过程 都是数学方法的运用过程 本专题中所指的数学方法 都是一些特殊 典型的 方法 常用的有极值法 几何法 图象法 数学归纳推理法 微元法 等差 比 数列求和 法等 一 极值法 数学中求极值的方法很多 物理极值问题中常用的极值法有 三角函数极值法 二次 函数极值法 一元二次方程的判别式法等 1 利用三角函数求极值 y acos bsin cos sin a2 b2 a a2 b2 b a2 b2 令 sin cos a a2 b2 b a2 b2 则有 y sin cos cos sin a2 b2 sin a2 b2 所以当 时 y有最大值 且ymax 2a2 b2 2 利用二次函数求极值 二次函数 y ax2 bx c a x2 x c a x 2 其中 b a b2 4a2 b2 4a b 2a 4ac b2 4a a b c为实常数 当x 时 有极值ym 若二次项系数a 0 y有极小值 b 2a 4ac b2 4a 若a0 这与事实不符合 故 D 错误 只有 B 可能正 确 答案 B 点评 本例与 2008 年高考北京理综卷第 20 题相似 给出某一规律的公式 要求证 它的正确性 这类试题应引起足够的重视 例 6 如图 8 7 所示 一轻绳吊着一根粗细均匀的棒 棒下端离地面高为H 上端 套着一个细环 棒和环的质量均为m 相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 kmg k 1 断开轻绳 棒和环自由下落 假设棒足够长 与地面发生碰撞时触地时间极短 无动能损失 棒在整个运动过程中始终保持竖直 空气阻力不计 求 10 图 8 7 1 棒第一次与地面碰撞后弹起上升的过程中 环的加速度 2 从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间 棒运动的路程s 3 从断开轻绳到棒和环都静止的过程中 摩擦力对环和棒做的总功W 2007 年高考 江苏物理卷 解析 1 设棒第一次上升的过程中环的加速度为a环 由牛顿第二定律有 a环 k 1 g 方向竖直向上 kmg mg m 2 棒第一次落地前瞬间的速度大小为 v1 2gH 设棒弹起后的加速度为a棒 由牛顿第二定律有 a棒 k 1 g kmg mg m 故棒第一次弹起的最大高度为 H1 v12 2a棒 H k 1 路程s H 2H1 H k 3 k 1 3 解法一 设棒第一次弹起经过t1时间后与环达到共同速度v1 环的速度v1 v1 a环t1 棒的速度v1 v1 a棒t1 解得 t1 1 k 2H g v1 2gH k 环的位移h环 1 v1t1 a环t12 H 1 2 k 1 k2 棒的位移h棒 1 v1t1 a棒t12 H 1 2 k 1 k2 x1 h环 1 h棒 1 解得 x1 2H k 棒 环一起下落至地 有 v22 v1 2 2gh棒 1 解得 v2 2gH k 同理 环第二次相对棒的位移为 x2 h环 2 h棒 2 2H k2 11 xn 2H kn 故环相对棒的总位移x x1 x2 xn 2H k 1 所以W kmgx 2kmgH k 1 解法二 经过足够长的时间棒和环最终静止 设这一过程中它们相对滑动的总路程为 l 由能量的转化和守恒定律有 mgH mg H l kmgl 解得 l 2H k 1 故摩擦力对环和棒做的总功为 W kmgl 2kmgH k 1 答案 1 k 1 g 方向竖直向上 2 H k 3 k 1 3 2kmgH k 1 点评 高考压轴题中常涉及多个物体多次相互作用的问题 求解这类题往往需 要应用数学的递推公式或数列求和知识 一对滑动摩擦力做功的总和W f s总 s总为相对滑动的总路程 对于涉及两个对象的运动过程 规定统一的正方向也很重要 例 7 如图 8 8 所示 两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上 导轨间距 为l 足够长且电阻忽略不计 导轨平面的倾角为 条形匀强磁场的宽度为d 磁感应 强度大小为B 方向与导轨平面垂直 长度为 2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连 接在一起组成 形装置 总质量为m 置于导轨上 导体棒中通以大小恒为I的电 流 由外接恒流源产生 图中未画出 线框的边长为d d l 电阻为R 下边与磁场区域 上边界重合 将装置由静止释放 导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回 导体棒在整 个运动过程中始终与导轨垂直 重力加速度为g 求 图 8 8 1 装置从释放到开始返回的过程中 线框中产生的焦耳热Q 2 线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 3 经过足够长时间后 线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm 2009 年高考 江苏物理卷 解析 1 设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中 作用在线框上的 安培力做功为W 由动能定理得 mgsin 4d W BIld 0 且Q W 解得 Q 4mgdsin BIld 2 设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1 则接着向下运动 2d 由动能定理得 12 mgsin 2d BIld 0 mv12 1 2 线框在穿越磁场中运动时受到的合力F mgsin F 感应电动势E Bdv 感应电流I E R 安培力F BI d 由牛顿第二定律 在t到 t t 时间内 有 v t F m 则 v gsin t B2d2v mR 有v1 gt1sin 2B2d3 mR 解得 t1 2m BIld 2mgdsin 2B2d3 R mgsin 3 经过足够长时间后 线框在磁场下