类比在中学数学教学中的应用

第 4 卷第 2 期 类比推理是科学研究的重要思维形式 是创新的 源泉之一 具有重要的思维训练价值和应用价值 在 数学学科中 类比可用于研究两类对象 已知其中一 类具有属性 p 1 p2 pn和 p 若另一类有类似的属性 p 1 p2 pn 则猜测有与 p 相当的属性 p 类比思维的 认识依据是客观事物或对象之间存在的普遍联系 相似性 在教学中 可通过类比引入概念 导出公式 帮 助解题 培养学生探究发现的能力 在数学竞赛中 类 比可拓宽思路 触发灵感 帮助寻求解题方法 本文对数 学教学中常采用的几种类比方法作一些探讨 一 运用类比寻求解题思路 高维空间中比较复杂的问题 很多情况下可以通 过类比到低维空间中的问题 通过对低维空间的问题 分析求得解题思路 然后类比到高维空间中的问题求 得解题思路 例 1 立体几何中有这样一道题 平面 和空间 两点 A B 在平面 内找一点 C 使 A C B C最小 分析 先将问题类比到平面问题 已知直线 L和 两点 A B 在直线 L 上找一点 C 使 A C B C最小 而 此问题可分四种不同的位置关系 A B在 L上 一点在 L上 一点在 L外 在 L的不同的两侧 在 L的同侧分别找出所求的 C点 此方法可完全类 比到空间中的问题 从而可得出解题思路 例 2 空间有 n 个平面 每两个平面都相交 但 无三面共点 试问 这些平面将空间分成几部份 分析 此问题一下难以找到答案 于是将问题类 比成平面问题 平面内有 n 条直线 每两条直线交于 一点 无三条直线共点 问 这些直线将平面分成几 部份 再类比到一维空间 直线上有 n 个点 问 这 n 个点将直线分成几部份 这时容易找到答案 n 个点将直线分成 n 1 部份 记为 f n n 1 再考虑平面问题 一条直线分平面为 两部份 设n 条直线分平面为 g n 部分 再添一条直 线 与前n 条直线相交 由 f n n 1 知要增加 n 1 部 分 所以 g n 1 g n n 1 g 1 2 于是 g n 1 g n n 1 g n g 1 g 2 g 1 g 3 g 2 g n g n 1 1 2 n 2 n 2 再考虑空间问题 设 n 个平面分空间为 h n 部分 再添一个平面则与前 n 个平面相交 由 g n 知要增加 1 2 n 2 n 2 部分 所以 h n 1 h n 1 2 n 2 n 2 h 1 2 于是 h n 1 h n 1 2 n 2 n 2 从而 h n h 1 h 2 h 1 h 3 h 2 h n h n 1 2 n 1 i 1 h i 1 h i 2 1 2 n 1 i 1 i 2 1 2 n 1 i 1 i n 1 i 1 1 1 6 n 3 5 n 6 此问题一步一步地类比到最简单的问题 从而寻 类比在中学数学教学中的应用 陈质坚 湖南平江一中湖南平江 4 1 4 0 0 0 摘要 在数学教学中运用类比来寻求解题思路 引出新知识 对问题进行推广与引伸 及通过与其它学科问 题类比来培养学生能力 都能产生良好的教学效果 关键词 类比 类比教学 收稿日期 2 0 0 8 0 5 2 6 作者简介 陈质坚 1 9 6 5 男 湖南平江人 平江一中一级教师 主要研究方向为中学数学教学 陈质坚类比在中学数学教学中的应用1 1 5 湖南民族职业学院学报 J O U R N A LO FH U N A NV O C A T I O N A LC O L L E G EF O RN A T I O N A L I T I E S 2 0 0 8 年 6 月 求到解题思路 二 运用类比引出新知识 例 3 在讲四面体余弦定理时可利用中的余弦定理 c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C 类比引出 将三角形与四面体类比 是否有类似的 结论呢 于是学生猜测有 S o 2 S a 2 S b 2 S c 2 S o表与 O相对的三角形的面积 但形式一时很难 具体写出 于是引导学生对其推导过程进行类比 先 看余弦定理的证明 由射影定理 有 a c c o s B b c o s C b c c o s A a c o s C 所以 c o s B 1 c a b c o s C c o s A 1 c b a c o s C 再代入 c a c o s B b c o s A 整理即得 c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C 类似地在四面体 O A B C中 应用空间射影定理 有 S o Sac o s a o Sbc o s b o Scc o s c o 1 S a Sbc o s b a Scc o s c a Soc o s o a 2 其中 a o表平面 Sa与 So的夹角 由 2 式可得 c o s a o 1 S o S bc o s b a Scc o s c a 同理 c o s a b 1 S o S b Sac o s a b Scc o s c b c o s o c 1 S o S c Sac o s a c Sbc o s b c 将这三式代入 1 式 整理即得 S O 2 S a 2 S b 2 S c 2 2 S aSbc o s a b SbScc o s b c ScSac o s c a 这样 我们通过推导过程的类比寻找到了四面体 余弦定理 又如棱锥体积公式 V 1 3S h 可类比为球的体积公 式 V 1 3 4 R 2 R 级数的有限和性质 n i 1 ai n i 1 ai 可类比为级数的无限和性质 i 1 ai i 1 ai 等等 三 运用类比进行推广与引伸 例 4 a b R a b 1 则 a 1 a 2 b 1 b 2 2 5 2 对于三元形式有如下命题 a b c R a b c 1 则 a 1 a 3 b 1 b 3 c 1 c 3 1 0 0 0 9 两式从其结构上看类似 于是引导学生猜测有多 元形式 设 x k R k 1 2 3 n n k 1 xk 1 则 n k 1 xk 1 x k n n n 1 n n 利用二项式定理和均值不等式可证得多元形式 确实成立 例 5 8 7 年上海赛题 T是锐角三角形 矩形 R S 的一部分内接于 T 设 A x 表图形 x 的面积 求 A R A S A T 的最大值 对此问题的解答并不难 如能及时引导学生进行 引伸探究将得出一些有趣的结果 首先将题中的锐角 三角形换成一般的三角形 矩形换成平行四边形且增 加平行四边形的个数 将会得到如下的更深刻的结果 结论 1设 A B C中有几个一组对边顺次相接且 此组对边平行于底边 B C的平行四边形 记 S i为第 i 个平行四边形的面积 则 n i 1 Si n n 1S A B C 此结论运用排序原理易证明 其次 将 n 2 时类比 到空间问题会得出如 下有趣的结果 结论 2设四面体内部有两个重叠的平行六面体 R S 且 S 的一面在底面三角形 A B C上 设 Vx表 x 的 体积 则 VR VS 1 8 7 1V 四面体 证明 如图 设平行六面体的高分别为 h R hS 且设 两平行六面体平行于底面的面截四面体所得三角形 分别记为 R S 且记其面积为 S R S S S 到顶 点 V的距离为 h 0 底面 A B C的面积记为 S 四面体 的高为 H 底面 A B C的 于是有 S R h 0 2 S S h 0 hR 2 S H 2所以 由引理易知两平行六面体体积之和 V VR VS 1 2S R hR 1 2S S hS S 2 H 2 h 0 2 h R h0 hR 2 h S 于是问题转化为 在条件 h 0 hR hS H下 求函数 f h 0 hR hS h0 2 h R h0 hR 2 h S的最大值 作拉格朗日函数 L h 0 2 h R h0 hR 2 h S h0 hR hS H 令 L 关于各变元的偏导数为零得 L h0 2 h0hR 2 h0 hR hS 0 L hR h0 2 2 h 0 hR hS 0 L hS h0 2 2 h 0 hR hS 0 1 1 6 第 4 卷第 2 期陈质坚类比在中学数学教学中的应用 由 得 h R h 0 2 由 得 h S 5 1 2h 0 再由 h 0 hR hS H得 h 0 1 2 2 3H h R 6 2 3H h S 5 2 3H 根据问题的实际意义知函数 f 必然存在最大值 且必在条件 取得 将 代入 得 V 5 4 5 2 9S H 1 6 2 5 2 9V 四面体 由于 与 取等号可同时满足 故 V 5 4 5 2 9S H 1 6 2 5 2 9V 四面体 且 Vm a x 1 6 2 5 2 9V 四面体 四 与其它学科问题类比 拓宽思路 有些数学问题与其它学科有深密联系 因此 要 善于观察问题的特点 建立相应的模型 从中寻求解 题途径 例 6 设 D E F分别是 A B C三边上的定点 满 足条件 B D D C c a C E E A a c A F F B b a a 0 b 0 c 0 则 A D B E C F 交于一点 O 分析 如图示 如从纯数学角度证此题 则颇费功 夫 因此题与物理学关系密切 故可考虑通过建立物 理模型加以解决 把 A B C看成三个质点 重量分别 为 a b c 则 B D D C c b 所以 b B D c D C 这说明 D是 两质点 B C的重心 因 A D的重心在线段 A D上 故 三质点系 A B C的重心在 A D上 设为 O 同理可得 三质点系重心在 C F和 B E上 从而 O 也在 C F 和 B E上 即 A D B E C F 交于一点 O 有关类 似的问题还有很多 例如 有关路线最短问题可当物 理学中光学原则进行类比 类比实际上是从特殊到特殊的推理 它是创造性 比较强而可靠性比较弱的一种思维方法 因此 即使 类比对象有某些相同或相似的属性 由类比所得的结 论也还只是一种猜测 还需通过论证加之肯定或否 定 因此 从本质上说 类比是一种发现的方法 是一 种创造性思维 而不能简单地说是一种论证的方法 或者说是一种模仿方法 类比在数学研究及数学教学 中都有其重要作用 在解决数学问题上 不论是对命 题本身或解题的思路与方法 它都是启迪思维 产生 猜测 获得命题的推广和引伸的原动力 因此类比的 思维方法既是数学学习的重要方法 也是数学发现的 有效方法 在教学中注重运用类比方法对培养学生能 力是大有好处的 参考文献 1 周春荔 数学观与方法论 M 北京 首都师范大学出版 社 1 9 9 6 2 常庚哲 李炯生 高中数学竞赛教程 M 南京 江苏教育 出版社 1 9 9 1 3 汪江松 高中数学解题与技巧 M 武汉 湖北教育出版 社 1 9 9 5 4 陈质坚 一道极值问题的探讨 数学竞赛 1 9 A 长沙 湖 南教育出版社 1 9 9 3 责任编辑 萧振纲 A n a l o g yi nMi d d l eS c h o o l Ma t h e ma t i c sT e a c h i n g C H E NZ h i j i a n P i n g j i a n gN o 1M i d d l eS c h o o l o f H u n a n P i n g j i a n g H u n a n4 1 4 0 0 0 C h i n a A b s t r a c t Wi t ht h eu s eo fa n a l o g yi nm a t h e m a t i c st e a c h i n g s e e k i n gp r o b l e m s o l v i n gi d e a s l e a d i n g t on e wk n o w l e d g e t h ep r o m o t i o na n de