高三数学重点知识解析 参数取值题型与分析教案

用心 爱心 专心1 参数取值参数取值 参数取值问题的探讨 一 一 若在等式或不等式中出现两个变量 其中一个变量的范围已知 另一个变量的范 围 为所求 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边 则可将恒成 立问题转化成函数的最值问题求解 例例 1 1 已知当 x R 时 不等式 a cos2x 5 4sinx 45 a恒成立 求实数 a 的取值 范 围 分析分析 在不等式中含有两个变量 a 及 x 其中 x 的范围已知 x R 另一变量 a 的范 围即为所求 故可考虑将 a 及 x 分离 解解 原不等式即 4sinx cos2x3 即45 a a 2 上式等价于 2 2 45 045 02 aa a a 或 045 02 a a 解得 5 4 a 8 说明说明 注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x 而 cos2x 1 2sin2x 故若把 sinx 换元成 t 则 可把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型 另解另解 a cos2x 5 4sinx 45 a即 a 1 2sin2x0 t 1 1 恒成立 设 f t 2t2 4t 4 a 45 a则二次函数的对称轴为 t 1 f x 在 1 1 内单调递减 只需 f 1 0 即45 a a 2 下同 例例 2 2 已知函数 f x 在定义域 1 上是减函数 问是否存在实数 k 使不等式 f k sinx f k2 sin2x 对一切实数 x 恒成立 并说明理由 分析分析 由单调性与定义域 原不等式等价于 k sinx k2 sin2x 1 对于任意 x R 恒 成 立 这又等价于 2 2 1 sin 4 1 1 sin1 22 22 xkk xk 对于任意 x R 恒成立 不等式 1 对任意 x R 恒成立的充要条件是 k2 1 sin2x min 1 即 1 k 1 3 不等式 2 对任意 x R 恒成立的充要条件是 k2 k 4 1 sinx 2 1 2 max 4 9 即 k 1 或 k 2 4 用心 爱心 专心2 由 3 4 求交集 得 k 1 故存在 k 1 适合题设条件 说明说明 抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号 例例 3 3 设直线l过点 P 0 3 和椭圆 xy 22 94 1 顺次交于 A B 两点 试求 AP PB 的 取值范围 分析分析 本题中 绝大多数同学不难得到 AP PB B A x x 但从此后却一筹莫展 问题的 根源在于对题目的整体把握不够 事实上 所谓求取值范围 不外乎两条路 其一是 构 造所求变量关于某个 或某几个 参数的函数关系式 或方程 这只需利用对应的思 想实施 其二则是构造关于所求量的一个不等关系 思路思路 1 1 从第一条想法入手 AP PB B A x x 已经是一个关系式 但由于有两个变量 BA xx 同时这两个变量的范围不好控制 所以自然想到利用第 3 个变量 直线AB 的斜率k 问题就转化为如何将 BA xx 转化为关于k的表达式 到此为止 将直线方 程 代入椭圆方程 消去 y 得出关于x的一元二次方程 其求根公式呼之欲出 解解 1 1 当直线l垂直于 x 轴时 可求得 5 1 PB AP 当l与 x 轴不垂直时 设 2211 yxByxA 直线l的方程为 3 kxy 代入椭 圆方程 消去y得 0455449 22 kxxk 解之得 49 59627 2 2 2 1 k kk x 所求量的取值范围 把直线 l 的方程 y kx 3 代入椭圆方程 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 xA f k xB g k 得到所求量关于 k 的函数关系式 求根公式 AP PB xA xB 由判别式得出 k 的取值范围 用心 爱心 专心3 因为椭圆关于 y 轴对称 点 P 在 y 轴上 所以只需考虑0 k的情形 当0 k时 49 59627 2 2 1 k kk x 49 59627 2 2 2 k kk x 所以 2 1 x x PB AP 5929 5929 2 2 kk kk 5929 18 1 2 kk k 2 5 929 18 1 k 由 049180 54 22 kk 解得 9 5 2 k 所以 5 1 5 929 18 11 2 k 综上 5 1 1 PB AP 思路思路 2 2 如果想构造关于所求量的不等式 则应该考虑到 判别式往往是产生不等的 根 源 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围 于是问题转化为如何将所求量 与 k 联系起来 一般来说 韦达定理总是充当这种问题的桥梁 但本题无法直接应用 韦达定理 原因在于 2 1 x x PB AP 不是关于 21 x x的对称关系式 原因找到后 解决问 题的方法自然也就有了 即我们可以构造关于 21 x x的对称关系式 解解 2 2 设直线l的方程为 3 kxy 代入椭圆方程 消去y得 把直线 l 的方程 y kx 3 代入椭圆方程 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 xA xB f k xA xB g k 构造所求量与 k 的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP PB xA xB 由判别式得出 k 的取值范围 用心 爱心 专心4 0455449 22 kxxk 则 49 45 49 54 2 21 2 21 k xx k k xx 令 2 1 x x 则 2045 324 2 1 2 2 k k 在 中 由判别式 0 可得 9 5 2 k 从而有 5 36 2045 324 4 2 2 k k 所以 5 36 2 1 4 解得5 5 1 结合10 得1 5 1 综上 5 1 1 PB AP 说明说明 范围问题不等关系的建立途径多多 诸如判别式法 均值不等式法 变量的有 界性法 函数的性质法 数形结合法等等 本题也可从数形结合的角度入手 给出又一优 美解法 二 直接根据图像判断二 直接根据图像判断 若把等式或不等式进行合理的变形后 能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图 象 则可以通过画图直接判断得出结果 尤其对于选择题 填空题这种方法更显方便 快 捷 例例 4 4 已知长方形四个顶点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 和 D 0 1 一质点从 AB 的中点 P 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1后 依次反射到 CD DA 和 AB 上的 点 P2 P3和 P4 入射角等于反射角 设 P4的坐标为 x4 0 若 1 x4 2 则tan 的取 值范围是 A 1 3 1 B 3 2 3 1 C 2 1 5 2 D 3 2 5 2 用心 爱心 专心5 分析分析 高中数学课程标准 提倡让学生自 主探索 动手实践 并主张在高中学课程设立 数学探究 学习活动 本题可以尝试用特殊位 置来解 不妨设 4 P与 AB 的中点P重合 如图 1 所示 则P1 P2 P3分别是线段BC CD DA的 中点 所以 1 tan 2 由于在四个选择支中只 有C含有 1 2 故选C 当然 本题也可以利用对称的方法将 折线 问题转化成 直线 问题来直接求解 如 图 2 所示 说明说明 由本题可见 探索猜想在数学学习中的地位 这也是选择题的应有特点 例例 5 5 当 x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax 恒成立 求 a 的取值范围 分析 分析 若将不等号两边分别设成两个函数 则左边为二次函数 图象是抛物线 右边为 常见的对数函数的图象 故可以通过图象求解 解解 设 y1 x 1 2 y2 logax 则 y1的图象为右图所示的抛物线 要使对一切 x 1 2 y11 并且必须也只需当 x 2 时 y2的函数值大于等于 y1的函数值 故 loga2 1 a 1 10 则根据函 数的图象 直线 可得上述结论等价于 0 0 mf a 或 0 0 nf a 亦可合并定成 0 0 nf mf 同理 若在 m n 内恒有 f x 2p x 恒成立的 x 的取值范围 分析分析 在不等式中出现了两个字母 x 及 P 关键在于该把哪个字母看成是一个变量 另 一个作为常数 显然可将 p 视作自变量 则上述问题即可转化为在 2 2 内 关 于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题 略解略解 不等式即 x 1 p x2 2x 1 0 设 f p x 1 p x2 2x 1 则 f p 在 2 2 上恒大 于 0 故有 2 0 2 f f 即 01 034 2 2 x xx 解得 11 13 xx xx 或 或 x3 例例 8 8 设 f x x2 2ax 2 当 x 1 时 都有 f x a 恒成立 求 a 的取值范围 分析分析 题目中要证明 f x a 恒成立 若把 a 移到等号的左边 则把原题转化成左边 二 次函数在区间 1 时恒大于 0 的问题 解解 设 F x f x a x2 2ax 2 a 当 4 a 1 a 2 0 时 即 2 a0 则原方程有解即方程 t2 4 a t 4 0 有正根 04 0 4 0 21 21 xx axx 即 4 016 4 2 a a 4 80 a aa或 解得 a 8 解法解法 2 2 利用根与系数的分布知识 即要求 t2 4 a t 0 有正根 设 f x t2 4 a t 4 10 0 即 4 a 2 16 0 a 0 或 a 8 a 0 时 f x t 2 2 0 得 t 20 符合题意 a 8 20 0 即 a0 时 f 0 4 0 故只需对称轴0 2 4 a 即 a 4 a0 y 0 x y Z 计年利润为 s 那么 s 3x 6y 2 4x 4y 即 s 0 6x 2y 作出不等式表示的平面区域 问题转化为求直线 0 6x 2x s 0 截距的最大值 过点 A 作 0 6x 2y 0 的平行线即可求出 s 的最大值 联立 12005828 30 yx yx 得 A 18 12 将 x 18 y 12 代入 s 0 6x 2y 求得 Smax 34 8 设经过 n 年可收回投资 则 11 6 23 2 34 8 n 2 1200 可得 n 33 5 学校规模初中 18 个班级 高中 12 个班级 第一年初中招生 6 个班 300 人 高中招生 4 个班 160 人 从第三年开始年利润 34 8 万元 大约经过 36 年可以收回全部投资 说明说明 本题的背景材料是投资办教育 拟定一份计划书 本题是计划书中的部分内容 要求运用数形结合思想 解析几何知识和数据处理的综合能力 通过计算可知 投资教育 主要是社会效益 提高整个民族的素质 经济效益不明显 强化训练强化训练 1 南京市质量检测试题 若对n个向量 n aaa 21 存在n个不全为零的实数 n kkk 21 使得 0 2211 nna kakak 成立 则称向量 n aaa 21 为 线性相 关 依此规定 能说明 1 1 0 a 2 1 1 a 3 2 2 a 线性相关 的实数 321 kkk 依次可以取 写出一组数值即可 不必考虑所有情况 2 2 已知双曲线1 22 22 xy C 直线l过点 0 2A 斜率为k 当10 k时 双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线l的距离为2 试求k的值及此时点 B 的坐标 3 3 设函数 f x 2x 1 2 x 1 x R 若当 0 2 时 f cos2 2msin f 2m 2 0 恒成立 求实数 m 的取值范围 4 已知关于 x 的方程 lg x 2 20 x lg 8x 6a 3 0 有唯一解 求实数 a 的取值范 围 用心 爱心 专心14 5 试就k的不同取值 讨论方程 22 2 6 6 2 kxk yk k 所表示的曲线形 状 并指出其焦点坐标 6 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机 由于这两种产品的市场 需 求量非常大 有多少就能销售多少 因此该公司要根据实际情况 如资金 劳动力 确定产品的月供应量 以使得总利润达到最大 已知对这两种产品有直接限制的因 素 是资金和劳动力 通过调查 得到关于这两种产品的有关数据如下表 单位产品所需资金 百元 资金 空调机洗衣机月资金供应量 百元 成本 3020300 劳动力 工资 510110 单位利润 68 试问 怎样确定两种货物的月供应量 才能使总利润达到最大 最大利润是多少 7 某校伙食长期以面粉和大米为主食 而面食每 100 克含蛋白质 6 个单位 含淀粉 4 个 单 位 售价 0 5 元 米食每 100 克含蛋白质 3 个单位 含淀粉 7 个单位 售价 0 4 元 学 校要求给学生配制盒饭 每盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉 问应如 何配制盒饭 才既科学又费用最少 8 发电厂主控室的表盘 高 m 米 表盘底边距地面 n 米 问值班人员坐在什么位 置上 看得最清楚 值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为 1 2 米 9 某养鸡厂想筑一个面积为 144 平方米的长方形围栏 围栏一边靠墙 现有 50 米铁丝网 筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网 已有的墙最多利用多长 最少利用多长 参考答案 参考答案 分析分析 本题将高等代数中n维向量空间的线形相关的定义 移植到平面向量中 用心 爱心 专心15 定 义了n个平面向量线性相关 在解题过程中 首先应该依据定义 得到 112233 0k ak ak a 即 123 1 0 1 1 2 2 0kkk 于是 12323 2 2 0kkkkk 所以 123 23 20 20 kkk kk 即 13 23 4 2 kk kk 则 123 4 2 1kkk 所以 123 k k k 的值依次可取 4 2 cc c c是不等于零的任意实 数 2 2 分析 分析 1 1 解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科 因此 数形结合必然 是研究解析几何问题的重要手段 从 有且仅有 这个微观入手 对照草图 不难想到 过点 B 作与l平行的直线 必与双曲线 C 相切 而相切的代数表现形式是所构造方程的判 别式0 由此出发 可设计如下解题思路 10 2 kxkyl kkkxyl22 2 2 的值解得k 解题过程略 分析分析 2 2 如果从代数推理的角度去思考 就应当把距离用代数式表达 即所谓 有且 仅 有一点 B 到直线l的距离为2 相当于化归的方程有唯一解 据此设计出如下解题思 路 解解 设点 2 2 xxM 为双曲线 C 上支上任一点 则点 M 到直线l的距离为 2 1 22 2 2 k kxkx 10 k 于是 问题即可转化为如上关于x的方程 把直线 l 的方程代入双曲线方程 消去 y 令判别式0 直线 l 在 l 的上方且到直线 l 的距离为2 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于 x 的方程有唯一解 102 1 22 2 2 k k kxkx 用心 爱心 专心16 由于10 k 所以kxxx 2 2 从而有 2222 22 kxkxkxkx 于是关于x的方程 1 222 22 kkxkx 02 1 2 2 1 2 2 2 22 2 2 kxkk kxkkx 0 2 1 2 022 1 22 1 221 2 2 2222 kxkk kkxkkkxk 由10 k可知 方程 022 1 22 1 221 2 2222 kkxkkkxk的二根同正 故02 1 2 2 kxkk恒成立 于是 等价于 022 1 22 1 221 2 2222 kkxkkkxk 由如上关于x的方程有唯一解 得其判别式0 就可解得 5 52 k 说明说明 上述解法紧扣解题目标 不断进行问题转换 充分体现了全局观念与整体思维 的 优越性 3 3 分析与解 分析与解 从不等式分析入手 易知首先需要判断 f x 的奇偶性和单调性 不难 证 明 在 R 上 f x 是奇函数和增函数 由此解出 cos2 2msin sin0 t 0 1 恒成立时 求实数 m 的取值范围 接下来 设 g t t2 2mt 2m 1 按对称轴 t m 与区间 0 1 的位置关系 分类使 g t min 0 综合求得 m 1 2 本题也可以用函数思想处理 将 化为 2m 1 t t2 1 t 0 1 当 t 1 时 m R 当 0 th t 2 1 t t 1 2 由函数 F u u u 2 在 1 1 上是减 函数 易知当 t 0 时 h x max 1 m 1 2 综合 1 2 知 m 2 1 说明说明 本题涉及函数的奇偶性 单调性 二次函数的条件极值 不等式等知识 以及用 函数的思想 数形结合 分类讨论 转化和化归的思想方法解题 是综合性较强的一道好 题 用心 爱心 专心17 4 4 分析 分析 方程可转化成 lg x2 20 x lg 8x 6a 3 从 而得 x2 20 x 8x 6a 3 0 注意到若将等号两边看成是二次 函数 y x2 20 x 及一次函数 y 8x 6a 3 则只需考虑这两 个 函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可 解解 令 y1 x2 20 x x 10 2 100 y2 8x 6a 3 则 如图所示 y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是一条斜 率为定值 8 而截距不定的直线 要使 y1和 y2在 x 轴上有 唯一交点 则直线必须位于 l1和 l2之间 包括 l1但不包 括 l2 当直线为 l1时 直线过点 20 0 此时纵截距为 6a 3 160 a 6 163 当直线为 l2时 直线过点 0 0 纵截距为 6a 3 0 a 2 1 a 的范围为 6 163 2 1 5 5 解 解 1 当2k 时 方程化为0y 表示x轴 2 当6k 时 方程化为0 x 表示y轴 3 当2 6k 时 方程为标准形式 22 1 62 xy kk 当624kkk 时 方程化为 22 2xy 表示以原点为圆心 2为半 径 的圆 当2k 时 方程 表示焦点在x轴上的双曲线 焦点为 82 0 k 当24k 时 方程 表示焦点在x轴上的椭圆 焦点为 82 0 k 当46k 时 方程 表示焦点在y轴上的椭圆 焦点为 0 28 k 当6k 时 方程 表示焦点在y轴上的双曲线 焦点为 0 28 k 6 解 设空调机 洗衣机的月供应量分别是 x y 台 总利润是 P 则 P 6x 8y 由题意 30 x 20y 300 5x 10y 110 x 0 y 0 x y 均为整数 画图知直线 y 3 4x 1 8P 过 M 4 9 时 纵截距最大 这时 P 也取最大值 Pmax 6 4 8 9 9