2012高考数学知识考点精析14 三角函数的概念、诱导公式与二倍解公式

1 第十四讲三角函数的概念 诱导公式与二倍解公式第十四讲三角函数的概念 诱导公式与二倍解公式 1 象限角与轴线角 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限的角 如果角的终边在 坐标轴上 就认为这个角不属于任何象限 称为轴线角 第一 二 三 四象限角分别可 表示为 0000000 0000000 36090360 90360180360 180360270360 2703603601 kk kZkk kZ kk kZkkkZ 角终边在 x 轴的非负半轴上时可表示为 360 k k Z 角终边在 y 轴的非负半 轴上时可表示为 360 k 90 k Z 在 x 轴的非正方向上 在 y 轴的非正方向上可类 似表示 2 终边相同的角的表示 即任一与角终边相同的 0 360 SkkZ 角 都可以表成角与整数个周角的和 任意两个终边相同的角之差必是 360 的整数倍 相等的角的终边一定相同 终边相同的角不一定相等 已知是第几象限的角 如何确定所在象限的角的常用方法有二 1 分类 nN n 讨论法 先根据的范围用整数 k 把的范围表示出来 再对 k 分 n 种情况讨论 nN n 2 几何法 把各象限均先 n 等分 再从 x 轴的正方向的上方起 依次将各区域标上 则原来是第几象限对应的标号即为的终边所在的区域 nN n 3 角度制与弧度制的换算 00 0 00 180 10 01745 180 180 157 357 18 radradrad rad 弧度制下的弧长与扇形面积计算公式 2 11 22 lrSlrr 注 在同一个代数式中弧度制与角度制不能同时出现 如 是错误的 0 245kkZ 4 任意角的三角函数的定义 设是任意一个角 的终边上任意一点 P 的坐标是 x y 它与原点的距离是 那么 22 0rxy sin cos tan 0 cot0 sec0 csc0 yxy x rrx xrr yxy yxy 正割余割 5 象限角的三角函数符号 一全正 二正弦 三两切 四余弦 根据三角函数线分析各象限的区间内各三角函数的单调性 正弦一 四增 二 三减 余弦 三 四增 一 二减 正切只有增区间 余切只有减区间 强调象限的区间内 区间内 2 5 12 sincos22 44 3 3 tancot 424 kk kkkkkZ 注意 为锐角时 t ansi n 6 诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 如 33 sincos sincos cossin cossin 2222 sinsin sinsin coscos tantan xxxxxxxx xxxxxxxx sinsin cos tantan sin ttan 222222 ABcos tancot 2 ABCABCCosBACCAB ABCBACCAB SinCosCosco ABCSinABAB 中要注意 锐角中 熟记关系式 sin k 1 ksin cos k 1 kcos k Z sincoscos 444 xxx cossin 44 xx 7 同角三角函数的基本关系式 平方关系 222222 sincos1 1tansec 1 cotcsc 倒数关系 sincsc 1 cossec 1 tancot 1 商数关系 一般采用 切化弦 但已知一个角的正切值 sincos tan cot cossin 求正弦与余弦有关的代数式常采用 弦化切 8 特殊角的三角函数值 见下表 30 45 60 0 90 180 270 15 75 sin 2 1 2 2 2 3 010 1 62 4 62 4 cos 2 3 2 2 2 1 10 10 62 4 62 4 tan 3 3 1 3 00 2 32 3 3 cot 3 1 3 3 00 2 32 3 9 两角和公式 对第三式的的值使等式两边有意义 coscoscossinsin sinsincoscossin tantan tan 1tantan C S T 注意公式的变形应用如 tantantan1tantan 10 化一公式 22 sincossin tan b abab a 如 1 1 当函数取得最大值时 的值是 答 23ycos xsinx tanx 3 2 2 2 如果是奇函数 则 答 2 sin2cos f xxx tan 11 三角函数的化简 计算 证明的恒等变形的基本思路是 一角二名三结构 即首先观 察角与角之间的关系 注意角的一些常用变式如 巧变角 巧变角 如 2 2 等 222 000 22 459045 2 2 2 如 如 1 1 已知 那么的值是 答 2 tan 5 1 tan 44 tan 4 2 2 已知为锐角 则与的函 3 22 sin cosxy 3 cos 5 yx 数关系为 答 注意 隐含 y 0 2 343 1 1 555 yxxx 第二看函数名称之间的关系 通常 切化弦 第三观察代数式的结构特点 12 二倍角的正弦 余弦 正切 二倍角公式 2222 2 2 sin22sincos cos2cossin2cos11 2sin 2tan1tan tan2 cot2 1tan2tan 4 降幂公式与升幂公式 22 22 1 cos2 cos1 cos22cos 2 1 cos2 sin 1 cos22sin 2 半角公式 1 cos 22 cos 2 1 cos 22 在第一 四象限 在第二象限 第三象限