【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第7单元 7-7 空间向量的坐标运算随堂训练 理 新人教A版

用心 爱心 专心 7 77 7 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 一 选择题一 选择题 1 1 已知 已知 ABCDABCD 且 且A A 4 1 3 4 1 3 B B 2 2 5 1 5 1 C C 3 7 3 7 5 5 则顶点 则顶点D D的坐标为的坐标为 A A 4 4 1 1 B B 2 3 1 2 3 1 C C 3 1 5 3 1 5 D D 5 13 5 13 3 3 7 7 2 2 解析 解析 设 设 x x y y z z 则 则 7 8 7 8 2 2 x x 2 2 y y 5 5 z z 1 1 x x 5 5 y y 1313 z z 3 3 即 即 5 13 5 13 3 3 答案 答案 D D 2 2 已知 已知 ABCABC的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为A A 2 3 1 2 3 1 B B 4 1 4 1 2 2 C C 6 3 7 6 3 7 则 则 ABCABC的重的重 心坐标为心坐标为 A A 6 6 3 3 B B 4 4 2 2 C C 8 8 4 4 D D 2 2 1 1 7 7 2 2 7 7 3 3 1 14 4 3 3 7 7 6 6 解析 解析 ABCABC的重心坐标为的重心坐标为x x 4 4 y y z z 2 2 2 2 4 4 6 6 3 3 3 3 1 1 3 3 3 3 7 7 3 3 1 1 2 2 7 7 3 3 答案 答案 B B 3 3 若向量 若向量a a 1 1 2 2 b b 2 2 1 2 1 2 cos cos a a b b 则 则 等于等于 8 8 9 9 A A 2 2 B B 2 2 C C 2 2 或或 D D 2 2 或 或 2 2 5 55 5 2 2 5 55 5 解析 解析 a a b b 3 3 a a b b 6 6 根据已知条件 根据已知条件 解得 解得 2 2 5 5 6 6 3 3 2 2 5 5 8 8 9 9 2 2 或或 2 2 5 55 5 答案 答案 C C 4 4 已知两空间向量已知两空间向量a a 2 2 coscos sinsin b b sin sin 2 2 coscos 则 则a a b b与与 a a b b的夹角为的夹角为 A A 30 30 B B 45 45 C C 60 60 D D 90 90 解析 解析 a a b b a a b b a a2 2 b b2 2 0 0 a a b b a a b b 90 90 答案 答案 D D 二 填空题二 填空题 5 5 与 与A A 1 2 3 1 2 3 B B 0 0 5 0 0 5 两点距离相等的点满足的等式为两点距离相等的点满足的等式为 解析 设到解析 设到A A B B两点距离相等的点为两点距离相等的点为P P x x y y z z 由 由 PAPA PBPB 即即 x x 1 1 2 2 y y 2 2 2 2 z z 3 3 2 2 x x2 2 y y2 2 z z 5 5 2 2 整理得 整理得 2 2x x 4 4y y 4 4z z 1111 0 0 用心 爱心 专心 答案 答案 2 2x x 4 4y y 4 4z z 1111 0 0 6 6 已知向量 已知向量a a 1 2 3 1 2 3 b b 1 1 1 1 1 1 则向量 则向量a a在向量在向量b b方向上的投影为方向上的投影为 解析 解析 b b a a 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 则 则a a在向量在向量b b上的投影为上的投影为 1 1 b b 1 1 3 3 4 4 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 答案 答案 4 4 3 3 3 3 7 7 已知 已知a a 2 2 1 2 1 2 b b 2 2 1 2 2 1 则以 则以a a b b为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为 解析 解析 a a 3 3 b b 3 3 a a b b 2 22 2 1 1 2 22 2 1 1 2 2 2 22 22 22 2 2 22 2 1 12 2 2 2 2 12 1 4 4 cos cos a a b b sin sin a a b b S S平行四边形 平行四边形 a a b b sin sin a a b b a a b b a a b b 4 4 9 9 6 65 5 9 9 6 65 5 答案 答案 6 65 5 三 解答题三 解答题 8 8 如右图 在四棱锥 如右图 在四棱锥P P ABCDABCD中 底面中 底面ABCDABCD为矩形 侧棱为矩形 侧棱PAPA 底面底面ABCDABCD ABAB BCBC 1 1 PAPA 2 2 E E为为PDPD的中点 的中点 3 3 1 1 求直线求直线ACAC与与PBPB所成角的余弦值 所成角的余弦值 2 2 在侧面在侧面PABPAB内找一点内找一点N N 使 使NENE 面面PACPAC 并求出 并求出N N点到点到ABAB和和APAP的距离 的距离 解答 解答 1 1 如右图 建立直角坐标系如右图 建立直角坐标系A A xyzxyz 则 则P P 0 0 2 0 0 2 B B 0 0 0 0 C C 1 0 1 0 3 33 3 1 0 1 0 0 0 2 2 cos cos 3 33 3 3 3 7 7 1 14 4 则直线则直线ACAC与与PBPB所成角的余弦值为所成角的余弦值为 3 3 7 7 1 14 4 2 2 设设N N x x 0 0 z z 又又E E 0 0 1 1 x x z z 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 由由 0 0 得 得 2 2 z z 1 1 0 0 由 由 0 0 得 得 x x 0 0 解得 解得 3 3 1 1 2 2 x x z z 1 1 3 3 6 6 用心 爱心 专心 因此因此N N点到点到ABAB和和APAP的距离分别为的距离分别为 1 1 3 3 6 6 9 9 如右图 点如右图 点P P E E F F在矩形在矩形ABCDABCD所在平面外 所在平面外 PCPC 平面平面ABCDABCD于于C C EBEB 平面平面ABCDABCD于于 B B FDFD 平面平面ABCDABCD于于D D ABAB 4 4 BCBC 2 2 PCPC 6 6 BEBE DFDF且四边形且四边形AEPFAEPF是平行四边是平行四边 形 形 1 1 建立适当坐标系 求点建立适当坐标系 求点E E F F的坐标 的坐标 2 2 求平面求平面AEPFAEPF与平面与平面PEBCPEBC所成的二面角所成的二面角 锐角锐角 的大小 的大小 解答 如右图 建立空间直角坐标系 解答 如右图 建立空间直角坐标系 1 1 P P 0 0 6 0 0 6 A A 4 2 0 4 2 0 设 设BEBE DFDF m m 则 则E E 0 2 0 2 m m F F 4 4 0 0 m m 0 0 6 0 0 6 0 2 0 2 m m 0 0 2 62 6 m m 4 0 4 0 m m 4 2 0 4 2 0 0 0 2 2 m m 四边形四边形AEPFAEPF是平行四边形 是平行四边形 6 6 m m m m 即 即m m 3 3 E E 0 2 3 0 2 3 F F 4 0 3 4 0 3 2 2 0 0 2 3 2 3 0 2 3 0 2 3 4 2 0 4 2 0 4 0 3 4 0 3 设平面 设平面AEPFAEPF的法向量的法向量 n n1 1 x x y y z z n n1 1 x x y y z z 0 0 2 3 2 3 0 0 即 即 2 2y y 3 3z z 0 0 n n1 1 x x y y z z 4 0 3 4 0 3 0 0 即 即 4 4x x 3 3z z 0 0 令令z z 4 4 得得y y 6 6 x x 3 3 n n1 1 3 6 4 3 6 4 显然平面 显然平面PEBCPEBC的法向量的法向量n n2 2 1 0 0 1 0 0 n n1 1 n n2 2 3 6 4 1 0 0 3 6 4 1 0 0 3 3 n n1 1 n n2 2 1 1 6 62 2 4 42 2 3 32 26 61 1 cos cos n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 3 3 6 61 1 3 3 6 61 1 6 61 1 平面平面AEPFAEPF与平面与平面PEBCPEBC所成的二面角所成的二面角 锐角锐角 的大小是的大小是 arccosarccos 3 3 6 61 1 6 61 1 1010 如右图 已知长方体 如右图 已知长方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 ABAB 2 2 AAAA1 1 1 1 直线 直线BDBD与平面与平面AAAA1 1B B1 1B B所成的所成的 角为角为 30 30 AEAE垂直垂直BDBD于于E E F F为为A A1 1B B1 1的中点 的中点 用心 爱心 专心 1 1 求异面直线求异面直线AEAE与与BFBF所成的角 所成的角 2 2 求平面求平面BDFBDF与平面与平面AAAA1 1B B所成二面角所成二面角 锐角锐角 的大小 的大小 3 3 求点求点A A到平面到平面BDFBDF的距离 的距离 解答 在长方体解答 在长方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 以中 以ABAB所在直线为所在直线为x x轴 轴 ADAD所在直线为所在直线为y y轴 轴 AAAA1 1 所在直线为所在直线为z z轴建立空间直角坐标系如右图 轴建立空间直角坐标系如右图 由已知由已知ABAB 2 2 AAAA1 1 1 1 可得 可得A A 0 0 0 0 0 0 B B 2 0 0 2 0 0 F F 1 0 1 1 0 1 又又ADAD 平面平面AAAA1 1B B1 1B B 从而 从而BDBD与平面与平面AAAA1 1B B1 1B B所成的角即为所成的角即为 DBADBA 30 30 又又ABAB 2 2 AEAE BDBD AEAE 1 1 ADAD 2 2 3 3 3 3 从而易得从而易得E E 0 0 D D 0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 即异面直线即异面直线AEAE BFBF所成的角为所成的角为 arccosarccos 2 2 4 4 2 2 易知平面易知平面AAAA1 1B B的一个法向量的一个法向量m m 0 1 0 0 1 0 设 设n n x x y y z z 是平面是平面BDFBDF的一个法向的一个法向 量 量 2 2 0 0 由 由 Error Error 2 2 3 3 3 3 取取n n 1 1 1 1 cos cos m m n n 3 3 m m n n m m n n 3 3 1 1 5 5 1 15 5 5 5 即平面即平面BDFBDF与平面与平面AAAA1 1B B所成二面角所成二面角 锐角锐角 大小为大小为 arccosarccos 1 15 5 5 5 3 3 点点A A到平面到平面BDFBDF的距离 即的距离 即ABAB在平面在平面BDFBDF的法向量的法向量n n上的投影的绝对值 上的投影的绝对值 所以距离所以距离d d cos cos n n 2 2 5 5 2 2 5 5 5 5 所以点所以点A A到平面到平面BDFBDF的距离为的距离为 2 2 5 5 5 5 1 1 已知空间三点已知空间三点A A 0 2 3 0 2 3 B B 2 1 6 2 1 6 C C 1 1 1 5 1 5 若 若 a a 且 且a a分别与分别与ABAB ACAC 3 3 用心 爱心 专心 垂直 则向量垂直 则向量a a为为 A A 1 1 1 1 1 1 B B 1 1 1 1 1 1 C C 1 1 1 1 1 1 或或 1 1 1 1 1 1 D D 1 1 1 1 1 1 或或 1 11 1 1 1 解析 由已条件解析 由已条件 2 2 1 3 1 3 1 1 3 2 3 2 可观察出 可观察出a a 1 1 1 1 1 1 答案 答案 C C 2 2 已知 在右图所示的几何体 已知 在右图所示的几何体ABCEDABCED中 中 ECEC 面面ABCABC DBDB 面面 ABCABC CECE CACA CBCB 2 2DBDB ACBACB 90 90 M M为为ADAD的中点 的中点 1 1 证明 证明 EMEM ABAB 2 2 求直线求直线BMBM和平面和平面ADEADE所成角的大小 所成角的大小 解答 解法一 解答 解法一 1 1 如右图 以如右图 以C C为原点 为原点 CACA CBCB CECE所在的直线分别为所在的直线分别为x x y y z z轴建轴建 立空间直角坐标系 立空间直角坐标系 不妨设不妨设BDBD 1 1 则 则E E 0 0 2 0 0 2 A A 2 0 0 2 0 0 D D 0 2 1 0 2 1 B B 0 2 0 0 2 0 由 由M M是是ADAD的中点 得的中点 得 M M 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 0 2 2 0 3 3 2 2 0 0 得 得 2 2 2 2 1 2 2 1 2 0 2 2 0 2 设面 设面ADEADE的法向量的法向量n n x x y y z z 由由ADAD n n 0 0 n n 0 0 易求平面易求平面ADEADE的一个法向