高中数学《排列与组合-排列》学案6 新人教A版选修2-3

用心 爱心 专心 1 排排 列列 学习目的 理解排列 排列数的概念 了解排列数公式的推导 能用 树型图 写出一个 排列中所有的排列 能用排列数公式计算 学习重点 排列 排列数的概念 学习难点 排列数公式的推导 一 问题情景 问题 1 从甲 乙 丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动 其中一名同 学参加上午的活动 一名同学参加下午的活动 有多少种不同的方法 分析 这个问题就是从甲 乙 丙 3 名同学中每次选取 2 名同学 按照参加上午的活动 在前 参加下午活动在后的顺序排列 一共有多少种不同的排法的问题 共有 6 种不同的排 法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 其中被取的对象叫做元素 问题 2 从 a b c d 这四个字母中 每次取出 3 个按顺序排成一列 共有多少种不同的 排法 分析 解决这个问题分三个步骤 第一步先确定左边的字母 在 4 个字母中任取 1 个 有 4 种方法 第二步确定中间的字母 从余下的 3 个字母中取 有 3 种方法 第三步确定右 边的字母 从余下的 2 个字母中取 有 2 种方法 由分步计数原理共有 4 3 2 24 种不同的方法 用树型图排出 并写出所有的排列由此可 写出所有的排法 二 数学构建 1 排列的概念 从n个不同元素中 任取m m n 个元素 这里的被取元素各不 相同 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 说明 1 排列的定义包括两个方面 取出元素 按一定的顺序排列 2 两个排列相同的条件 元素完全相同 元素的排列顺序也相同 2 排列数的定义 从n个不同元素中 任取m m n 个元素的所有排列的个数叫 做从n个元素中取出m元素的排列数 用符号 m n A 表示 注意区别排列和排列数的不同 一个排列 是指 从 n个 不同元素中 任取m个元素按照一定的顺序排成一列 不是数 排列数 是指从n个不同元素中 任取m m n 个元素 的所有排列的个数 是一个数所以符号 m n A 只表示排列数 而不 表示具体的排列 3 排列数公式及其推导 由 2 n A 的意义 假定有排好顺序的 2 个空位 从n个元素 12 n a aa 中任取 2 个元素去填空 一个空位填一个元素 每一种填法就得到一个排列 反 用心 爱心 专心 2 过来 任一个排列总可以由这样的一种填法得到 因此 所有不同的填法的种数就是排列数 2 n A 由分步计数原理完成上述填空共有 1 n n 种填法 2 n A 1 n n 由此 求 3 n A 可以按依次填 3 个空位来考虑 3 n A 1 2 n nn 求 m n A 以按依次填m个空位来考虑 1 2 1 m n An nnnm 得排列数公式如 下 1 2 1 m n An nnnm m nNmn 说明 1 公式特征 第一个因数是n 后面每一个因数比它前面一个少 1 最后一个因数是 1nm 共有m个因数 2 全排列 当n m 时即n个不同元素全部取出的一个排列 全排列数公式如下 1 2 2 1 n n An nnn 叫做 n 的阶乘 4 阶乘的概念 n个不同元素全部取出的一个排列 叫做n个不同元素的一个全排列 这时 1 2 3 2 1 n n An nn 把正整数 1 到n的连乘积 叫做n的阶乘表示 n 即 n n A n 规定0 1 5 排列数的另一个计算公式 1 2 1 m n An nnnm 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 n nnnmnm nm nm n nm 即 m n A n nm 三 知识运用 例 1 计算 1 3 16 A 2 6 6 A 3 4 6 A 解 1 3 16 A 16 15 14 3360 2 6 6 A 6 720 3 4 6 A 6 5 4 3 360 例 2 1 若 17 16 155 4 m n A 则n m 2 若 nN 则 55 56 68 69 nnnn 用排列数符号表示为 解 1 n 17 m 14 用心 爱心 专心 3 2 若 nN 则 55 56 68 69 nnnn 15 69 n A 例 3 1 从2 3 5 7 11这五个数字中 任取 2 个数字组成分数 不同值的分数共有多少 个 2 5 人站成一排照相 共有多少种不同的站法 3 某年全国足球甲级 A 组 联 赛共有 14 队参加 每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次 共进行多少场比赛 解 1 2 5 5 420A 2 5 5 5 4 3 2 1120A 3 2 14 14 13182A 例 4 计算 6 6 24 810 8 A AA 1 1 1 n m m Amn 解 原式 8 7 6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1 8 7 10 9 8 7 57 6 5 4 3 25130 56 89 623 原式 1 1 1 m m mn mn 例 5 解方程 3 322 1 26 xxx AAA 解 由排列数公式得 3 1 2 2 1 6 1 x xxxxx x 3x 3 1 2 2 1 6 1 xxxx 即 2 317100 xx 解得 5x 或 2 3 x 3x 且x N 原方程的解为 5x 例 6 解不等式 2 99 6 xx AA 解 原不等式即 9 9 6 9 11 xx 也就是 16 9 11 10 9 xxxx 化简得 2 211040 xx 解得 8x 或 13x 又 2 9x 且x N 所以 原不等式的解集为 2 3 4 5 6 7 例 7 求证 1 nmn m nnn m AAA 2 2 1 3 5 21 2 n n n n 用心 爱心 专心 4 证明 1 mn m nn m n AAnmn nm n n A 原式成立 2 2 2 21 22 4 3 2 1 2 2 nn nnnn nn 2 1 2 1 21 23 3 1 2 n n nnnn n 1 3 23 21 nnn n 1 3 5 21 n 右边 原式成立 说明 1 解含排列数的方程和不等式时要注意排列数 m n A 中 m nN 且m n 这些限制条件 要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围 2 公式 1 2 1 m n An nnnm 常用来求值 特别是 m n 均为已知时 公式 m n A n nm 常用来证明或化简 例 8 化简 1231 2 3 4 n n 1 1 2 2 3 3 n n 解 原式 1111111 1 2 2 3 3 4 1 nn 1 1 n 提示 由 1 1 nnnn nn 得 1 n nnn 原式 1 1n 说明 111 1 n nnn 例 9 1 有 5 本不同的书 从中选 3 本送给 3 名同学 每人各 1 本 共有多少种不同的 送法 2 有 5 种不同的书 要买 3 本送给 3 名同学 每人各 1 本 共有多少种不同的送法 解 1 从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学 对应于从 5 个元素中任取 3 个元 素的一个排列 因此不同送法的种数是 3 5 5 4 360A 所以 共有 60 种不同的送法 2 由于有 5 种不同的书 送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法 因此送给 3 名同学 每人各 1 本书的不同方法种数是 5 5 5 125 所以 共有 125 种不同的送法 用心 爱心 专心 5 说明 本题两小题的区别在于 第 1 小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学 各人得到的书不同 属于求排列数问题 而第 2 小题中 给每人的书均可以从 5 种不同 的书中任选 1 种 各人得到那种书相互之间没有联系 要用分步计数原理进行计算 例 10 某信号兵用红 黄 蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号 每次可以任意 挂 1 面 2 面或 3 面 并且不同的顺序表示不同的信号 一共可以表示多少种不同的信号 解 分 3 类 第一类用 1 面旗表示的信号有 1 3 A 种 第二类用 2 面旗表示的信号有 2 3 A 种 第三类用 3 面旗表示的信号有 3 3 A 种 由分类计数原理 所求的信号种数是 123 333 33 23 2 115AAA 答 一共可以表示 15 种不同的信号 例 3 将4位司机 4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上 每一辆汽车分别有一位 司机和一位售票员 共有多少种不同的分配方案 分析 解决这个问题可以分为两步 第一步 把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上 即从4个不同元素中取出4个元素排成一列 有 4 4 A 种方法 第二步 把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上 也有 4 4 A 种方法 利用分步计数原理即得分配方案的种数 解 由分步计数原理 分配方案共有 44 44 576NAA 种 答 共有 576 种不同的分配方案 例 11 用 0 到 9 这 10 个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解法 1 用分步计数原理 所求的三位数的个数是 12 99 9 9 8648AA 解法 2 符合条件的三位数可以分成三类 每一位数字都不是 0 的三 位数有 3 9 A 个 个位数字是 0 的三位数有 2 9 A 个 十位数字是 0 的三位数有 2 9 A 个 由分类计数原理 符合条件的三位数的个数是 322 999 648AAA 解法 3 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列 数为 3 10 A 其中以 0 为排头的排列数为 2 9 A 因此符合条件的三位数的个数是 32 109 648AA 2 9 A 说明 解决排列应用题 常用的思考方法有直接法和间接法直接法 通过对问题进行恰当的 分类和分步 直接计算符合条件的排列数如解法 1 2 间接法 对于有限制条件的排列应用 题 可先不考虑限制条件 把所有情况的种数求出来 然后再减去不符合限制条件的情况种 数如解法 3 对于有限制条件的排列应用题 要恰当地确定分类与分步的标准 防止重复与 用心 爱心 专心 6 遗漏 例 12 1 7 位同学站成一排 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 7 个元素的全排列 7 7 A 5040 2 7 位同学站成两排 前 3 后 4 共有多少种不同的排法 解 根据分步计数原理 7 6 5 4 3 2 1 7 5040 3 7 位同学站成一排 其中甲站在中间的位置 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 余下的 6 个元素的全排列 6 6 A 720 4 7 位同学站成一排 甲 乙只能站在两端的排法共有多少种 解 根据分步计数原理 第一步 甲 乙站在两端有 2 2 A 种 第二步 余下的 5 名同学进行全排列有 5 5 A 种 所以 共有 2 2 A 5 5 A 240 种排列方法 5 7 位同学站成一排 甲 乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种 解法 1 直接法 第一步从 除去甲 乙 其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾 有 2 5 A 种方法 第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列 全排列 有 5 5 A 种方法 所以一 共有 2 5 A 5 5 A 2400 种排列方法 解法 2 排除法 若甲站在排头有 6 6 A 种方法 若乙站在排尾有 6 6 A 种方法 若甲站在排头 且乙站在排尾则有 5 5 A 种方法 所以 甲不能站在排头 乙不能排在排尾的排法共有 7 7 A 6 6 2A 5 5 A 2400 种 说明 对于 在 与 不在 的问题 常常使用 直接法 或 排除法 对某些特殊元素 可以优先考虑 例 13 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单 如果某女演员的独唱节目一定 不能排在第二个节目的位置上 则共有多少种不同的排法 解法一 从特殊位置考虑 136080 5 9 1 9 AA 解法二 从特殊元素考虑 若选 5 9 5 A 若不选 6 9 A 则共有 56 99 5136080AA 种 解法三 间接法 65 109 136080AA 例 14 7 位同学站成一排 1 甲 乙两同学必须相邻的排法共有多少种 解 先将甲 乙两位同学 捆绑 在一起看成一个元素与其余的 5 个元素 同学 一起进行 全排列有 6 6 A 种方法 再将甲 乙两个同学 松绑 进行排列有 2 2 A 种方法 所以这样的排法 一共有 62 62 1440AA 种 用心 爱心 专心 7 2 甲 乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种 解 方法同上 一共有 5 5 A 3 3 A 720 种 3 甲 乙两同学必须相邻 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种 解法一 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 因为丙不能 站在排头和排尾 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾 有 2 5 A 种方 法 将剩下的 4 个元素进行全排列有 4 4 A 种方法 最后将甲 乙两个同学 松绑 进行排列 有 2 2 A 种方法 所以这样的排法一共有 2 5 A 4 4 A 2 2 A 960 种方法 解法二 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 若丙站在排 头或排尾有 2 5 5 A 种方法 所以 丙不能站在排头和排尾的排法有 960 2 2 2 5 5 6 6 AAA 种方法 解法三 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 因为丙不能 站在排头和排尾 所以可以从其余的四个位置选择共有 1 4 A 种方法 再将其余的 5 个元素进行 全排列共有 5 5 A 种方法 最后将甲 乙两同学 松绑 所以 这样的排法一共有 1 4 A 5 5 A 2 2 A 960 种方法 4 甲 乙 丙三个同学必须站在一起 另外四个人也必须站在一起 解 将甲 乙 丙三个同学 捆绑 在一起看成一个元素 另外四个人 捆绑 在一起看成 一个元素 时一共有 2 个元素 一共有排法种数 342 342 288A A A 种 说明 对于相邻问题 常用 捆绑法 先捆后松 例 15 位同学站成一排 1 甲 乙两同学不能相邻的排法共有多少种 解法一 排除法 3600 2 2 6 6 7 7 AAA 解法二 插空法 先将其余五个同学排好有 5 5 A 种方法 此时他们留下六个位置 就称为 空 吧 再将甲 乙同学分别插入这六个位置 空 有 2 6 A 种方法 所以一共有 3600 2 6 5 5 AA 种方法 2 甲 乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种 解 先将其余四个同学排好有 4 4 A 种方法 此时他们留下五个 空 再将甲 乙和丙三个同 学分别插入这五个 空 有 3 5 A 种方法 所以一共有 4 4 A 3 5 A 1440 种 说明 对于不相邻问题 常用 插空法 特殊元素后考虑 用心 爱心 专心 8 例 16 5 男 5 女排成一排 按下列要求各有多少种排法 1 男女相间 2 女生按指 定顺序排列 解 1 先将男生排好 有 5 5 A 种排法 再将 5 名女生插在男生之间的 6 个 空挡 包括两 端 中 有 5 5 2A 种排法 故本题的排法有 55 55 228800NAA 种 2 方法 1 10 5 10 10 5 5 30240 A NA A 方法 2 设想有 10 个位置 先将男生排在其中的任意 5 个位置上 有 5 10 A 种排法 余下的 5 个位置排女生 因为女生的位置已经指定 所以她们只有一种排法 故本题的结论为 5 10 130240NA 种 四 课堂练习 一 1 四支足球队争夺冠 亚军 不同的结果有 A 8种 B 10 种 C 12 种 D 16 种 2 信号兵用 3 种不同颜色的旗子各一面 每次打出 3 面 最多能打出不同的信号有 A 3 种 B 6 种 C 1 种 D 27 种 3 kN 且 40 k 则 50 51 52 79 kkkk 用排列数符号表示为 A 50 79 k k A B 29 79 k A C 30 79 k A D 30 50 k A 4 5 人站成一排照相 甲不站在排头的排法有 A 24 种 B 72 种 C 96 种 D 120 种 5 给出下列问题 有 10 个车站 共需要准备多少种车票 有 10 个车站 共有多少中不同的票价 平面内有 10 个点 共可作出多少条不同的有向线段 有 10 个同学 假期约定每两人通电话一次 共需通话多少次 从 10 个同学中选出 2 名分别参加数学和物理竞赛 有多少中选派方法 以上问题中 属于排列问题的是 填写问题的编号 6 若 4 xxZx 5 yy yZy 则以 x y 为坐标的点共有 个 7 从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中选出 3 名进行某场比赛 并排定他们的出场顺序 有多少种不同的方法 8 从 4 种蔬菜品种中选出 3 种 分别种植在不同土质的 3 块土地上进行试验 有多少中不 同的种植方法 用心 爱心 专心 9 9 计算 1 32 54 54AA 2 1234 4444 AAAA 10 分别写出从 a b c d 这 4 个字母里每次取出两个字母的所有排列 11 写出从 a b c d e f 这六个元素中每次取出 3 个元素且必须含有元素a的所有排列 答案 1 C 2 B 3 C 4 B 5 6 63 7 60 8 24 9 348 64 10 共有 2 4 12A 个 ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc 11 共有 23 53 60C A 个 具体的排列略 二 1 若 3 n x 则x A 3 n A B 3n n A C 3 n A D 3 3n A 2 与 37 107 AA 不等的是 A 9 10 A B 8 8 81A C 9 9 10A D 10 10 A 3 若 53 2 mm AA 则m的值为 A 5 B 3 C 6 D 7 4 计算 56 99 6 10 23 9 AA A 1 1 1 n m m Amn 5 若 1 1 1 242 m m m A 则m的解集是 6 1 已知 10 10 95 m A 那么m 2 已知9 362880 那么 7 9 A 3 已知 2 56 n A 那么n 4 已知 22 4 7 nn AA 那么n 7 一个火车站有 8 股岔道 停放 4 列不同的火车 有多少种不同的停放方法 假定每股岔 道只能停放 1 列火车 8 一部纪录影片在 4 个单位轮映 每一单位放映 1 场 有多少种轮映次序 答案 1 B 2 B 3 A 4 1 1 5 2 3 4 5 6 用心 爱心 专心 10 6 1 6 2 181440 3 8 4 5 7 1680 8 24 三 1 将 1 2 3 4 填入标号为 1 2 3 4 的四个方格里 没格填一个数字 则每个方格的 标号与所填的数字均不相同的填法 种 A 6 B 9 C 11 D 23 2 有 5 列火车停在某车站并排的五条轨道上 若快车 A 不能停在第三条轨道上 货车 B 不 能停在第一条轨道上 则五列火车的停车方法有 种 A 78 B 72 C 120 D 96 3 由 0 3 5 7 这五个数组成无重复数字的三位数 其中是 5 的倍数的共有多少个 A 9 B 21 C 24 D 42 4 从 9 5 0 1 2 3 7 七个数中 每次选不重复的三个数作为直线方程 0axbyc 的系 数 则倾斜角为钝角的直线共有 条 A 14 B 30 C 70 D 60 5 从 4 种蔬菜品种中选出 3 种 分别种在不同土质的 3 块土地上进行实验 有 种不 同的种植方法 6 9 位同学排成三排 每排 3 人 其中甲不站在前排 乙不站在后排 这样的排法种数共有 种 7 1 由数字 1 2 3 4 5 可以组成多少个无重复数字的正整数 2 由数字 1 2 3 4 5 可以组成多少个无重复数字 并且比 13000 大的正整数 8 学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的出场顺序 除第 1 个节目和最后 1 个节目已确定 外 4 个音乐节目要求排在第 2 5 7 10 的位置 3 个舞蹈节目要求排在第 3 6 9 的位 置 2 个曲艺节目要求排在第 4 8 的位置 共有多少种不同的排法 9 某产品的加工需要经过 5 道工序 1 如果其中某一工序不能放在最后加工 有多少种排列加工顺序的方法 2 如果其中某两工序不能放在最前 也不能放在最后 有多少种排列加工顺序的方法 10 一天的课表有 6 节课 其中上午 4 节 下午 2 节 要排语文 数学 外语 微机 体育 地理六节课 要求上午不排体育 数学必须排在上午 微机必须排在下午 共有多少种不同 的排法 11 由数字 0 1 2 3 4 1 可组成多少个没有重复数字且比 20000 大的自然数 2 2 不在千位 且 4 不在十位的五位数有多少个 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 24 6 166320 7 325 114 8 288 9 96 36 10 48 11 1 14 34 72A A 2 141312 443322 264A AA AA A 四 1 停车场上有一排七个停车位 现有四辆汽车需要停放 若要使三个空位连在一起 则停 放方法数为 A 4 7 A B 3 7 A C 5 5 A D 53 53 AA 用心 爱心 专心 11 2 五种不同商品在货架上排成一排 其中 A B 两种必须连排 而 C D 两种不能连排 则不 同的排法共有 A 12 种 B 20 种 C 24 种 D 48 种 3 6 张同排连号的电影票 分给 3 名教师与 3 名学生 若要求师生相间而坐 则不同的分法 有 A 33 34 AA B 33 33 AA C 33