值域经典题型

1 值域简单练习题值域简单练习题 1 求求在在上的值域上的值域 6 2 xxxf 11 2 2 求函数求函数的值域的值域 1 32 x x xf 3 3 求函数求函数的值域的值域 1 33 2 x xx xf 4 求函数求函数的值域的值域 xxxf 1 5 132 13 x x xf 6 1 2 2 xx xx xf 7 x 1 x 31 31 xf 8 xxxf 243 9 2x2x 2 xf 10 2 610yxx 11 2 256yxx 12 2cos1 3cos2 x y x 13 求函数的值域 11 1yxxx 2 值域的求法加强练习题值域的求法加强练习题 解答题 共解答题 共 10 小题 小题 1 已知函数的定义域为集合 A 函数的值域为集合 B 求 A B 和 CRA CRB 2 已知函数 f x x2 bx 3 且 f 0 f 4 1 求函数 y f x 的零点 写出满足条件 f x 0 的 x 的集合 2 求函数 y f x 在区间 0 3 上的值域 3 求函数的值域 4 求下列函数的值域 1 y 3x2 x 2 2 3 4 5 6 5 求下列函数的值域 1 2 3 x 0 3 且 x 1 3 4 6 求函数的值域 y x 1 x 4 7 求下列函数的值域 1 y x2 x 2 2 y 3 2x x 2 9 3 y x2 2x 3 x 1 2 4 y 8 已知函数 f x 22x 2x 1 3 求 f x 的值域 9 已知 f x 的值域为 求 y 的值域 10 设的值域为 1 4 求 a b 的值 4 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 10 小题 小题 1 已知函数的定义域为集合 A 函数的值域为集合 B 求 A B 和 CRA CRB 考点 函数的值域 交 并 补集的混合运算 函数的定义域及其求法 1457182 专题 计算题 分析 由可求 A 由可求 B 可求 解答 解 由题意可得 A 2 B 1 CRA 2 CRB 1 4 分 A B 2 CRA CRB 1 6 分 点评 本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解 集合的交集 补集的基本运算 属于基础试题 2 已知函数 f x x2 bx 3 且 f 0 f 4 1 求函数 y f x 的零点 写出满足条件 f x 0 的 x 的集合 2 求函数 y f x 在区间 0 3 上的值域 考点 函数的值域 二次函数的性质 一元二次不等式的解法 1457182 专题 计算题 分析 1 从 f 0 f 4 可得函数图象关于直线 x 2 对称 用公式可以求出 b 4 代入函数表达式 解一元二次不等式即可求 出满足条件 f x 0 的 x 的集合 2 在 1 的基础上 利用函数的单调性可以得出函数在区间 0 3 上的最值 从而可得函数在 0 3 上的值域 解答 解 1 因为 f 0 f 4 所以图象的对称轴为 x 2 b 4 函数表达式为 f x x2 4x 3 解 f x 0 得 x1 1 x2 3 因此函数的零点为 1 和 3 满足条件 f x 0 的 x 的集合为 1 3 2 f x x 2 2 1 在区间 0 2 上为增函数 在区间 2 3 上为减函数 所以函数在 x 2 时 有最小值为 1 最大值小于 f 0 3 因而函数在区间 0 3 上的值域的为 1 3 点评 本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系 二次函数的单调性与值域问题 属于中档题 只要掌握了对称轴公式 利用函数的图象即可得出正确答案 3 求函数的值域 考点 函数的值域 1457182 专题 计算题 转化思想 判别式法 分析 由于对任意一个实数 y 它在函数 f x 的值域内的充要条件是关于 x 的方程 y 2 x2 y 1 x y 2 0 有实数解 因 此 求 f x 的值域 这一问题可转化为 已知关于 x 的方程 y 2 x2 y 1 x y 2 0 有实数解 求 y 的取值范围 解答 解 判别式法 x2 x 1 0 恒成立 函数的定义域为 R 5 由得 y 2 x2 y 1 x y 2 0 当 y 2 0 即 y 2 时 即 3x 0 0 x 0 R 当 y 2 0 即 y 2 时 x R 时方程 y 2 x2 y 1 x y 2 0 恒有实根 y 1 2 4 y 2 2 0 1 y 5 且 y 2 原函数的值域为 1 5 点评 判别式法 把 x 作为未知量 y 看作常量 将原式化成关于 x 的一元二次方程形式 令这个方程有实数解 然后对二次项系 数是否为零加以讨论 1 当二次项系数为 0 时 将对应的 y 值代入方程中进行检验以判断 y 的这个取值是否符合 x 有实数解的要求 2 当二次项系数不为 0 时 利用 x R 0 求解 此时直接用判别式法是否有可能产生增根 关键在于对这个方 程去分母这一步是不是同解变形 4 求下列函数的值域 1 y 3x2 x 2 2 3 4 5 6 考点 函数的值域 1457182 专题 常规题型 分析 1 配方法 y 3x2 x 2 3 x 2 2 看作是复合函数先设 x2 6x 5 0 则原函数可化为 y 再配方法求得 的范围 可得的范围 3 可用分离变量法 将函数变形 y 3 再利用反比例函数求解 4 用换元法设 t 0 则 x 1 t2 原函数可化为 y 1 t2 4t 再用配方法求解 5 由 1 x2 0 1 x 1 可用三角换元法 设 x cos 0 将函数转化为 y cos sin sin 用三角 函数求解 6 由 x2 x 1 0 恒成立 即函数的定义域为 R 用判别式法 将函数转化为二次方程 y 2 x2 y 1 x y 2 0 有根求解 解答 解 1 配方法 y 3x2 x 2 3 x 2 y 3x2 x 2 的值域为 2 求复合函数的值域 设 x2 6x 5 0 则原函数可化为 y 又 x2 6x 5 x 3 2 4 4 0 4 故 0 2 y 的值域为 0 2 3 分离变量法 y 3 0 3 3 6 函数 y 的值域为 y R y 3 4 换元法 代数换元法 设 t 0 则 x 1 t2 原函数可化为 y 1 t2 4t t 2 2 5 t 0 y 5 原函数值域为 5 注 总结 y ax b 型值域 变形 y ax2 b 或 y ax2 b 5 三角换元法 1 x2 0 1 x 1 设 x cos 0 则 y cos sin sin 0 sin 1 sin 1 原函数的值域为 1 6 判别式法 x2 x 1 0 恒成立 函数的定义域为 R 由 y 得 y 2 x2 y 1 x y 2 0 当 y 2 0 即 y 2 时 即 3x 0 0 x 0 R 当 y 2 0 即 y 2 时 x R 时方程 y 2 x2 y 1 x y 2 0 恒有实根 y 1 2 4 y 2 2 0 1 y 5 且 y 2 原函数的值域为 1 5 点评 本题主要考查求函数值域的一些常用的方法 配方法 分离变量法 三角换元法 代数换元法 判别式法 5 求下列函数的值域 1 2 3 x 0 3 且 x 1 4 考点 函数的值域 1457182 分析 1 把函数转化成关于 tanx 的函数 进而求值域 2 令因为 1 x2 0 即 1 x 1 故可 x sinx 把函数转化成三角函数 利用三角函数的性质求函数的最值 7 3 把原式变成 2 设 t 通过幂函数 t 的图象即可求出 t 的值域 进而求出函数 y 的值域 4 令 t x 4 即 x t 4 代入原函数 得出 y 关于 t 的函数 进而求出答案 解答 解 1 1 4tanx 4 5 4tan2x 2 5 9 函数的值域为 9 2 令 x sin sin cos sin sin 1 的值域为 1 3 y 2 令 t 则其函数图象如下 如图可知函数在区间 0 1 单调减 在区间 1 3 单调增 t 6 3 y 4 5 即函数 y 的值域为 4 5 4 设 t x 4 x 4 t 则 2 2 t x 4 0 0 8 y y 0 4 即函数的值域为 0 4 点评 本题主要考查求函数的值域问题 此类题常用换元 配方 数形结合等方法 6 求函数的值域 y x 1 x 4 考点 函数的值域 1457182 专题 计算题 分类讨论 分析 由函数表达式知 y 0 无最大值 去掉绝对值 把函数写成分段函数的形式 在每一段上依据单调性求出函数的值域 取 并集得函数的值域 解答 解 数形结合法 y x 1 x 4 y 5 函数值域为 5 点评 本题体现数形结合和分类讨论的数学思想方法 7 求下列函数的值域 1 y x2 x 2 2 y 3 2x x 2 9 3 y x2 2x 3 x 1 2 4 y 考点 函数的值域 1457182 专题 计算题 分析 1 求二次函数 y x2 x 2 的值域可先求最值 由最值结合图象 写出值域 2 求一次函数 y 3 2x 在闭区间上的值域 要先求最值 由最值写出值域 3 求二次函数 y x2 2x 3 在某一区间上的值域 要结合图象 求出最值 再写出值域 9 4 求分段函数 y 的值域 要在每一段上求出值域 再取其并集 得出分段函数的值域 解答 解 1 二次函数 y x2 x 2 其图象开口向下 对称轴 x 当 x 时 y 有最大值 故函数 y 的值域为 2 一次函数 y 3 2x x 2 9 单调递减 在 x 2 时 y 有最大值 7 在 x 9 时 y 有最小值 15 故函数 y 的值域为 15 7 3 二次函数 y x2 2x 3 x 1 2 图象开口向上 对称轴 x 1 当 x 1 时 函数 y 有最小值 4 当 x 1 时 y 有最大值 0 所以函数 y 的值域为 4 0 4 分段函数 y 当 x 6 时 y x 10 4 当 2 x 6 时 y 8 2x 4 y 12 所以函数 y 的值域为 4 4 12 4 点评 本组 4 个题目求函数的值域 都是在其定义域上先求其最值 根据最值 直接写出其值域 它们都是基础题 8 已知函数 f x 22x 2x 1 3 求 f x 的值域 考点 函数的值域 1457182 分析 注意利用 22x 2x 2这个式子 很容易把这个看似不识的函数转化为我们再熟悉不过的二次函数 解答 解 令 t 2x 则 t 0 f x 2x 2 2 2x 3 t2 2t 3 令 g t t2 2t 3 t 0 则 g t 在 1 上单调递增 故 f x g t g 0 3 故 f x 的值域为 3 点评 二次函数求最值是我们再熟悉不过的函数了 问题的关键是能否把我们不熟悉的函数转化为我们熟悉的二次函数 而且采用 换元法转化函数的时候 一定要注意换元后变量的范围 9 已知 f x 的值域为 求 y 的值域 考点 函数的值域 1457182 专题 计算题 分析 根据 f x 的值域 应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围 进而求得 y 的值域 解答 解 f x 2f x 10 1 2f x y y 的值域为 点评 本题考查不等式的性质 10 设的值域为 1 4 求 a b 的值 考点