高中数学知识精要 17.立体几何教案 新人教A版

用心 爱心 专心 1 立体几何立体几何 1 1 三个公理和三条推论 三个公理和三条推论 1 公理公理 1 1 一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上的所有的点都在这个平面 内 这是判断直线在平面内的常用方法判断直线在平面内的常用方法 2 公理公理 2 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面 推论 1 经过直线和直线 外一点有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推论 3 经过两 条平行直线有且只有一个平面 公理 2 和三个推论是确定平面的依据确定平面的依据 3 公理公理 3 3 如果两个平面有两个公共点 它们有无数个公共点 而且这无数个公共点 都在同一条直线上 这是判断几点共线判断几点共线 证这几点是两个平面的公共点 和三条直线共点三条直线共点 证其中两条直线的交点在第三条直线上 的方法之一 如 如 1 1 在空间四点中 三点共线是四点共面的 条件 答 充分非必要 2 2 给出命题 若 A l A B l B 则 l 若 A A B B 则 AB 若l A l 则 A 若 A B C A B C 且 A B C 不共线 则 与 重合 上述命题中 真命题是 答 3 3 长方体中 ABCD A1B1C1D1中 AB 8 BC 6 在线段 BD A1C1 上各有一点 P Q 在 PQ 上有一点 M 且 PM MQ 则 M 点的轨迹图形的面积为 答 24 2 2 直观图与三视图 直观图与三视图 1 1 直观图的画法 斜二侧画法规则 直观图的画法 斜二侧画法规则 在画直观图时 要注意 使 0 135x o y 所确定的平面表示水平平面 已知图形中平行于轴和轴的线段 在直观图中保x o y xz 持长度和平行性不变 平行于平行于轴的线段平行性不变 但在直观图中其长度为原来的一半轴的线段平行性不变 但在直观图中其长度为原来的一半 y 如 如 1 1 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形 则原来图形 的形状是 答 A 2 2 已知正的边长为 那么的平面直观图的面积为 答 ABC aABC A B C 用心 爱心 专心 2 2 6 16 a 2 2 三视图 三视图画法规则 高平齐 主视图与左视图的高要保持平齐 长对正 主视图与俯视图的长应对正 宽相等 俯视图与左视图的宽度应相等 3 3 空间直线的位置关系 空间直线的位置关系 1 相交直线 有且只有一个公共点 2 平行直线 在同一平面内 没有公共点 3 异面直线 不在同一平面内 也没有公共点 如 如 1 1 空间四边形 ABCD 中 E F G H 分别是四边上的中点 则直线 EG 和 FH 的位置 关系 答 相交 2 2 给出下列四个命题 异面直线是指空间既不平行又不相交的直线 两异面直线 如果平行于平面 那么不平行平面 两异面直线 如果平面 ba a b ba a 那么不垂直于平面 两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 其中b 正确的命题是 答 4 4 判定线线平行的方法 判定线线平行的方法 1 公理公理 4 4 平行于同一直线的两直线互相平行 找一线和这两线都平行 2 线面平行的性质线面平行的性质 如果一条直线和一个平面平行 那么经过这条直线的平面和这 个平面相交的交线和这条直线平行 3 面面平行的性质面面平行的性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平 行 用心 爱心 专心 3 4 线面垂直的性质线面垂直的性质 如果两条直线都垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 5 利用中位线的性质利用中位线的性质 5 5 两直线垂直的判定 两直线垂直的判定 转化为证线面垂直 相交垂直可以考虑勾股定理 6 6 直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 1 直线在平面内 2 直线与平面相交 其中 如果一 条直线和平面内任何一条任何一条直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直直线和这个平面垂直 注意注意 任一条直线并 不等同于无数条直线 3 直线与平面平行 其中直线与平面相交 直线与平面平行都叫 作直线在平面外 如 如 1 1 下列命题中 正确的是 若直线平行于平面内的一条直线 b 则 a a 若直线垂直于平面的斜线 b 在平面内的射影 则 b a a 若直线垂直于平面 直线 b 是平面的斜线 则与 b 是异面直线 a a 若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等 且所有侧面与底面所成的角也相等 则它一定是正棱锥 答 D 2 2 正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动 并且总保持 AP BD1 则动点 P 的轨迹是 答 线段 B1C 7 7 直线与平面平行的判定和性质 直线与平面平行的判定和性质 1 判定判定 判定定理判定定理 如果平面内一条直线和这个平面平面平行 那么这条直线和这个平面平行 面 面 aabba 在平面内找一条直线与已知直线平行 找一平面过已知直线与已知平面相交 则交线 就是 面面平行的性质面面平行的性质 若两个平面平行 则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行 aa 找一平面过已知直线与已知平面平行 另外 如下方法有时也用 表示平面 a b 表示直线 定义法 通常反证 aa则 用心 爱心 专心 4 aabba则 2 性质性质 如果一条直线和一个平面平行 那么经过这条直线的平面和这个平面相交的 交线和这条直线平行 在遇到线面平行时 常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅在遇到线面平行时 常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅 助平面 以便运用线面平行的性质助平面 以便运用线面平行的性质 如 如 1 1 表示平面 a b 表示直线 则 a 的一个充分不必要条件是 A a B b 且 a b C a b 且 b D 且 a 答 D 2 2 正方体 ABCD A B C D 中 点 N 在 BD 上 点 M 在 B1C 上 且 CM DN 求证 MN 面 AA1B1B 8 8 直线和平面垂直的判定和性质 直线和平面垂直的判定和性质 1 判定判定 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交两条相交直线都垂直 那么这条直线和这个 平面垂直 abacbcbcOa 两条平行线中有一条直线和一个平面垂直 那么另一条直线也和这个平面垂直 baba 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 它也垂直于另一个平面 2 性质性质 如果一条直线和一个平面垂 面 面alaal 直 那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直 如果两条直线都垂直于同一个平面 那 么这两条直线平行 如 如 1 1 如果命题 若 z 则 不成立 那么字母x y z 在空间所表yyx zx 示的几何图形一定是 答 x y 是直线 z 是平面 2 2 已知 a b c 是直线 是平面 下列条件中能得出直线 a 平面 的是 A a b 其中 B a b C D 答 D 3 3 AB 为 O 的直径 C 为 O 上的一点 AD 面 ABC AE BD 于 E AF CD 于 F 求 证 BD 平面 AEF 9 9 平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 1 平行 没有公共点 2 相交 有一条公共直线 用心 爱心 专心 5 1010 两个平面平行的判定和性质 两个平面平行的判定和性质 1 判定判定 判定定理 一个如果平面内有两条相交两条相交直线和另一个平面平行 则这两个平面平行 一面内找两相交直线与另一平面平行 线面面面 依据垂直于同一直线的两平面平行来判定 利用面面平行传递性依定义 采用反证法证明两平面没有公共点 2 性质性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 如 如 1 1 是两个不重合的平面 在下列条件中 不能判定平面的条件是 A 是内一个三角形的两条边 且 nm nm B 内有不共线的三点到的距离都相等 C 都垂直于同一条直线 a D 是两条异面直线 且 答 B nm nm nm 2 2 给出以下六个命题 垂直于同一直线的两个平面平行 平行于同一直线的两个平 面平行 平行于同一平面的两个平面平行 与同一直线成等角的两个平面平行 一个 平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行 则这两个平面平行 两个平 面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行 则这两个平面平行 其中正确的序号是 答 3 3 正方体 ABCD A B C D 中 AB 求证 平面 AD1B1 平面 C1DB 求证 A1C 平面a AD1B1 求平面 AD1B1与平面 C1DB 间的距离 答 3 3 a 1111 两个平面垂直的判定和性质 两个平面垂直的判定和性质 1 判定判定 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相 垂直 在一个面中找另一个面的一条垂线 在一面内作两面交线的垂线 即为所求 定义法 找一个平面与这两个平面都垂直相交 证明两交线交角为直角 2 性质性质 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一 个平面 如 如 1 1 三个平面两两垂直 它们的交线交于一点 O P 到三个面的距离分别为 用心 爱心 专心 6 3 4 5 则 OP 的长为 答 5 2 2 2 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 底面各边都相等 M 是 PC 上的一动点 当 点 M 满足 时 平面 MBD 平面 PCD 答 BMPC 3 3 过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA SB SC 且 ASB ASC 60 BSC 90 求证 平面 ABC 平面 BSC 特别指出特别指出 立体几何中平行 垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化 即 线 线线 面面 面 判定 线 线线 面面 面 性质 线 线线 面面 面 如 如 1 1 已知直线平面 直线平面 给出下列四个命题 l m ml 其中正确的命题是 答 ml ml ml 2 2 设是两条不同直线 是两个不同平面 给出下列四个命题 ba 若则 b baba 若 则 a a 若 则或 a a a 若则 其中正确的命题是 答 baba 1212 棱柱 棱柱 1 棱柱的分类棱柱的分类 按侧棱是否与底面垂直分类 分为斜棱柱 侧棱不垂直于底面 和直棱柱 侧棱垂直 于底面 其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱 按底面边数的多少分类 底面分别为三角形 四边形 五边形 分别称为三棱柱 四棱柱 五棱柱 2 棱柱的性质棱柱的性质 棱柱的各个侧面都是平行四边形 所有的侧棱都相等 直棱柱的各个侧面都是矩形 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形 用心 爱心 专心 7 与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 如 如 1 1 斜三棱柱 A1B1C1 ABC 各棱长为 A1B A1C 则侧面 BCC1B1是 形 棱柱aa 的高为 答 正方 6 3 a 2 2 下列关于四棱柱的四个命题 若有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱为直棱柱 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直棱柱 若四个侧面两两全等 则该四棱柱为直棱柱 若四棱柱的四条对角线两两相等 则该四棱柱为直棱柱 其中真命 题的为 答 1313 平行六面体 平行六面体 1 定义定义 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体 2 几类特殊的平行六面体几类特殊的平行六面体 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱 柱 正方体 3 性质性质 平行六面体的任何一个面都可以作为底面 平行六面体的对角线交于一点 并且在交点处互相平分 平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和 长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和 如如长方体三度之和为 a b c 6 全面积为 11 则其对角线为 答 5 1414 棱锥的性质 棱锥的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么所得的截面与底面相似 截 面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比 截得小棱锥的体积与原来棱 锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比 如如若一个锥体被平行于底面的平面所截 若截面面积是底面积的 则锥体被截面截得 1 4 的一个小棱锥与原棱锥体积之比为 答 1 8 1515 正棱锥 正棱锥 1 定义定义 如果一个棱锥的底面是正多边形 且顶点在底面的射影是底 面的中心 这样的棱锥叫正棱锥 特别地 侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体正四面体 如如四面体中 有如下命题 若 则 若ABCDCDABBDAC BCAD 分别是的中点 则的大小等于异面直线与所成角GE FCDABBC FEG ACBD 的大小 若点是四面体外接球的球心 则在面上的射影是外心 OABCDOABDABD 用心 爱心 专心 8 若四个面是全等的三角形 则为正四面体 其中正确的是 答 ABCD 2 性质性质 正棱锥的各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰三角形 各等腰三角形底 边上的高 叫侧高 也相等 正棱锥的高 斜高 斜高在底面的射影 底面的h h 内切圆的半径 r 侧棱 侧棱在底面的射影 底面的外接圆 的半径 底R面的半边长可组成四个直角三角形 如图 正棱锥的计算集中在四个直角三角形 特征三角 形 中 Rt SOB Rt SOE Rt EOB Rt SBE 其中分别表示底面边长 侧棱长 侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角 a l 如 如 1 1 在三棱锥的四个面中 最多有 个面为直角三角形 答 4 2 2 把四个半径为 R 的小球放在桌面上 使下层三个 上层一个 两两相切 则上层 小球最高处离桌面的距离为 答 2 6 2 3 R 特别提醒 特别提醒 熟练掌握正三棱锥 正四棱锥中的线面位置关系和数量位置关系 1616 棱台 棱台 一个棱锥被平行于底面的平面截去小锥以后所剩留部分的几何体 叫做棱台 正棱台 正棱台 由正棱锥截得的棱台叫正棱台 正棱台的特性 尤其是正棱台的上 下底面半径 边心距和侧棱 斜高和台高所形成的 三个直角梯形和两个直角三角形 在解决问题中往往起到关键的作用 直角梯形可以转化为 直角三角形 这四个直角三角形包含了正棱台的主要元素 底面边长 边心距 高 斜高 侧棱以及侧面与底面 侧棱与底面所成的角 应用它们之间的关系就可以解决正棱台的有关 计算问题 特别提醒 特别提醒 由于棱台是以棱锥用平行于底面的平面截得 所以棱台与棱锥有相当密切的 关系 学习中应引起足够的重视 如 正四棱台的高C A 是 17cm 两底面的边长分别是 4cm 和 16cm 求这个棱台 的侧棱的长和斜高 如图 解 设棱台两底面的 中心分别是和 O O 和 BC 的中点分别是和 连结 则CB E EO O E E BO OBEO OE O O O O B B C C D D A A B B A A C C D D E E E E 用心 爱心 专心 9 和都是直角梯形 OBOB OEOE 4 AB 16 BA 2 OE 8 EO cm OB BO 22cm28 因此 B B 19222817 2 2 cm E E 135 28 17 22 cm 即 这个 棱台的侧棱长是 19cm 斜高是cm135 1717 直棱 直棱柱 正棱锥与正棱台的侧面积柱 正棱锥与正棱台的侧面积 各个侧面面 积之和 1 直棱柱 直棱柱 直棱柱的侧面积 底面周长 侧棱长 S 2 正棱锥正棱锥 正棱锥的侧面积 底面周长 斜高 S 1 2 3 正棱台 正棱台 正棱台的侧面积 上底面周长 下底面周长 斜高 S 1 2 提醒提醒 1 直棱柱 正棱锥与正棱台的侧面积公式是通过其侧面展开图获得的 2 全面积 也称表面积 是各个表面面积之和 故棱柱的全面积 侧面积 2 底面 积 棱锥的全面积 侧面积 底面积 棱台的全面积 侧面积 上底面积 下底面积 如 如 1 1 已知正四棱锥P ABCD的高为 4 侧棱与底面所成的角为 60 则该正四棱锥 的侧面积是 答 32 7 3 2 2 已知正四面体 ABCD 的表面积为 S 其四个面的中心分别为 E F G H 设四面体 EFGH 的表面积为 T 则 等于 答 T S 1 9 1818 柱 锥 台 球的体积 柱 锥 台 球的体积 1 柱体柱体 体积 底面积 高 特别地 直棱柱的体积 底面积 侧棱长 如 如 1 1 设长方体的三条棱长分别为 a b c 若长方体所有棱的长度之和为 24 一条 对角线长度为 5 体积为 2 则等于 答 cba 111 11 4 2 2 斜三棱柱的底面是边长为的正三角形 侧棱长为 侧棱 AA1和 111 ABCABC ab O O O O B B C CD D A A B B A A C C D D F F E E 用心 爱心 专心 10 G F E D C BA G F E D1 C1 B1 A1 D C B A AB AC 都成 45 的角 则棱柱的侧面积为 体积为 答 21 ab 2 1 4 a b 2 锥体锥体 体积 底面积 高 3 1 如 如 1 1 已知棱长为 1 的正方体容器 ABCD A1B1C1D1中 在 A1B A1B1 B1C1的中点 E F G 处各开有一个小孔 若此容器可以任意放置 则装水较多的容积 小孔面积对容积 的影响忽略不计 是 答 12 11 2 2 在正三棱锥 A BCD 中 E F 是 AB BC 的中点 EF DE 若 BC 则正三棱锥 A a BCD 的体积为 答 3 24 2 a 3 3 已知正三棱锥底面边长为 体积为 则底面三角形的中ABCP 3234ABC 心到侧面的距离为 答 OPAB 4 17 17 4 4 在平面几何中有 Rt ABC 的直角边分别为 a b 斜边上的高为 h 则 类比这一结论 在三棱锥 P ABC 中 PA PB PC 两点互相垂直 且 222 111 hba PA a PB b PC c 此三棱锥 P ABC 的高为 h 则结论为 答 2222 1111 abch 特别提醒特别提醒 求多面体体积的常用技巧是割补法 割补成易求体积的多面体 补形补形 三棱锥三棱柱平行六面体 分割分割 三棱柱中三棱锥 四棱锥 三棱柱的体积关系是 答 1 2 3 和等 积变换法 平行换点 换底 和比例 性质转换 法等 如 如 1 1 用平面去截三棱锥 与三条侧棱交于SABC 三点 若 111 A B C 1 1 2 SASA 11 1 3 SBSBSC 则 1 1 1 3 1 4 SA B C SC V 多面体的体积为 111 ABCABC 答 7 2 2 直三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 P Q 分V 别是侧棱 AA1 CC1上的点 且 AP C1Q 则四棱锥 B APQC 的体积为 答 1 3V 3 3 如图的多面体ABC DEFG 中 AB AC AD 两两垂直 平面 ABC DEFG 平面BEF ADGC AB AD DG 2 AC EF 1 则 用心 爱心 专心 11 该多面体的体积为 答 4 1919 球的截面的性质 球的截面的性质 用任意平面截球所得的截面是一个圆面 球心和截面圆圆心的 连线与这个截面垂直 如果用 R 和 r 分别表示球的半径和截面圆的半径 d 表示球心到截 面的距离 则 即球的半径 截面圆的半径 和球心到截面的距离组成一个直 222 drR 角三角形 有关球的计算问题 常归结为解这个直角三角形 提醒提醒 球与球面的区别 球不仅包括球面 还包括其内部 如 如 1 1 在半径为 10的球面上有三点 如果 则球cmCBA 60 38ACBAB 心到平面的距离为 答 OABC6cm 2 2 已知球面上的三点 A B C AB 6 BC 8 AC 10 球的半径为 13 则球心到平面 ABC 的距离为 答 12 2020 球的体积和表面积公式 球的体积和表面积公式 V 23 4 3 4 RSR 如 如 1 1 在球内有相距 9cm 的两个平行截面 面积分别为 49cm2 400cm2 则球的表 面积为 答 2 2500 cm 2 2 三条侧棱两两垂直且长都为 1 的三棱锥 P ABC 内接 于球 O 求球 O 的表面积与体积 答 表面积 体积3 3 2 3 3 已知直平行六面体的各条棱长 1111 DCBAABCD 均为 3 长为 2 的线段的一个端点在上运动 另一端点在底 60BADMNM 1 DDN 面上运动 则的中点的轨迹 曲面 与共一顶点的三个面所围成的几何体ABCDMNPD 的体积为为 答 2 9 2121 圆柱 圆锥 圆台的性质 圆柱 圆锥 圆台的性质 1 圆柱的性质 是连心线垂直圆柱的底面 是三个截面的性质 平行于底面的 截面是与底面全等的圆 轴截面是一个以上 下底面圆的直径和母线所组成的矩形 平行于 轴线的截面是一个以上 下底的圆的弦和母线组成的矩形 2 圆锥的性质 平行于底面的截面圆的性质 用心 爱心 专心 12 截面圆面积和底面圆面积的比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的平方比 过圆锥的顶点 且与其底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三 角形 其面积为 AVBVCVB sin 2 1 易知 截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角 事实上 由 BC AB VC VB VA 可得 AVB BVC 由于截面三角形的顶角 不大于轴截面的顶角 所以 当轴截面的顶角 90 有 0 90 即有 sin 2 1 2 l 当轴截面的顶角 90 时 轴截面的面积却不是最大的 这是因为 若 90 180 时 1 sin sin 0 截面的面积的最大值为 2 2 1 l 圆锥的母线 l 高 h 和底面圆 R 的半径组成一个直径三角形 圆锥的有关计算问题 一般都要归结为解这个直角三角形 特别是关系式 222 Rhl 3 圆台的性质 都是从 圆台为截头圆锥 这个事实推得的 但必须明确 是连心线垂直圆柱的底面 圆台的母线 l 高 h 和上 下两底圆的半径 r R 组成一个直角梯形 且有 222 rRhl 圆台的有关计算问题 常归结为解这个直角梯形 圆台的母线共点 所以任两条母线确定的截面为一等腰梯形 但是 与上 下底面都 相交的截面不一定是梯形 更不一定是等腰梯形 如如圆台上 下底面半径分别为 r R 平行于底面的截面把圆台分成侧面积相等的两个部分 则以此截面为底面 圆台所在的圆锥的顶点为顶点的圆锥与该圆台的体积比为 2222 折叠问题 折叠问题 要将折叠前后的两个图形对照考察 弄清所涉及的元素在折叠前后的数 量关系或位置关系 2323 几何体表面内两点间的最短距离问题 几何体表面内两点间的最短距离问题 1 柱 锥 台的表面都可以平面展开 这些几何体表面内两点间最短距离 就是其 平面内展开图内两点间的线段长 如如已知正方体的棱长为 1 是的中点 是上的一点 1111 DCBAABCD P 1 AAE 1 BB A C V B 用心 爱心 专心 13 则的最小值是 答 ECPE 2 17 由于球面不能平面展开 所以求球面内两点间的球面距离是一个全新的方法 这个最短距离 是过这两点大圆的劣弧长 2 2 球面距离 球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 球面距离 球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 求球面上两点 A B 间的距离的步骤 计算线段 AB 的长 计算球心角 AOB 的弧度 数 用弧长公式计算劣弧 AB 的长 如 如 1 1 设地球半径为 在北纬圈上有两地 它们的纬度圈上的弧长等于R 45BA 求两地间的球面距离 答 R 4 2 BA 3 R 2 2 球面上有 3 点 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 经过这 3 点的小圆 6 1 的周长为 那么这个球的半径为 答 432 3 3 三棱锥的三个侧面两两垂直 若PABC 12 16 20PAPBPC 四个点都在同一球面上 则此球面上两点 A B 之间的球面距离是 答 P A B C 5 2 2424 切切 接接 问题 问题 对简单多面体 旋转体的 切 接 问题 一般是通过选择能 够包含各元素间的关系的一个截面 多为轴截面 转化为平面图形或采用 等积法 来解 决 应特别注意截面图形与直观图的联系 并注意两者构成元素的异同 对于球的内接外切问题 作适当的截面 既要能反映出位置关系 又要反映出数量关 系 如 如 1 1 甲球与某立方体的各个面都相切 乙球与这个立方体的各条棱都相切 丙球过 这个立方体的所有顶点 则甲 乙 丙三球的半径的平方之比为 答 1 2 3 2 2 若正四面体的棱长为 则此正四面体的外接球的表面积为 答 23 3 3 已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱 则这一正三棱柱21 的体积是 答 354 2525 理科 空间向量之空间角 理科 空间向量之空间角 用心 爱心 专心 14 1 1 异面直线所成的角 范围 异面直线所成的角 范围 0 2 转化为相应方向向量的夹角 但必须注意角的范围 必要时进行处理 设 分别为异面直线 a b 的方向向量 则两异面直线所成的角 则 a b cos ba ba arccos a b a b A 2 2 直线和平面所成的角 范围 直线和平面所成的角 范围 0 90 设是斜线 l 的方向向量 是平面的法向量 l n 则斜线 l 与平面所成的角 则 sin nl nl arcsin nl nl 平面的法向量与直线的方向向量的夹角 即为所求 2 3 3 二面角 范围 二面角 范围 0 法一 在内 a l 在内 其方向如图 则二面 b l 角的平面角l ba arccos a b a b A 法二 转化为两个平面的法向量所成的角 若二面角的两个半平面的法向量都是指向二 面角的内部或外部 二面角的两个半平面的法向量的夹角的补角即为所求 若二面角的 两个半平面的法向量一个指向二面角的内部 一个指向外部 二面角的两个半平面的法 向量的夹角即为所求 具体地 设是二面角的两个半平面的法向量 其方向一个 12 n n l 指向内侧 另一个指向外侧 则二面角的平面角l 若 21 n n 21 coscosnn 12 12 arccos n n nn A 都是指向二面角的内部或外部 21 n n 21 coscosnn 用心 爱心 专心 15 arccos 21 21 nn nn 则两异面直线所成的角 则 cos ba ba arccos a b a b A 附 空间角的几何求法附 空间角的几何求法 1 1 异面直线所成角 异面直线所成角的求法的求法 计算异面直线所成角的关键是平移 中点平移 顶点平 移以及补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体 长方体等 以便易于发现两条异面直线间的关系 转化为相交两直线的夹角 如 如 1 1 正四棱锥 的所有棱长相等 是的中点 那么异面直线与所成的角的余弦值ABCDP EPCBEPA 等于 答 2 2 在正方体 AC1中 M 是侧棱 DD1的中点 O 是底面 ABCD 的中心 3 3 P 是棱 A1B1上的一点 则 OP 与 AM 所成的角的大小为 答 90 3 3 已知异面直线 a b 所成的角为 50 P 为空间一点 则过 P 且与 a b 所成的角都是 30 的直线有且仅有 条 答 2 4 4 若异面直线所成的角为 且直线 则异面直线所成 a b 3 ca b c 角的范围是 答 6 2 2 2 直线和平面所成的角 直线和平面所成的角 1 定义定义 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐 角 叫这条直线和这个平面所成的角 2 求法求法 作出直线在平面上的射影 3 斜线与 平面所成的角的特征特征 斜线与平面中所有直线所成角中最小的角 如 如 1 1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 AB 1 D 在棱 BB1上 BD 1 则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 答 arcsin 2 2 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 AB C1D1的中点 则棱 A1B1 与截 4 6 面 A1ECF 所成的角的余弦值是 答 1 3 3 3 是从点引出的三条射线 每两条的夹角都是 则直线与平PCPBPA P 60PC 面所成角的余弦值为 答 PAB 3 3 4 4 若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角 则 sin 的值为 答 3 3 用心 爱心 专心 16 3 二面角二面角 1 平面角的三要素平面角的三要素 顶点在棱上 角的两边分别在两个半平面内 角的两边与棱都垂直 2 作平面角的主要方法作平面角的主要方法 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面内作棱的垂线 得出平面角 用定义法时 要认真观察图形 的特性 三垂线法 过其中一个面内一点作另一个面的垂线 用三垂线定理或逆定理作出 二面角的平面角 垂面法 过一点作棱的垂面 则垂面与两个半平面的交线所成的角即为 平面角 3 二面角的求法二面角的求法 转化为求平面角 面积射影法 利用面积射影公式 其中为平面角的大小 对于一类没有给出棱的二面角 应先延伸两个半cosSS 射原 平面 使之相交出现棱 然后再选用上述方法 尤其可考虑面积射影法 如 如 1 1 正方形 ABCD A1B1C1D1中 二面角 B A1C A 的大小为 答 60 2 2 将 A 为 60 的棱形 ABCD 沿对角线 BD 折叠 使 A C 的距离等于 BD 则二面角 A BD C 的余弦值是 答 1 3 3 3 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中对角线 BD1 8 BD1与侧面 B1BCC1所成的为 30 则二 面角 C1 BD1 B1的大小为 答 6 arcsin 3 4 4 从点 P 出发引三条射线 PA PB PC 每两条的夹角都是 60 则二面角 B PA C 的余弦值是 答 1 3 5 5 二面角 的平面角为 120 A B AC BD AC BD ll ll 若 AB AC BD 1 则 CD 的长 答 2 6 6 ABCD 为菱形 DAB 60 PD 面 ABCD 且 PD AD 则面 PAB 与面 PCD 所成的锐 二面角的大小为 答 3 arctan 2 2626 理科 空间向量之空间距 理科 空间向量之空间距 1 点到平面的距离 n PAn dn为面的法向量 n A P 找 垂面 找交线 作交线的垂线 过过一点作平面垂一点作平面垂线线的一种的一种 方法方法 用心 爱心 专心 17 附 空间距离的几何求法附 空间距离的几何求法 1 异面直线的距离 直接找公垂线段而求之 转化为求直线到平面的距离 即 过其中一条直线作平面和另一条直线平行 转化为求平面到平面的距离 即过两直线分别 作相互平行的两个平面 如如已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 则异面直线 BD 与 B1C 的a 距离为 答 3 3 a 2 点到直线的距离 一般作出垂线再求解 如 如 1 1 等边三角形的边长为