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说明表说明表 函数图像中的美丽奥秘 喻晓 周恩来政府管理学院 政治学与行政学 1112756 摘要 笛卡尔坐标系的诞生将函数和几何通过函数图像美妙地结合在一起 建起抽象和形 象之间的桥梁 函数图像在提供最直观的美感同时 更能在将图像用函数统一表示的过程 中升华出美的固定规律性 从此 感性的不可捉摸的艺术美可以通过数学进行理性的定量 分析 本文通过探索函数图像中的美丽奥秘 总结美丽函数图像的特点 深入探讨感官美 的数理本质 关键字 函数图像 美丽 坐标系 1 引子 从一个数学家的凄美故事讲起 当时法国正流行黑死病 生于17世纪的笛卡尔流浪到瑞典 与18岁公主克里斯汀相识 并成为公主的数学老师 笛卡尔将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀 直角坐标当时也只 有这对师生才懂 后来 他们之间有了不一样的情愫 发生了喧腾一时的师生恋 这件事 传到国王耳中 国王于是将笛卡尔放逐回法国 并将克丽丝汀软禁 笛卡尔一回到法国后就染上了黑死病 笛卡尔不断地写信到瑞典给克丽丝汀 但却都 被拦截没收 在笛卡尔快要死去的时候 他寄出了第13封信 这封信的内容只有短短的一行 r a 1 sin 国王拦截到这封信之后 拆开看发现并不是一如往常的情话 所以 就把信交给克丽 丝汀 克丽丝汀收到这封信雀跃无比 并立刻动手研究这行字的秘密 没多久就解出来了 用的就是直角坐标图 当 0 时 r a 1 0 a A 点 当 90 时 r a 1 1 0 B 点 当 180 时 r a 1 0 a C 点 当 270 时 r a 1 1 2a D 点 a 为四截距的比值 而 B 点是原点 0 0 这要靠点想象 把 A B C D 四点用弧线连接起来连接出来 就 是有名的心脏线 见图1 这就是笛卡尔和克丽丝汀之间秘密数学式 传说 这第13封的另类情书还保留在欧洲 的笛卡尔纪念馆里 正如笛卡尔所写的心形函数一样 还有许多函数的图像非常美丽 图 1 笛卡尔心脏线 2 爱情方程式 首先我们引入圆锥曲线的定义 二元二次方程 2 2 0axbxycydxeyf 所表示 的是圆锥曲线 而根据判别式的不同 包含了椭圆 双曲线 抛物线以及各种退化模型 根据焦点 准线观点 严格来讲 这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形 因而不能 算是圆锥曲线的定义 但因其使用广泛 并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性 质 给定一点 P 一直线 L 以及一非负实常数 e a e 1 c 则到 P 的距离与 L 距 离之比为 e 的点的轨迹是圆锥曲线 根据 e 的范围不同 曲线也各不相同 具体如下 1 e 0 轨迹退化为圆 2 0 e 1 轨迹为椭圆 3 e 1 即到 P 与到 L 距离相同 轨迹为 抛物线 4 1 e0部分以 y 轴为轴对称过去 如图3 不得不说这是如此的 美妙 图 2 双椭圆 图 3 爱情方程式 3 玫瑰花方程式 首先我们引入极坐标系 在平面上取定一点 O 称为极点 从 O 出发引一条射线 Ox 称为极轴 再取定一个长度单位 通常规定角度取逆时针方向为正 这样 平面上任 一点 P 的位置就可以用线段 OP 的长度 以及从 Ox 到 OP 的角度 来确定 有序数对 就称为 P 点的极坐标 记为 P 称为 P 点的极径 称为 P 点的极角 当限制 0 0 2 时 平面上除极点 以外 其他每一点都有唯一的一个极坐标 极点 的极径为零 极角任意 而极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程 通常表示为 r 为自 变量 的函数 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式 如果 r r 则曲线关于 极点 0 180 对称 如果 r r 则曲线关于极点 90 270 对称 如果 r r 则曲线相当于从极点逆时针方向旋转 平面上有些曲线 采用极坐标时 方程比较简单 例如以原点为中心 r 为半径的圆的极坐标方程 为 r 等速螺线的极坐标方程为 a 此外 椭圆 双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线 可以用一个统一的极坐标方程表示 现在让我们来看看这样的一个极坐标方程 sin fab 其中 f 就是 即点到极 点的距离 a 可以类比圆极坐标方程 2 cosr 里的2r 确定极坐标曲线的轴径 b 则与方程图象的旋转复制有关系 最后当我们 把这个方程画出来时 发现这个函数的图像其实就是很好看的玫瑰 b 代表的是花瓣的个 数 而 a 是花瓣的尺寸 即半径 当 a 取1 2 3 4 5 b 取4时 便有了右面的图像 这种曲线在 b 较大的时候 与一些建筑物中的花纹不无相似之处 4 其他的美丽函数图像 1 叶形线 其解析式为 x3 y3 3axy 2 箕舌线 其解析式为 y x2 4a2 8a3 图 5 叶形线 图 6 箕舌线 图 4 玫瑰花方程式 3 双纽线 解析式 x2 y2 2 2a2 x2 y2 4 李萨茹曲线 解析式 利萨茹曲线由以下参数方程定义 其中 以下是一些李萨茹曲线 5 特点总结 5 1 对称美 无论是心形曲线 还是玫瑰花方程式 都体现了对称均匀的美感 在直角坐标里利用 x y 轴的对称性 通过绝对值 分段函数以及变量正负号的选取实现图象在坐标内的平面翻 折 更能由此产生奇偶性等特殊性质 而极坐标方程则利用 r r 则曲线关于极点 0 180 对称 如果 r r 则曲线关于极点 90 270 对称的特殊对称方法实现图象 对称 对称体现的就是一种势力的均衡和和谐 正如阴阳相生 有黑有白 而在数学上这则 是一种对应关系 XY 相互对应 正面存在也反面必能找到其存在 其实除了函数图象 数学几乎所有方面都存在对称美 如回数 方程的对称位移 等差数列对称求和法等等 5 2 旋转美 这一点在玫瑰花方程式里有显著的体现 而极坐标系也是通过点的旋转形成极坐标方 程 以变量角度 来定义函数 因此许多复杂的曲线用极坐标可以极其容易的表达出来 图 7 双纽线 图 8 李萨茹曲线 极坐标系打破了直角坐标系方方正正的规则世界 使函数加入了柔美的因素 而且曲线可 以进行无限次的旋转重复 由于现实世界中不是所有东西都是直线组成的 极坐标能将有 弧度的物体用数字表示的功能让数学与现实的感官生活更近一步 5 3 规律美 函数图象的美丽不仅仅是视觉上的 更重要的是其背后的函数给予这样一个图形的统 一感和规律感 正如椭圆方程 普通的一个椭圆并没有什么美丽的 但当这样一个弯曲无 法手绘精准的图形由一个简单的方程式归纳起来 并且通过方程中的系数可以任意改变椭 圆大小形状的时候 就仿佛真实接触到这样一个物体的本质 就如同爱因斯坦将大自然的 千变万化都归属到 2 Emc 的大统一中 当所有的图形用函数表示后 就能从数理上定量 研究它的规律性质 更深层次挖掘其中的美丽 而且函数图象的规律美更给予人一种稳定 感 让图象的无限发展变得可预测 6 总结 亚里士多德曾经说过 虽然数学没有明显地提到善和美 但善和美也不能和数学完 全分离 因为美的主要形式就是秩序 匀称和确定性 这些正是数学所研究的原则 所以 我们在平常的学习中