福建省长泰一中高考数学一轮复习《算术平均数与几何平均数》学案

用心 爱心 专心1 第第 2 2 课时课时 算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 例例 1 1 设 a bR 试比较 的大小 2 ba ab 2 22 ba ba 11 2 解 解 a bR 2 ba 11 ab 1 即 当且仅当 a b 时等号成立 ba 11 2 ab 又 4 2 2 22 2 abbaba 4 2222 baba 2 22 ba 2 ba 2 22 ba 当且仅当 a b 时等号成立 而 ab 2 ba 于是 当且仅当 a b 时取 号 ba 11 2 ab 2 ba 2 22 ba 说明 题中的 分别叫做正数的调和平均数 几何平均数 算 ba 11 2 ab 2 ba 2 22 ba 术平均数 平方平均数 也可取特殊值 得出它们的大小关系 然后再证明 变式训练变式训练 1 1 1 设 已知命题 命题 则是 aR b p ab 2 22 22 abab q p 成q 立的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解解 B 解析 是等号成立的条件ab 2 22 22 abab 典型例题典型例题 基础过关基础过关 用心 爱心 专心2 2 若为 ABC 的三条边 且 则 a b c 222 Sabcpabbcac A B C D 2Sp 2pSp Sp 2pSp 解 解 D 解析 222222 1 0 2 SpabcabbcacabbcacSp 又 222222222 2 2 2abc bca acbaabbc bbccaaaccb 222 2 2abcabbcacSp 3 设 x 0 y 0 a 与 b 的大小关系 yx yx a 1y y x x b 11 A a b B a a2b3 a3b2 解解 证 a5 b5 a2b3 a3b2 a5 a3b2 b5 a2b3 a3 a2 b2 b3 a2 b2 a2 b2 a3 b3 a b a b 2 a2 ab b2 a b 都是正数 a b a2 ab b2 0 又 a b a b 2 0 a b a b 2 a2 ab b2 0 即 a5 b5 a2b3 a3b2 变式训练变式训练 3 3 比较下列两个数的大小 1 与3212 2 5632 与 3 从以上两小项的结论中 你否得出更一般的结论 并加以证明 解 解 1 2 3212 5632 用心 爱心 专心3 3 一般结论 若成立231 nnnnNn则 证明证明 欲证成立231 nnnn 只需证 23 1 1 1 nnnn 也就是 231 nnnn Nn 13 2nnnn 从而 成立 故 231 nnnn Nn 例例 4 4 甲 乙两地相距 S 千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度最大不得超过 c 千 米 小时 已知汽车每小时的运输成本 元 由可变部分与固定部分组成 可变部分与速 度 v 千米 小时 的平方成正比 且比例系数为正常数 b 固定部分为 a 元 1 试将全程运输成本 Y 元 表示成速度 V 千米 小时 的函数 2 为使全程运输成本最省 汽车应以多大速度行驶 解解 1 依题意得 汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程运输成本为 v s y a bv2 s bv 故所求函数及其定义域为y s bv v 0 c v s v s v a v a 2 s a b v R 故 s bv 2s 当且仅当 bv 时取等号 此时v v a ab v a b a 若 c 即 v 时 全程运输成本最小 b a b a 若 c 则当 v 0 c 时 b a y s bv s bc c v a bcv v a c a vc s c v 0 且 a bc 故有 a bcv a bc2 0 2 s bv s bc 且仅当 v c 时取等号 即 v c 时全程运输成本最小 v a c a 变式训练变式训练 4 4 为了通过计算机进行较大规模的计算 人们目前普遍采用下列两种方法 第一种传统方法是建造一台超级计算机 此种方法在过去曾被普遍采用 但是人们逐渐发 现建造单独的超级计算机并不合算 因为它的运 算能力和成本的平方根成正比 另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统 它是通过大量使用低性能计算机 也叫工 作站 组成一个计算网络 这样的网络具有惊人的计算能力 因为整个网络的计算能力是各 个工作站的效能之和 假设计算机的计算能力的单位是 MIPS 即每秒执行百万条指令的次数 一台运算能力为 6000MIPS 的传统巨型机的成本为 100 万元 而在分布式系统中 每个工作站的运算能力为 300MIPS 其价格仅为 5 万元 需要说明的是 建造分布式计算系统需要较高的技术水平 初期的科技研发及网络建设费用约为 600 万元 请问 在投入费用为多少的时候 建造新型的分布式计算系统更合算 用心 爱心 专心4 解 解 设投入的资金为万元 两种方法所能达到的计算能力为MIPS x 21 y y 则 xky 11 把 代入上式得 又 100 x6000 1 y600 1 k 600 22 xky 当时 代入上式得 5600 x300 2 y60 2 k 由 得 即 0 2 y 1 y 600 60 x x60060010 xx 解得 900 万元 x 答 在投入费用为 900 万元以上时 建造新型的分布式计算系统更合算 1 在应用两个定理时 必须熟悉它们的常用变形