高中数学 2.6《小议复合函数》素材 苏教版必修1

用心 爱心 专心 1 小议复合函数小议复合函数 摘要 求复合函数的单调区间 定义域和值域是高中数学的重点也 是难点 很多同学遇到复合函数的问题都会无从下手 我想这主要是 对复合函数理解不够透彻造成的 下面我就复合函数的相关问题谈一 些不成熟的建议 关键词 原函数 内层函数 外层函数 正文 1 复合函数的概念 设函数 xguufy 都是单调函数 那么复合函数 xgfy 也 是单调函数 其中 xgu 称为内层函数 xfy 称为外层函数 xgy 称为原函数 2 复合函数单调性理论上的证明 已知在函数 xgfy 中 设函数 xgu 在区间 ba 上是单调递增 的 函数 ufy 在区间 dc 其中区间 dc 是函数 xgu 的值域 上是单调递增的 求证 原函数 xgfy 在区间 ba上是增函数 证明 任取 baxx 21 且 21 xx 内层函数 xgu 在区间 ba 上是增函 数 2211 xguxgu 其中 dcuu 21 又 外层函数 ufy 在 区间 dc 上也是增函数 21 ufuf 即 21 xgfxgf 由函数的 单调性定义可得原函数 xgfy 在区间 ba 上是单调递增函数 证毕 用 同样的方法可以证明剩余的三种情况 见下表 3 结论 函数 区间 ba xgu 用心 爱心 专心 2 从 表中 可知 对于原函数 内层函数和外层函数 如果知道其中的任意两个函 数的单调性就可以推知第三个函数的单调性 理论依据是 同增 异减 很 多同学只知道由内层函数和外层函数推出原函数 却不知任意两个可 以推出第三个 下面我们来看一些具体的案例 案例 1 求函数 32 log 2 5 0 xxy的单调区间和值域 解 令32 2 xxu 由0 u可知原函数的定义域为 3 1 原函数 是由32 2 xxu与uy 5 0 log 复合而成 内层函数 4 1 32 22 xxxu在区间 1 1 上是增函数 在区间 3 1上是减函 数 而外层函数uy 5 0 log 在 0u上是减函数 依据复合函数单调性 的判断规律 原函数的单调增区间是 3 1 单调减区间是 1 1 接下来求 值域 44 1 2 xu 且根据对数的意义0 u 40 u 而函数 uy 5 0 log 在区间 4 0上是减函数 24loglog 5 05 0 u 原函数的值域是 2 点评 求复合函数单调区间的基本程序是 分解原函数 考察单调性内层 外层 同增异减 结论 本题求定义域是前提 求 单调区间必须在定义域里考虑 在求值域时应明确外层函数的值域就 是原函数的值域 往往依据外层函数的单调性来求 案例 2 已知函数 1 2 2 axx y在区间 3 上是增函数 求a的范 围 ufy xgfy 用心 爱心 专心 3 解 令1 2 axxu 则原函数是由 1 2 axxu与 u y2 复合而成 原函数在区间 3 上是增函数 而外层函数 u y2 始终是增函数 则 易知内层函数1 2 axxu在区间 3 上也是增函数 而实质上原函 数的最大单调增区间是 2 a 由 3 2 a 得3 2 a 即6 a 点评 本题是一个典型的已知原函数和外层函数的单调性来判 断内层函数单调性的问题 应遵循 知二求一 的判断原则 案例 3 求函数5234 2 1 x x y的单调区间和值域 解 xf5234 2 1 x x 2 1 32 2 1 2 x 令02 x u 则原函数是由 02 x u和 2 1 3 2 1 2 uy复合而成 外层函数 ufy 在 3 0 u上是减 函数 在 3u上是增函数 而 x u2 即 3log 3 02 2 x x 3log 32 2 x x 且内层函数 x u2 在区间 3log 2 和区间 3log2上是增函数 所以原函数在区间 3log 2 上是减函数 在区间 3log2上是增函数 下面求值域 令02 x u 则 2 1 2 1 3 2 1 2 uy 当且仅当32 x 即3log2 x时 2 1 max y 所以 原函数的值域是 2 1 点评 这是一个型如二次函数的复合函数 先应换元配方 然后 求外层函数的单调区间 对应的计算出内层函数的单调区间 这个过程 是颠倒的 因为我们平时习惯于先考察内层函数 在考察外层函数 不 过顺序上的选择主要是由问题的本身决定 例 4 求函数 32 log 1 2 5 0 xx y的单调区间 用心 爱心 专心 4 解 令uvxxu 5 0 2 log 32 则原函数是由内层函数 v yuvxxu 1 log 32 5 0 2 和外层函数中层函数复合而成 由 3151 132 320 13200 32 log 2 2 22 5 0 或x xx xx xxxx 51 x 得原函数的定义域为 51 31 51 显然内层函数 上是增函数在区间上是减函数在区间51 3 1 512 1 32 22 xxxu 而 1320 32 1 0log 22 5 0 xxxxxuuuv满足在求定义域中在 上始终 是减函数 v y 1 在区间 0上也是减函数 根据两两复合 遵循 同增 异减 的原则 原函数的单调减区间是 1 51 单调增区间是 51 3 见下表 点评 这是一个型如 xgfy 的多层函数 可分解成内 中 外三层函数 采取从内向外的探索方法 但求定义域是关键 当三层函 数的单调性都明确后 先进行任意两层复合 所得结果再和剩下的一个 复合 上述每一个程序都应遵循 同增异减 且谁和谁先复合不会对结 函数 单调情况 32 2 xxu 1 51 51 3 uv 5 0 log v y 1 原函数 用心 爱心 专心 5 果产生影响 读者可以自行体会 利用复合函数求单调区间 能够起到化繁为简的作用 是一种化整 为零 各个击破