计算水力学基础

计算水力学 计算水力学 CFDCFD 杨大超 水利水电学院 水力学及河流动力学 1030201039 计算水力学 Computational Fluid Dynamics 简称 CFD 是由流体力学理论 计算机技术和数值方法等交叉产生的一门应用学科 基本思想是把原来在空间 域和时间域上连续的物理量场 用一系列有很个离散点上的变量值来代替 通 过一定原理和方式建立起关于这些离散点上的场变量之间关系的方程组 然后 求解代数方程组获得场变量的近似值 一 CFD 的求解过程 1 建立反映流体流动问题的数学模型 具体的说就是要建立反映问题各个 量之间关系的微分方程及相应的定解条件 流体的基本控制方程通常包括质量 守恒方程 动量守恒方程 能力守恒方程 以及这些方程相应的定解条件 2 确定计算方法 即建立针对控制方程的数值离散化方法 如有限差分法 有限元法 有限体积法等 这里的计算方法不仅包括微分方程的离散化方法及 求解方法 还包括边界条件的处理等 3 计算区域网格划分 编制程序和进行计算 这部分工作包括计算网格划 分 初始条件和边界条件的输入 控制参数的设定等 4 计算结果分析 二 常用的 CFD 控制方程 1 圣维南方程组 0 0 2 2 ARC QQ g x H gA A Q xt Q x Q t A 式中 x 为距离坐标 t 为时间坐标 A 为过水断面面积 Q 为流量 h 为水位 q 为旁测入流量 C 为谢才系数 R 为水力半径 g 为重力加速度 2 紊流的基本方程 紊流的连续方程 不可压缩流体的连续方程 0 i i x u t 不可压缩流体的连续方程 0 i i x u 不可压缩流体的紊流时均流动的连续方程为 0 i i x u 不可压缩粘性流体的运动方程即 N S 方程可写为 i jj i ij i j i F xx u x p x u u t u 2 1 不可压缩紊流时均流动流动的运动方程 雷诺时均方程 iji j i jij i j i Fuu x u xx p x u u t u 1 上式中的是紊动对时均流动产生的影响 称为雷诺应力 使得 jiij uu 连续性方程和雷诺时均方程无法封闭 不易求解 因此必须引进紊流模型使之 封闭 三 紊流模型 1 零方程摸型 不使用微分方程 而用代数关系式 把紊动粘性系数与联系起来的模型 最著名的是 Prandtl 提出的混合长度模型 2 单方程模型 l K C x u x u x u x K xx K u t K D jk i i j j i t ik t ii i 2 3 KlC t 零方程模型和单方程模型具有直观 简单 计算速度快等优点 但计算容 易失真 无普遍性和通用性 仅适用于射流 喷流等简单流动 3 标准双方程模型 K k ik t ii i P x K xx K u t K 21 CC Kx K xx u t i t ii i 2 K C t 标准模型是一种适合于湍流充分发展的计算模型 计算量适中 精度 K 适用性和通用性较好 在求解带有强旋转或弯曲壁面的流动时 标准模型会产 生失真 4 RNG模型 K RNG模型是由 Yakhot 和 Orszag 提出来的 K k i effk ii i G x K a xx K u t K R K CG K C x a xx u t k i eff ii i 2 21 vd Cv vK d 1 72 1 3 2 K C R 3 0 3 1 1 2 K C t 5 Realizable模型 K 1995 年 T H Shih 等人提出了 Realizable模型 K ii t i j i i j j i t ik t ii i x g x u x u x u x K xx K u t K K CG K C K C xxx u t i t ii i 2 21 2 2 2 K C t 该模型已广范的应用于旋转流 射流 边界层流等各种形式的流动 四 边界条件的应用 1 进口边界 进口边界上的所有因变量都以本质边界条件给出 即 0 uu 0 vv 0 0 kk 0 2 出口边界 计算区域的下游边界认为流动己充分发展 各物理量沿程变化很小 即取 或 0 x u 0 x v 0 v0 x 0 x K 0 x 3 自由表面 一是在不考虑水面波动影响的情形下 只考虑自由面的切向速度 而忽略 法向速度 即所谓的刚盖假定 二是采用 VOF 模型直接模拟 4 固壁边界 在固壁上采用无滑移条件 即 0 vu 0 k 0 固体壁面附近为紊流的粘性底层 其中速度梯度很大 高雷诺数情况的计 算模型不再适用 通过常用的壁面定理求得近壁处流速 五 常用的 CFD 离散方法 1 有限差分法 finite difference method FDM 有限差分法是一种传统的数值离散方法 其基本思路是 在矩形网格上采 用差商近似代替微分方程的微商 用网格节点的差分方程逼连续函数的微分方 程 从而连续函数的微分方程求解变为离散节点值的代数方程组的求解 有限 差分方程可以用于各种类型的微分方程 数学概念清晰 计算模式易于拟定 便于编写程序 误差估计 收敛性和稳定性成熟 是运用广泛的一种方法 运 用差分离散时 可以采用不同的差分格式 如 显格式 隐格式等 从理论上说 高阶差分格式可以减小误差 但也会造成边界条件处理上的困难 传统差分方 法最大的缺点是 网格布置不灵活 网格无法与不规则的边界充分贴和 从而降 低了计算精度 为克服其局限性 许多学者致力于不规则边界处理问题的研究 诸如美国的 J F Thompson 等人提出的边界拟合坐标系 Boundary Fitted Coordinate System 方法 利用这些方法在原则上可以将任意复杂的几何边界变 成为规则的几何边界求解 然而计算区域的规则化是以控制方程的复杂化为代 价的 并且当边界存在尖角的时 会出现局部奇异现象 使计算不收敛 2 有限体积法 finite volume method FVM 有限体积法又称控制体积法 是七十年代由 Spalding 和 Patankar 等人提出 和发展来的一种离散方法 其基本思路是 将计算区域划分为一系列连续但互不 重叠的控制体积 并使每个控制体积包围一个网格节点 假定各变量在网格节 点间的变化规律 将待求解的微分方程对每一个控制体积积分 得出一组离散 方程 未知数是网格节点上因变量的数值 有限体积法物理概念清晰 实际上 反映了物理量在有限体积内守恒原理 正如微分方程表示的物理量在无限小的 体积内的守恒一样 此方法对任意控制体积都体现出准确的守恒原则 且能拟 合不规则边界 目前这种方法得到广泛的应用 3 有限单元法 finite element method FEM 有限单元法是以变分原理或加权余量法为基础的单元插值离散方法 有限 单元法的基本原理是将求解区域分解成相互连接而又不重叠的几何单元 如三角 形 四边形等 在各单元内部选取适当的点 即节点 作为插值点 把微分方程 中的变量写成经过合理选择的插值函数 逼近函数 与其导数在节点上的线性拟合 求解的手段则是应用变分原理或加权余量法 将问题的控制微分方程转化为可 以控制所有孤立单元的有限方程 最后将这些局部单元进行总体合成 可以得 到满足初始和边界条件的有限元代数方程组 求解得到各节点上的函数值 有 限单元法的优点是 具有几何形状拟合的灵活性 具有丰富的数学结构和较为完整 统一的算法 更加适用于模块化编程 且算法程序具有通用性 网格剖分灵活 能以较少的网格获得较高的精度 有限元的精度取决于单元插值函数或控制节 点之间的函数分布假设 有限单元法计算内存大 形成的矩阵不总是稀疏的 计算工作量大 程序编著复杂 传统的有限单元方法强调整体存储 因而占用 的内存大 4 有限分析法 finite analytic method FAM 有限分析法是七十年代末 美籍华人陈景仁提出的一种新的求解微分方程 的数值方法 有限分析法的基本思路是将待求解的总体区域划分为有限个子区 域 在这些区域内做一些简化 然后求解偏微分方程方程在该区域的解析解 再从解析解导出一个代数方程 将子区域上的内节点和相邻的节点联系起来 汇总所有的子区域 便得到流动区域内各网格节点上因变量的未知数与边界点 已知值之间的线性代数方程 求得其数值解 有限分析法是一种局部精确求解 得方法 它使得方程中对流 扩散特性确切的反映到计算过程中 其优点是 计 算量小 稳定性好 精度高 5 边界元法 boundary element method BEM 边界元法又称为边界积分方程法 在流体力学中称为有限基本法 它是七 十年代中期发展起来的一种数值方法 其实质是解数学物理方程中的格林函数 法 据此给出解的积分表达式 利用定解条件建立边界积分方程 由于所有的 边界积分方程不可能求出其解析界 因此 利用有限元离散 将其转化为边界 节点上的未知量表示的代数方程组 求解该代数方程组 便可以得到边界节点 上的所有未知量 以上过程可以求得边界物理量得变化 若要求解计算区域内 物理量的变化问题 则应该求得的边界节点上的未知量连同定解条件一起代入 解的积分表达式 计算相应的积分 得出区域内部节点上的数值 边界元法最 大的特点是可以使求解问题的空间降维 从而使计算工作量与所需要的内存明 显减小 边界元是计算椭圆形问题的有效方法 由于求解过程中需要控制方程 的基本解 而对于复杂问题 如求解完整的 N S 方程 难以给出基本解 所以该方 法运用有一定的限制 6 特征线法 该方法是根据数学理论将偏微分方程转化为常微分方程求解 以及通过坐 标的转换寻找可以将偏微分方程转化为常微分方程的一组特征线 然后沿特征 线积分求解 特征线法推导严谨 数值解法中精度较高 对其他方法的研究还 能取得指导作用 因此是一种基本的解法 在实际计算中 由于特征线计算网 格不规则需要同时存储节点在平面上的位置坐标和节点上的水利参数 需求的 存储量较大 所以实际计算中一般采用特征线差分方法 网格节点的位置按差 分方法布置 但解点之间关系按特征线方法原理建立 特征线法在具体计算中 具有精度高 不受稳定条件的制约等优点 其最大的优点是能用于涌潮地区 这是其它方法不能比拟的 但是特征线法也有其不足 其缺点是 特征方程为非 守恒形式 用差分方程离散特征方程时 会带来守恒性误差 特征线法多用于二 维和一维问题 六 小结 通过对 CFD 课程的学习 大体认识了 CFD 的计算流程 建立控制方程 确 定初始条件和边界条件 确定计算区域 划分网格生成计算节点 离散控制方 程 初始条件和边