高中数学 探究性试题汇编

1 高中数学探究性试题汇编高中数学探究性试题汇编 课堂教学改革的目的 一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法 二是要遵循现代教育以人为本的的观 念 给学生发展以最大的空间 三是能根据教材提供的基本知识 把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重 点 数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式 具体是指在教师的启发诱导下 以学生独立自 主学习和合作讨论为前提 以学生已有知识经验和生活经验为基础 以现行教材为基本探究内容 为学生提供充 分自由表达 质疑 探究 讨论问题的机会 让学生通过个人 小组 集体等多种解难释疑尝试活动 自己发现 问题 提出问题 分析问题 解决问题的一种教学活动形式 它可使学生学会学习和掌握科学方法 为学生终身 学习和发展奠定基础 探究性试题有助于数学思维的提高 1 已知集合 已知集合M是满足下列性质的函数是满足下列性质的函数 xf的全体 在定义域内存在的全体 在定义域内存在 0 x 使得 使得 11 00 fxfxf 成立 成立 函数 函数 x xf 1 是否属于集合是否属于集合M 说明理由 说明理由 设函数 设函数 M x a xf 1 lg 2 求 求a的取值范围 的取值范围 设函数 设函数 x y2 图象与函数图象与函数xy 的图象有交点 证明 函数的图象有交点 证明 函数 Mxxf x 2 2 解 若 x xf 1 M 在定义域内存在 0 x 则011 1 1 1 0 2 0 00 xx xx 方程01 0 2 0 xx无解 x xf 1 M 01222 2 lg 1 lg 11 lg 1 lg 2 222 aaxxa a x a x a M x a xf 2 a时 2 1 x 2 a时 由0 得 53 22 53046 2 aaa 53 53 a 122 1 22321211 0 1 0 2 0 2 0 1 00 0000 xxxxfxfxf xxxx 又 函数 x y2 图象与函数xy 的图象有交点 设交点的横坐标为a 则 01202 0 1 0 xa xa 其中1 0 ax 11 00 fxfxf 即 Mxxf x 2 2 2 已知 已知 xf是定义在是定义在R上的恒不为零的函数 且对于任意的上的恒不为零的函数 且对于任意的x Ry 都满足 都满足 yxfyfxf 1 求 求 0 f的值 并证明对任意的的值 并证明对任意的Rx 都有 都有0 xf 2 设当 设当0 x时 都有时 都有 0 fxf 证明 证明 xf在在 上是减函数 上是减函数 2 3 在 在 2 的条件下 求集合 的条件下 求集合 lim 21n n n SfSfSfSf 中的最大元素和最小元素 中的最大元素和最小元素 解 1 1 0 0 0 0 0 0 fffff 0 2 2 2 0 2 2 x f x f x fxf x f 2 当0 x时 都有 0 fxf 1 6 分 当 21 xx 即0 21 xx时 有 0 21 fxxf 1 即 1 1 2 2 121 xf xf xfxfxf 1 0 22 fxfxf xf在 上是减函数 3 xf在 上是减函数 n S 是递增数列 数列 n Sf是递减数列 集合 lim 21n n n SfSfSfSf 中的最大元素为 2 2 1 2 1 1 ffSf 最小元素为 2 1 1 lim fSf n n 3 已知等差数列 已知等差数列 n a中 公差中 公差0 d 其前 其前n项和为项和为 n S 且满足 且满足14 45 4132 aaaa 1 求数列 求数列 n a的通项公式 的通项公式 2 通过 通过 cn S b n n 构造一个新的数列构造一个新的数列 n b 是否存在一个非零常数 是否存在一个非零常数c 使 使 n b也为等差数列 也为等差数列 3 求 求 2005 1 Nn bn b nf n n 的最大值 的最大值 解 1 等差数列 n a中 公差0 d 344 9 5 14 45 14 45 3 2 32 32 41 32 nad a a aa aa aa aa n 2 2 1 2 2 341 nn nn Sn cn S b n n cn nn 2 1 2 令 2 1 c 即得nbn2 数列 n b为等差数列 存在一个非零常数 2 1 c 使 n b也为等差数列 3 200620052 1 2006 2005 1 12005 2005 1 n n nn n bn b nf n n 0802079212005289442005200545 3 即442005200545 45 n时 nf有最大值 18860 9 462050 45 4 已知数列 已知数列 n a中 中 1 1 a且点且点 NnaaP nn1 在直线在直线01 yx上上 1 求数列 求数列 n a的通项公式 的通项公式 2 若函数 若函数 2 321 321 nNn an n ananan nf n 且 求函数求函数 nf的最小值 的最小值 3 设 设 n n n S a b 1 表示数列表示数列 n b的前项和 试问 是否存在关于的前项和 试问 是否存在关于n的整式的整式 ng 使得 使得 ngSSSSS nn 1 1321 对于一切不小于对于一切不小于 2 的自然数的自然数n恒成立 若存在 写出恒成立 若存在 写出 ng的解的解 析式 并加以证明 若不存在 试说明理由 析式 并加以证明 若不存在 试说明理由 111 1 1 101 1 11 1 1 1 2 1 3 nnnn n nn P a axyaaa a ann naan 解 点在直线上 即且 数列是以为首项 为公差的等差数列 也满足分 111 2 122 111111 1 23422122 111111 1 0 6 2122122221 7 2 8 12 f n nnn f n nnnnnn f nf n nnnnnn f nf nf 分 是单调递增的 故的最小值是 分 1 11122211 1121 121 11111 31 2 10 23 1 1 1 2 1 1 1 1 2 13 nnnn nnnnnn nn nnn bSSSn nnn nSnSSnSnSSSSS nSSSSSn SSSnSnSn ng nn 分 即 分 故存在 214ng nnn 关于的整式 使等式对于一切不小于的自然数恒成立分 5 5 设函数 设函数 1 xxg 函数 函数 ax x xh 3 3 1 其中 其中a为常数且为常数且0 a 令函数 令函数 xf为函数为函数 xg和和 xh 的积函数 的积函数 1 1 求函数 求函数 xf的表达式 并求其定义域 的表达式 并求其定义域 2 2 当 当 4 1 a时 求函数时 求函数 xf的值域 的值域 3 3 是否存在自然数 是否存在自然数a 使得函数 使得函数 xf的值域恰为的值域恰为 2 1 3 1 若存在 试写出所有满足条件的自然数 若存在 试写出所有满足条件的自然数a所构成所构成 的集合 若不存在 试说明理由 的集合 若不存在 试说明理由 解 1 3 1 x x xf 0 0 aax 2 4 1 a 函数 xf的定义域为 4 1 0 令tx 1 则 2 1 tx 2 3 1t 4 2 4 1 42 2 t t tt t tFxf t t 4 时 2 3 12t 又 2 3 1t时 t t 4 递减 tF单调递增 13 6 3 1 tF 即函数 xf的值域为 13 6 3 1 3 假设存在这样的自然数a满足条件 令tx 1 则 2 4 1 42 2 t t tt t tFxf 0 0 aax 则 1 1 at 要满足值域为 2 1 3 1 则要满足 2 1 max tF 由于当且仅当 t t 4 2 t时 有4 4 t t中的等号成立 且此时 2 1 tF恰为最大值 11 12 aa 又 tF在 2 1上是增函数 在 1 2 a上是减函数 3 1 3 1 1 a a aF90 a 综上 得 91 a 6 6 已知二次函数 已知二次函数 Rxaaxxxf 2 同时满足 同时满足 不等式不等式 0 xf的解集有且只有一个元素 的解集有且只有一个元素 在定义在定义 域内存在域内存在 21 0 xx 使得不等式 使得不等式 21 xfxf 成立 成立 设数列设数列 n a的前的前n项和项和 nfSn 1 1 求数列 求数列 n a的通项公式 的通项公式 2 2 试构造一个数列 试构造一个数列 n b 写出 写出 n b的一个通项公式 满足 对任意的正整数的一个通项公式 满足 对任意的正整数n都有都有 nn ab 且 且 2lim n n n b a 并说明理由 并说明理由 3 3 设各项均不为零的数列 设各项均不为零的数列 n c中 所有满足中 所有满足0 1 ii cc的正整数的正整数i的个数称为这个数列的个数称为这个数列 n c的变号数 令的变号数 令 n n a a c 1 n为正整数 为正整数 求数列 求数列 n c的变号数 的变号数 解 1 0 xf的解集有且只有一个元素 4004 2 aaaa或 当0 a时 函数 2 xxf 在 0上递增 故不存在 21 0 xx 使得不等式 21 xfxf 成立 当4 a时 函数 44 2 xxxf在 2 0上递减 故存在 21 0 xx 使得不等式 21 xfxf 成 5 立 综上 得4 a 44 2 xxxf 44 2 nnSn 2 要使2lim n n n b a 可构造数列knbn 对任意的正整数n都有 nn ab 当2 n时 52 nkn恒成立 即kn 5恒成立 即325 kk 又0 n b Nk 2 3 nbn 等等 3 解法一 由题设 2 52 4 1 1 3 n n n cn 3 n时 0 3252 8 32 4 52 4 1 nnnn cc nn 3 n时 数列 n c递增 0 3 1 4 a 由50 52 4 1 n n 可知0 54 aa 即3 n时 有且只有1个变号数 又 3 5 3 321 ccc 即0 0 3221 cccc 此处变号数有2个 综上得 数列 n c共有3个变号数 即变号数为3 解法二 由题设 2 52 4 1 1 3 n n n cn 2 n时 令42 2 9 2 7 2 5 2 3 0 32 72 52 92 0 1 nnnn n n n n cc nn 或或 又 5 3 21 cc 1 n时也有0 21 cc 综上得 数列 n c共有3个变号数 即变号数为3 7 7 已知复数 已知复数i a aa aaz 4 152 6 2 2 2 1 1 当 当 2 2 a时 求时 求i a aa z 4 152 2 2 的取值范围 的取值范围 2 2 是否存在实数 是否存在实数a 使得 使得0 2 z 若存在 求出 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 的值 若不存在 说明理由 解 1 2 2 a 4 25 0 4 25 2 1 66 4 152 2 22 2 2 aaaaai a aa z 2 理 0 2 z z为纯虚数 a aa aa a aa aaaa 0 22 53 4 152 0236 2 2 2 6 8 8 已知 已知 axxxaxf 2 2 2 1 32 为正常数 为正常数 1 1 可以证明 定理 可以证明 定理 若若a Rb 则 则ab ba 2 当且仅当 当且仅当ba 时取等号 时取等号 推广到三个正数时推广到三个正数时 结论是正确的 试写出推广后的结论 无需证明 结论是正确的 试写出推广后的结论 无需证明 2 2 若 若 0 xf在在 2 0上恒成立 且函数上恒成立 且函数 xf的最大值大于的最大值大于1 求实数 求实数a的取值范围 并由此猜测的取值范围 并由此猜测 xfy 的单调性 无需证明 的单调性 无需证明 3 3 对满足 对满足 2 2 的条件的一个常数 的条件的一个常数a 设 设 1 xx 时 时 xf取得最大值 试构造一个定义在取得最大值 试构造一个定义在 NkkxxxD 24 2 且上的函数上的函数 xg 使当 使当 2 2 x时 时 xfxg 当 当Dx 时 时 xg取得最大值的自变量的值构成以取得最大值的自变量的值构成以 1 x为首项的等差数列 为首项的等差数列 解 1 若a b Rc 则 3 3 abc cba 当且仅当cba 时取等号 2 0 2 1 2 1 2232 xaxxxaxf在 2 0上恒成立 即 22 2 1 xa 在 2 0上恒成立 2 0 2 1 2 x 2 2 a 即2 a 又 3 2 3 22222 22222 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 a xaxax xaxaxxf 222 2 1 xax 即ax 3 6 时 2 6 2 6 4 63 62 9 1 9 62 3 33 max aaaf 又 ax 3 6 2 0 6 0 a 综上 得 6 2 a 易知 xf是奇函数 ax 3 6 时 函数有最大值 ax 3 6 时 函数有最小值 故猜测 2 3 6 3 6 2aax时 xf单调递减 aax 3 6 3 6 时 xf单调递增 3 依题意 只需构造以4为周期的周期函数即可 如对 Nkkkx 24 24 2 24 kx 此时 kxfkxgxg44 即 Nkkkxkxkxaxg 24 24 4 2 1 4 3 2 9 9 已知函数 已知函数 xbbaxxf 22 242 2 1axxg Rba 当 当0 b时 若时 若 xf在在 2上单调递增 求上单调递增 求a的取值范围 的取值范围 7 求满足下列条件的所有实数对 求满足下列条件的所有实数对 ba 当 当a是整数时 存在是整数时 存在 0 x 使得 使得 0 xf是是 xf的最大值 的最大值 0 xg是是 xg 的最小值 的最小值 对满足 对满足 的条件的一个实数对 的条件的一个实数对 ba 试构造一个定义在 试构造一个定义在 2 xxD 且 且 Nkkx 22上上 的函数的函数 xh 使当 使当 0 2 x时 时 xfxh 当 当Dx 时 时 xh取得最大值的自变量的值构成以取得最大值的自变量的值构成以 0 x为首项的等差数列 为首项的等差数列 解 当0 b时 xaxxf4 2 若0 a xxf4 则 xf在 2上单调递减 不符题意 故0 a 要使 xf在 2上单调递增 必须满足 2 2 4 0 a a 1 a 若0 a xbbxf 2 242 则 xf无最大值 故0 a xf为二次函数 要使 xf有最大值 必须满足 024 0 2 bb a 即0 a且5151 b 此时 a bb xx 2 0 24 时 xf有最大值 又 xg取最小值时 axx 0 依题意 有Za a bb 2 24 则 2 22 1524 bbba 0 a且5151 b Zaa 50 2 得1 a 此时1 b或3 b 满足条件的实数对 ba 是 3 1 1 1 当实数对 ba 是 3 1 1 1 时 xxxf2 2 依题意 只需构造以 2 或 2 的正整数倍 为周期的周期函数即可 如对 kkx2 22 0 22 kxNk 此时 kxkxkxfkxhxh22222 2 故 Nkkkxkxkxxh 2 22 222 2 10 10 已知在数列已知在数列 n a中 中 1 1 a 122 nn qaa daa nn 212 q d R q 0 0 1 1 若 若q 2 2 d 1 1 求 求 3 a 4 a 并猜测 并猜测 2006 a 2 2 若 若 12 n a是等比数列 且是等比数列 且 2n a是等比数列 求是等比数列 求q d满足的条件 满足的条件 3 3 一个质点从原点出发 依次按向右 向上 向左 向下的方向交替地运动 第 一个质点从原点出发 依次按向右 向上 向左 向下的方向交替地运动 第n次次 8 运动的位移是运动的位移是 n a 质点到达点 质点到达点 n P 设点 设点 n P4的横坐标为的横坐标为 n x4 若 若d 0 0 若 若 3 2 4 lim n n x 求求q 解 1 22 11 2 1 342321 aaaaaa 2 猜测 2 2006 a 4 2 理 由 122 nn qaa daa nn 212 得dqaa nn 1212 当0 d时 1212 nn qaa 显然 12 n a是等比数列 当0 d时 因为1 1 a 只有1 12 n a时 12 n a才是等比数列 dqaa nn 1212 1 dq 即0 0 qd 或1 dq 由 122 nn qaa daa nn 212 得qdqaa nn 222 n 2 当1 q时 daa nn 222 n 2 显然 2n a是等差数列 当1 q时 qqaa 12 只有qa n 2 时 2n a才是等差数列 1 222 dqdaqa nn 即1 q 或1 dq 综上 q d满足的条件是1 dq 3 1212 nn qaa 1 12 n n qa 12 32 8314 1 1qqqxqaax 122232 4 1 nn n qqqqqx 3 2 1 1 4 lim qn n x 2 1 q 1111 已知函数 已知函数 1 xfxf 1 12 xfxf 为偶数 为奇数 n ff nxf xf n n n 1 x 1 1 1 1 1 若函数 若函数xxf 1 求函数 求函数 3 xf 4 xf的解析式 的解析式 2 2 若函数 若函数 1 log 21 axxxf 函数 函数 43 xfxfy 的定义域是的定义域是 1 2 1 2 求求a的值 的值 3 3 设 设 xf是定义在是定义在R上的周期为上的周期为 4 4 的奇函数 且函数的奇函数 且函数 xf的图像关于直线的图像关于直线ax 对称 当对称 当 1 0 x时 时 xxf 求正数 求正数a的最小值及函数的最小值及函数 xf在在 2 2 2 2 上上 的解析式 的解析式 解 1 0 1 xxxf 1 0 2 1 12 xxxfxf 1 1 1 1 2 1213 xxxfxffxf 0 1 1 34 xxxfxf 2 1 log 21 axxxf log 0 2 2 1 12 axxfxf x log1 1 1 2 log 1 2 1 2213 axxxffxf x log 0 1 2 1 34 axxxfxf log 1 1 2 2 43 axxxfxfy 由题设 得42log2 aa 3 xf是定义在 R 上的奇函数 xfxf 函数 xf的图象关于直线ax 对称 2 xafxf 在 式中以x 替换x 得 2 xafxf 由 式和 式 得 2 xfxaf 在 式中以ax2 替换x 得 2 4 xafxaf 由 式和 式 得 4 xfxaf 14 xf是定义在 R 上的周期为 4 的奇函数 正数a的最小值是 1 当x 0 1 时 xxf 当x 1 0 时 x 0 1 xfxxf 即xxf 函数 xf的图象关于直线1 x对称 9 当x 1 2 时 2 x 0 1 xxfxf 2 2 当x 2 1 当 x 1 2 2 xfxxf 即xxf 2 1 2 2 0 1 1 0 2 1 2 xx xx xx xx xf 12 12 已知等差数列已知等差数列 n a的首项为的首项为p 公差为 公差为 0 dd 对于不同对于不同 的自然数的自然数n n 直线 直线 n ax 与与x x轴和指数函数轴和指数函数 x xf 2 1 的图像分的图像分 别交于点别交于点 nn BA 与 如图所示 如图所示 记 记 n B的坐标为的坐标为 nn ba 直角梯 直角梯 形形 1221 BBAA 2332 BBAA的面积分别为的面积分别为 1 s和和 2 s 一般地记直角梯 一般地记直角梯 形形 nnnn BBAA 11 的面积为的面积为 n s 1 1 求证数列求证数列 n s是公比绝对值小于是公比绝对值小于 1 1 的等比数列 的等比数列 2 2 设设 n a的公差的公差1 d 是否存在这样的正整数 是否存在这样的正整数n n 构 构 成以成以 21 nnn bbb为边长的三角形 并请说明理由 为边长的三角形 并请说明理由 3 3 理 设 理 设 n a的公差的公差 0 dd为已知常数 是否存在这样的实数为已知常数 是否存在这样的实数p p使得 使得 1 1 中无穷等比数列 中无穷等比数列 n s各各 项的和项的和 S 2010S 2010 并请说明理由 并请说明理由 文 设 文 设 n a的公差的公差1 d 是否存在这样的实数 是否存在这样的实数p p使得 使得 1 1 中无穷等比数列 中无穷等比数列 n s各项的和各项的和 S 2010S 2010 如果存在 给出一个符合条件的如果存在 给出一个符合条件的p p值 如果不存在 请说明理由值 如果不存在 请说明理由 解 1 dnpan 1 dnp n b 1 2 1 2 分 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 nddnpndpdnp n dd s 对于任意自然数 n nddn dnnd n n s s 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 d d d 2 1 12 2 1 1 所以数列 n s是等比数列且公比 d q 2 1 因为0 d 所以1 q 4 分 写成 ndaddnanda n d d s 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 1 111 得公比 d q 2 1 也可 2 2 1 1 nnan 2 2 1 n n b 对每个正整数n 21 nnn bbb 6 分 若以 21 nnn bbb为边长能构成一个三角形 则 nnn bbb 12 即 21 2 1 2 1 2 1 nnn 1 2 4 这是不可能的 9 分 所以对每一个正整数n 以 21 nnn bbb为边长不能构成三角形 10 分 A1 O B3 B2 B1 A3x y A2 10 3 理 由 1 知 10 q dp d d s 22 21 1 1 11 分 所以 12 2 12 1 1 1 dp d d q s S 14 分 若 12 20102 12 22010 12 2 12 1 d d p dp d dd S 则 16 分 两边取对数 知只要pa 1 取值为小于 12 20102 12 log2 d d d 的实数 就有 S 2010 18 分 说明 如果分别给出 1 a与 d 的具体值 说明清楚问题 也参照前面的评分标准酌情给分 但不得超过该部分分值 的一半 文 p s 2 1 2 3 2 1 q 11 分 所以 q s S 1 1 1 2 3 p 14 分 如果存在p使得2010 2 3 1 p S 即 1340 1 4020 3 2 p 16 分 两边取对数得 1340log2 p 因此符合条件的p值存在 4 101340log2 可取 p 11 等 18 分 说明 通过具体的p值 验证2010 2 3 1 p S也可 13 函数 函数 f x bax x a b 是非零实常数是非零实常数 满足 满足 f 2 1 且方程 且方程 f x x 有且仅有一个解 有且仅有一个解 1 求求 a b 的值 的值 2 是否存在实常数是否存在实常数 m 使得对定义域中任意的 使得对定义域中任意的 x f x f m x 4 恒成立 为什么 恒成立 为什么 3 在直角坐标系中 求定点在直角坐标系中 求定点 A 3 1 到此函数图象上任意一点到此函数图象上任意一点 P 的距离的距离 AP 的最小值 的最小值 1 由 f 2 1 得 2a b 2 又 x 0 一定是方程 bax x x 的解 所以 bax 1 1 无解或有解为 0 若无解 则 ax b 1 无解 得 a 0 矛盾 若有解为 0 则 b 1 所以 a 2 1 2 f x 2 2 x x 设存在常数 m 使得对定义域中任意的 x f x f m x 4 恒成立 取 x 0 则 f 0 f m 0 4 即 2 2 m m 4 m 4 必要性 又 m 4 时 f x f 4 x 24 4 2 2 2 x x x x 4 成立 充分性 所以存在常数 m 4 使得对定义域中任意的 x f x f m x 4 恒成立 3 AP 2 x 3 2 2 2 x x 2 设 x 2 t t 0 11 则 AP 2 t 1 2 t t4 2 t2 2t 2 t 8 2 16 t t2 2 16 t 2 t t 4 2 t t 4 2 2 t t 4 10 t t 4 1 2 9 所以当 t t 4 1 0 时即 t 2 171 也就是 x 2 175 时 AP min 3 14 已知元素为实数的集合已知元素为实数的集合S满足下列条件 满足下列条件 1 0S 若若aS 则 则 1 1 S a 1若若 2 2S 求使元素个数最少的集合 求使元素个数最少的集合S 2在上一小题求得的集合在上一小题求得的集合S中 任取中 任取 3 个不同元素个不同元素 a b c 求使 求使1abc 的概率 的概率 3 本小题选理科的学生做 选文科的学生不做 本小题选理科的学生做 选文科的学生不做 若非空集合若非空集合S为有限集 则你对集合为有限集 则你对集合S的元素个数有何猜测 并请证明你的猜测正确 的元素个数有何猜测 并请证明你的猜测正确 解 1111 1 212 1 1 2112 1 2 SSSS 11131 22 13 1232 11 32 SSSS 使 2 2S 的元素个数最少的集合S为 11 3 2 1 2 23 2 2设 a b c是 11 3 2 1 2 23 2 S 中三个不同元素 且使1abc 由于S中仅有 2 个负数 故只有如下 两种可能 113 211 21 232 所相对的概率为 3 6 21 10 P C 3非空有限集S的元素个数是 3 的倍数 证明如下 设 aS 则0 1a 且 1111 11 1 11 1 a aSSSaS a aa aa 由于 2 1 101 1 aaaa a 但 2 10aa 无实数根 故 1 1 a a 同理 111 1 aa a aaa 11 1 a aS aa 12 若存在bS 而 11 1 a ba aa 则 11 1 b bS bb 且 1111 11 ab ab aabb 若 11 1 b b bb 中有元素 11 1 a a aa 则利用前述的 式可知b 11 1 a a aa 于是 1111 11 ab abS aabb 上述推理还可继续 由于S为有限集 故上述推理有限步可中止 S的元素个数为3的倍数 15 15 已知二次函数已知二次函数 0 2 ababxaxxf为常数且 满足条件 满足条件 5 xf 3 xf 且方程 且方程 xf x有有 等根 等根 1 1 求求 xf的解析式 的解析式 2 2 是否存在实数是否存在实数 m m n m n n m n 使 使 xf的定义域和值域分别是的定义域和值域分别是 m m n n 和和 3m 3m 3n 3n 如果存在 求出如果存在 求出 m m n n 的值 的值 若不存在 说明理由 若不存在 说明理由 解解 1 由条件易得 2 1 1 22 1 1 0 b a a bb 2 1 2 f xxx 7 分 2 假设存在这样的 m n 满足条件 由于 22 111 1 222 f xxxx 所以 3n 即 n mn m 时 时 a an n 2 2 2 若存在 求出若存在 求出 m m 的值 若的值 若 不存在 说明理由 不存在 说明理由 3 3 当当 n 10n 10 时 证明时 证明 2 11 nn aa a an n 解 1 a8 12 7 43 7 7 a a a9 8 7 43 8 8 a a a10 3 4 7 43 9 9 a a 2 an 2 1 1 1 1 7 2 5 2 7 43 n n n n a a a a 当 an 2 2 时 an 2 又 a9 8 2 故当 n 8 时 an 2 由 an 1 1 7 43 n n a a 得 an 1 n n a a 3 47 an 1 2 n n a a 3 2 5 当 an 2 时 an 1 2 又 a8 12 2 当 n 8 时 an 2 综上所述 满足条件的 m 存在 且 m 8 3 an 1 an 1 2an n n a a 3 47 an n n n a a a 7 43 3 7 2 2 7 2 3 2 322 nn n n n n n aa a a a a a a10 3 4 3 2 20 下面证明 当 n 10 时 3 an 2 其中当 n 10 时 an 2 已证 只需证当 n 10 时 an 3 an 3 1 1 7 43 n n a a 3 1 7 25 n a 当 an 1 3 2 时 1 7 25 n a 0 即 an 3 当 n 10 时 3 an 2 因此 当 n 10 时 an 1 an 1 2an 3 7 2 2 3 nn n aa a 0 即 2 11 nn aa an 2727 设数列 设数列 a an n 的首项为 的首项为 1 1 前 前 n n 项和为项和为 S Sn n 且对任意大于或等于 且对任意大于或等于 2 2 的自然数的自然数 n n 等式 等式 3tS3tSn n 2t 3 S 2t 3 Sn 1 n 1 3t 3t 成成 立 立 1 1 若 若 t t 为正常数 证明数列为正常数 证明数列 a an n 成等比数列 并求数列的公比成等比数列 并求数列的公比 q q 及前及前 n n 项和 项和 2 2 对 对 1 1 中求得的 中求得的 q q 若 若 t t 为变量 令为变量 令 f t q f t q 设函数设函数 g t 3tg t 3t3 3f t f t 且设且设 t Rt R 求 求 g t g t 的单调区间和极的单调区间和极 值 值 3 3 研究 研究 g t g t k 0k 0 的解的个数的解的个数 解 1 由题可知 当 n 2 时 3tS2 2t 3 S1 3t a2 又 a1 1 所以 2t 3 3t a2 a1 2t 3 3t 当 n 2 时 由 3tSn 2t 3 Sn 1 3t 与 3tSn 1 2t 3 Sn 2 3t 两式相减可得 3tan 2t 3 an 1 0 由上可知 对于自然数 n 都有 an an 1 2t 3 3t an an 1 式子成立 故 an 成等比数列 且公比 q 2t 3 3t 2t 3 3t 若 t 3 时 q 1 此时 Sn n 若 t 0 t 3 时 则 Sn 3t n 2t 3 n 3t n 1 t 3 2 由题可知 q f t g t 3t3 g t 2t3 3t2 g t 6t2 6t 6t t 1 所以 2t 3 3t 2t 3 3t t 1 1 1 0 0 0 g t g t 增 1 减 0 增 当 t 1 时 g t 有极大值 1 当 t 0 时 g t 有极小值 0 3 画出 y g t 及 y k 的图象可得 当 k 1 或 k 0 时 有一解 当 k 1 或 k 0 时 有二解 当 0 k0 即 0 13 3 44 22 kk 解得 2 13 2 13 k 9 分 若以 AB 为直径的圆过 D 0 2 则 AD BD 1 BDAD kk 即1 22 2 2 1 1 x y x y 11 0 3 3 0 2 2 21212121 分 xxkxkxxxyy 12 09 3 2 3 3 13 1 09 3 1 22 2 2121 2 分 k k k k kxxkxxk 解得 2 13 2 13 4 14 8 7 2 kk 故存在 k 值 所求 k 值为 4 14 30 已知数列 已知数列 n a的前的前n项和项和 n S满足满足 1 2 2 211 aakSS nn 又 求 求 k 的值 的值 求 求 n S 是否存在正整数 是否存在正整数 nm使使 2 1 1 mS mS n n 成立 若存在求出这样的正整数 若不存在 说明理由成立 若存在求出这样的正整数 若不存在 说明理由 解 I 22 12112 kaaakSS 又 2 1 2212 1 2 21 kkaa 2 分 由 I 知2 2 1 1 nn SS 23 当2 n时 2 2 1 1 nn SS 得 2 2 1 1 naa nn 4 分 又 12 2 1 aa 易见 2 1 0 1 Nn a a Nna n n n 于是 n a是等比数列 公比为 2 1 所以 2 1 1 4 2 1 1 2 1 1 2 n n n S 6 分 不等式 2 1 1 mS mS n n 即 2 1 2 1 1 4 2 1 1 4 1 m m n n 整理得6 4 22 m n 8 分 假设存在正整数nm 使得上面的不等式成立 由于 2n为偶数 m 4为整数 则只能是4 4 2 m n 14 42 24 22 mm nn 或 10 分 因此 存在正整数 2 1 2 3 1 2 1 mS mS nmnm n n 使或 12 31 在平面直角坐标系中 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 已知两点为坐标原点 已知两点 3 1 M 1 5 N 若点 若点C满足满足 ONtOMtOC 1 Rt 点 点C的轨迹与抛物线 的轨迹与抛物线 xy4 2 交于交于A B两点两点 求证 求证 OA OB 在 在x轴上是否存在一点轴上是否存在一点 0 mP 使得过点 使得过点P直线交抛物线于直线交抛物线于 D E 两点 并以该弦两点 并以该弦 DE 为直径的圆都过为直径的圆都过 原点 若存在 请求出原点 若存在 请求出m的值及圆心的轨迹方程 若不存在 请说明理由的值及圆心的轨迹方程 若不存在 请说明理由 解 1 解 由ONtOMtOC 1 Rt 知点C的轨迹是M N两点所在的直线 故 点C的轨迹方 程是 1 4 3 1 3 xy即4 xy 2 分 由016124 4 4 4 22 2 xxxx xy xy 16 21 xx 12 21 xx 1616 4 4 4 212121 xxxxxxyy 0 2121 yyxx 故 OA OB 6 分 2 解 存在点 0 4 P 使得过点P任作抛物线的一条弦 以该弦为直径的圆都过原点 24 由题意知 弦所在的直线的斜率不为零 7 分 故 设弦所在的直线方程为 4 kyx 代入 xy 2 得 0164 2 kyy kyy4 21 16 21 yy 1 16 1616 44 21 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 yyy y y y x y x y kk OBOA OBOA 故以AB为直径的圆都过原点 10 分 设弦AB的中点为 yxM 则 2 1 21 xxx 2 1 21 yyy 848 4 8 44 2 212121 kkkyykkykyxx 弦AB的中点M的轨迹方程为 ky kx 2 42 2 消去k得 82 2 xy 14 分 32 设函数 设函数 mxexf mx 其中 R I 求函数 求函数 xf的最值 的最值 给出定理 如果函数 给出定理 如果函数 xfy 在区间在区间 ba 上连续 并且有上连续 并且有0 bfaf 那么 函数 那么 函数 xfy 在区间在区间 ba内有零点 即存在内有零点 即存在0 00 xfbax使得 运用上述定理判断 当运用上述定理判断 当1 m时 函数时 函数 xf在区间在区间 2 mm内是否存在零点内是否存在零点 解 I 1 mx exfxf上连续在 令 0 mxxf 得 2 分 1 0 1 0 1 min mmfxf xfmx xfemx xfemx mx mx 取极小值也是最小值时当所以 时当 时当 由 知 f x 无最大值 6 分 函数 f x 在 m 2m 上连续 02 1 2 2 2 2 emgmemg memg memf m m m 则 令 而 1 在mg上递增 8 分 由 0 2 0 1 02 1 mfgmgeg即得 10 分 又 0 2 01 mfmfmmf 25 根据定理 可判断函数 f x 在区间 m 2m 上存在零点 12 分 33 已知数列 已知数列 an 有有 a1 a a2 p 常数常数 p 0 对任意的正整数 对任意的正整数 n Sn a1 a2 an 并有 并有 Sn满足满足 2 1 aan S n n 1 求求 a 的值 的值 2 试确定数列试确定数列 an 是否是等差数列 若是 求出其通项公式 若不是 说明理由 是否是等差数列 若是 求出其通项公式 若不是 说明理由 3 对于数列对于数列 bn 假如存在一个常数 假如存在一个常数 b 使得对任意的正整数使得对任意的正整数 n 都有都有 bn0 可得 1 10ln 0ln 212211 xxxxgxxg 由于 所以 21 xx 不妨设 21 1xx 32 由 和 可得 2 2 2 1 1 1 ln 2 2 3 ln ln 2 2 3 ln x x x x x x 利用比例性质得 2 2 2 2 1 1 1 1 ln ln 2 2 3 ln ln ln 2 2 3 ln x x x x x x x x 即 ln 2 2 3 1ln ln 2 2 3 1ln 2 22 1 11 x xx x xx 13 分 由于 1 ln 是区间x上的恒正增函数 且 1 ln ln 1 2 1 21 x x xx 又由于 1 2 2 3 1ln 是区间 xx 上的恒正减函数 且 1 21 xx 1 2 2 3 1ln 2 2 3 1ln 22 11 xx xx 2 22 1 11 22 11 2 1 ln 2 2 3 1ln ln 2 2 3 1ln 2 2 3 1ln 2 2 3 1ln ln ln x xx x xx xx xx x x 这与 式矛盾 因此满足条件的正数 k 不存在 14 分 4141 数列 数列 n a 32 1 2 11 Nnnnaaa nn 是否存在常数是否存在常数 使得数列 使得数列 nnan 2 是等比数列 若存在 求出是等比数列 若存在 求出 的值 若不存在 说明理的值 若不存在 说明理 由 由 设设 nn n n n bbbb S na b 321 1 2 1 证明 当 证明 当2 n时 时 3 5 12 1 6 n S nn n 解 设 2 1 1 32 22 1 2 1 nnannannaa nnnn 可化为 即 nnaa nn 2 2 2 1 2 分 故 1 1 0 32 1 解得 4 分 222 11 23 1 1 2 nnnn aannannann 可化为 5 分 又0112 1 a 6 分 故存在 nnan 2 1 1使得数列是等比数列 7 分 证明 由 得 221 1 11 2n n anna nna n n 21 2 故 21 1 2 1 nna b n n n 8 分 222 14422 4412121 n b nnnnn 9 分 33 123 222222 2 1 35572121 nn nSbbbb nn 时 225 1 3213n 11 分 现证 2 12 1 6 n nn n Sn 当 4 5 4 1 12 21 bbSn n 时 5 4 4 5 5 4 53 12 12 1 6 nn n 而 故2 n时不等式成立 12 分 当 1 11 1 11 3 2 nnnnn bn n 由时得 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 321 nn bbbbS nn 11 1 1 n n n 且由 12 6 1612 n n得 6 1 1 21 n nn S nnn 14 分 42 已知函数 已知函数 22 3 3f xxaxaa a 为常数 为常数 1 如果对任意 如果对任意 2 1 2 xf xa 恒成立 求实数恒成立 求实数 a 的取值范围 的取值范围 2 设实数 设实数 p q r满足 满足 p q r中的某一个数恰好等于中的某一个数恰好等于 a 且另两个恰为方程 且另两个恰为方程 0f x 的两实根 判断的两实根 判断 pqr 222 pqr 333 pqr 是否为定值 若是定值请求出 若不是定值 请把不是定值是否为定值 若是定值请求出 若不是定值 请把不是定值 的表示为函数的表示为函数 g a 并求 并求 g a的最小值 的最小值 3 对于 对于 2 中的 中的 g a 设 设 1 27 6 H ag a 数列 数列 n a满足满足 1 nn aH a nN 且 且 1 0 1 a 试判断试判断 1n a 与与 n a的大小 并证明的大小 并证明 解 1 22 3 30f xaxaxa 3 0 xxa 对 1 2 x 恒成立 又30 x 恒成立 0 xa 对 1 2 x 恒成立 ax 又 2 1 x 2 a 2 由 22 3 4 3 0aaa 得 13a 不妨设ap 则 q r 恰为方程两根 由韦达定理得 2 3 3 pqrqraa 22222222 2 3 2 3 9pqraqrpraaaa 而 333333 pqraqr 34 322 aqr qqrr 32 3927 aa 设 32 3927g aaa 求导得 2 9189 2 g aaaa a 当 2 3 a 时 0 g ag a 递增 当 0 2 a 时 0 g ag a 递减 当 1 0 a 时 0 g ag a 递增 g a 在 1 3 上的最小值为min 1 2 min 15 15 15gg 3 32 11 27 39 66 H ag aaa 如果 0 1 a 则 2 31 33 1 0 22 H aaaaa H a 在 0 1 为递增函数 32 1 1 0 1 0 1 39 6 nnnn H aHHaH aaa 12 0 1 0 1 0 1 n aaa 又 32 1 131 2 1 0 222 nnnnnnnn aaaaaa aa 1 nn aa 43 设数列 设数列 an 的各项都是正数 且对任意的各项都是正数 且对任意 n N 都有 都有 233 3 3 2 3 1nn Saaaa 记 记 Sn为数列为数列 an 的前的前 n 项项 和和 1 求证 求证 2 n a 2Sn an 2 求数列 求数列 an 的通项公式 的通项公式 3 若 若 n ann n b2 1 3 1 为非零常数 为非零常数 n N 问是否存在整数 问是否存在整数 使得对任意 使得对任意 n N 都有 都有 bn 1 bn 解 1 在已知式中 当 n 1 时 2 1 3 1 aa a1 0 a1 1 1 分 当 n 2 时 233 3 3 2 3 1nn Saaaa 2 1 3 1 3 3 3 2 3 1 nn Saaaa 得 222 121 3 nnnn aaaaaa 3 分 an 0 2 n a 2a1 2a2 2an 1 an 即 2 n a 2Sn an a1 1 适合上式 2 n a 2Sn an n N 5 分 35 2 由 1 知 2 n a 2Sn an N 当 n 2 时 2 1 n a 2Sn 1 an 1 得 2 n a 2 1 n a 2 Sn Sn 1 an an 1 2an an an 1 an an 1 an an 1 0 an an 1 1 8 分 数列 an 是等差数列 首项为 1 公差为 1 可得 an n 9 分 3 nnnann