2018圆锥曲线知识点总结

椭圆 双曲线方程知识汇总椭圆 双曲线方程知识汇总 椭圆椭圆双曲线双曲线 焦点在焦点在轴上轴上x焦点在焦点在轴上轴上y焦点在焦点在轴上轴上x焦点在焦点在轴上轴上y 定定 义义 a PF PF2 21 cFF2 21 不不存存在在线线段段 椭椭圆圆 cacaca a PF PF2 21 cFF2 21 不不存存在在射射线线 双双曲曲线线cacaca 标准方程标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 参数方程参数方程 sin cos by ax sin cos ay bx tan sec by ax sec tan ay bx 图图 形形 xy 范范 围围 byb axa aya bxb Ry axax 或或 ayay Rx 或或 顶点坐标顶点坐标 长轴顶点长轴顶点 0 0 aa 短轴顶点短轴顶点 0 0 bb 长轴顶点长轴顶点 0 0 aa 短轴顶点短轴顶点 0 0 bb 顶点顶点 0 0 aa 顶点顶点 0 0 aa 对称性对称性对称轴 对称轴 x 轴 轴 y 轴 轴 对称中心 坐标原点对称中心 坐标原点 各各 个个 轴轴长轴长轴 2a 短轴短轴 2b 焦距焦距 2c实轴实轴 2a 虚轴虚轴 2b 焦距焦距 2c 恒恒 等等 式式 222 cba 222 bac 焦点坐标焦点坐标左右左右 0 0 21 cFcF 上下上下 0 0 21 cFcF 左右左右 0 0 21 cFcF 上下上下 0 0 21 cFcF 准线方程准线方程 c a x 2 c a y 2 c a x 2 c a y 2 焦焦 半半 径径 0 0 exaPF exaPF 右右 左左 0 0 eyaPF eyaPF 下下 上上 右右准准 左左准准 右右准准 左左准准 右右 左左 0 0 0 0 exa exa PF exa exa PF 下下准准 上上准准 下下准准 上上准准 下下 上上 0 0 0 0 exa exa PF exa exa PF 通通 径径 大小 大小cx 2 2b a 大小 大小cy 2 2b a 大小 大小cx 2 2b a 大小 大小cy 2 2b a 离离 心心 率率 10 e a c e 1 e a c e x a b y x b a y 渐近线方程渐近线方程 渐近线斜率渐近线斜率 k 与离心率与离心率 e 的关系的关系1 2 ek 1 1 2 e k 说明 说明 1 解题方法 用定义 数形结合 合理设参量等等 解题方法 用定义 数形结合 合理设参量等等 2 注意正弦定理 余弦定理等所学知识的应用 注意正弦定理 余弦定理等所学知识的应用 3 加强计算能力培养 加强计算能力培养 4 如果中心不在原点 对坐标轴或图像作适当平移后解答 如果中心不在原点 对坐标轴或图像作适当平移后解答 5 以上加 以上加 的知识为了解内容的知识为了解内容 抛物线知识汇总抛物线知识汇总 焦点在焦点在 x 轴正半轴轴正半轴焦点在焦点在轴负半轴轴负半轴x焦点在焦点在轴正半轴轴正半轴y焦点在焦点在轴负半轴轴负半轴y 定义定义到定点到定点 F 焦点 的距离等于到定直线 准线 的距离的点的集合 焦点 的距离等于到定直线 准线 的距离的点的集合 标准方程标准方程 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图图 形形 开开 口口向右向右向左向左向上向上向下向下 范范 围围 Ryx 0Ryx 0Rxy 0Rxy 0 对称轴对称轴x 轴轴y 轴轴 焦焦 点点 0 2 p F 0 2 p F 2 0 p F 2 0 p F 准准 线线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 焦半径焦半径 2 0 p xPF 2 0 p xPF 2 0 p yPF 2 0 p yPF 通通 径径 方程方程 长度 长度 p 2 p x 方程方程 长度 长度 p 2 p x 方程方程 长度 长度 p 2 p y 方程方程 长度 长度 p 2 p y 性质性质 是抛物线是抛物线的焦点弦 的焦点弦 为抛物线的焦点 为抛物线的焦点 AB 0 2 2 ppxyF 11 yxA 22 yxB 求证 求证 1 2 为直线为直线与与轴夹角 轴夹角 4 2 21 2 21 p xxpyy 2 21 sin 2p pxxAB ABx 3 4 为定值为定值 5 以 以为直径的圆与抛物线准线相切 为直径的圆与抛物线准线相切 sin2 2 p S AOB FBFA 11 p 2 AB 圆锥曲线圆锥曲线 第二定义第二定义 到定点 焦点 的距离与到定直线 准线 的距离之比为定值 离心率 的点的集合 其到定点 焦点 的距离与到定直线 准线 的距离之比为定值 离心率 的点的集合 其 中 离心率在 中 离心率在 0 1 为椭圆 大于 为椭圆 大于 1 为双曲线 等于为双曲线 等于 1 为抛物线为抛物线 基本专题 基本专题 1 求曲线的标准方程 求曲线的标准方程 方法一 待定系数法方法一 待定系数法 方法二 求方法二 求 cba 2 判断曲线的类型 判断曲线的类型 类型类型 类型类型 1 22 B y A x 0 22 CByAx 3 定义的应用 定义的应用 判断所求轨迹的点的性质判断所求轨迹的点的性质 4 求曲线的离心率 求曲线的离心率 要求曲线离心率 找出关系消去要求曲线离心率 找出关系消去 b 化简之后变成 化简之后变成 e 注意范围取正值 注意范围取正值 5 中点弦问题 中点弦问题 点差法 设而不求 点差法 设而不求 6 焦点三角形 焦点三角形 正弦定理 余弦定理的应用 正弦定理 余弦定理的应用 7 弦长公式 弦长公式 1 1 1 1 2 12 2 12 2 m kyy k xxkAB 8 最值问题 最值问题 注意几何意义注意几何意义 9 圆锥曲线应用题 圆锥曲线应用题 读题读题 反复读题反复读题 建立模型建立模型 求解结果求解结果 写出结论写出结论 10 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 点在曲线外 点在曲线外 内内 上 上 直线 联立 化简 判断 直线 联立 化简 判断 圆锥曲线的其他有用结论总结 一 椭圆中结论 1 点在椭圆内部的条件 00 P xy 22 22 1 xy ab 点在椭圆外部的条件 00 P xy 22 22 1 xy ab 2 过椭圆上一点与椭圆相切的直线方程 22 22 1 xy ab 00 P xy 过椭圆外一点与椭圆相切得切点弦的方程 22 22 1 xy ab 00 P xy 过椭圆内一点的弦与椭圆交点的切线交点轨迹 22 22 1 xy ab 00 P xy 3 椭圆 a b 0 的左右焦点分别为 F1 F 2 点 P 为椭圆上任意一点 22 22 1 xy ab 12 FPF 则椭圆的焦点三角形的面积为 12 PFPF 4 AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦 M为 AB 的中点 则 22 22 1 xy ab 00 yx AB K 即 OMAB kk 以下了解 1 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角 2 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆 除去长轴的两个端点 3 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 4 已知椭圆 a b 0 O 为坐标原点 P Q 为椭圆上两动点 且 22 22 1 xy ab OPOQ 1 2 OP 2 OQ 2的最大值为 3 的最小值是 2222 1111 OPOQab 22 22 4a b ab OPQ S 22 22 a b ab 二 双曲线中结论 1 点在双曲线内部的条件 00 P xy 22 22 1 xy ab 点在双曲线外部的条件 00 P xy 22 22 1 xy ab 2 过双曲线上一点与双曲线相切的直线方程 22 22 1 xy ab 00 P xy 过双曲线外一点与双曲线相切得切点弦的方程 22 22 1 xy ab 00 P xy 过双曲线内一点的弦与双曲线交点的切线交点轨迹 22 22 1 xy ab 00 P xy 3 双曲线的左右焦点分别为 F1 F 2 点 P 为双曲线上任意一点 则双曲 22 22 1 xy ab 12 FPF 线的焦点三角形的面积为 12 PFPF 4 AB 是双曲线的不平行于对称轴的弦 M为 AB 的中点 则 22 22 1 xy ab 00 yx AB K 即 OMAB kk 以下了解 1 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 2 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆 除去长轴的两个端点 3 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 内切 P 在右支 外切 P 在左支 4 已知双曲线 O 为坐标原点 P Q 为双曲线上两动点 且 22 22 1 xy ab OPOQ 1 2 OP 2 OQ 2的最小值为 3 的最小值是 2222 1111 OPOQab 22 22 4a b ba OPQ S 22 22 a b ba 三 抛物线结论 1 是抛物线过焦点的弦 1 AB 0 2 2 ppxyF 11 yxA 22 yxB 4 2 21 2 21 p xxpyy 2 为直线与轴夹角 3 4 为定 2 21 sin 2p pxxAB ABx sin2 2 p S AOB FBFA 11 值 p 2 5 以为直径的圆与抛物线准线相切 6 以抛物线焦半径为直径的圆与 y 轴相切 AB 7 以 AB 两端点向准线作垂线 以两垂足为直径端点的圆与 AB 相切 2 若抛物线方程为 2 2 0 ypx p 过 2p 0 的直线与之交于 A B 两点 则 OA OB 反之也成立 3 过抛物线上一点与椭圆相切的直线方程 2 2 0 ypx p 00 P xy 过抛物线外一点与椭圆相切得切点弦的方程 2 2 0 ypx p 00 P xy 过抛物线内一点的弦与椭圆交点的切线交点轨迹 2 2 0 ypx p 00 P xy 4 若是过抛物线的焦点的弦 过点分别向抛物线的准线引垂线 垂AB 02 2 ppxyFBA 足分别为则 11 BA 0 11 90 FBA 5 若是过抛物线的焦点的弦 抛物线的准线与轴相交于点 则AB 02 2 ppxyFxK BKFAKF 6 若是过抛物线的焦点的弦 为抛物线的顶点 连接并延长交该抛AB 02 2 ppxyFoAO 物线的准线于点则 C OFBC 7 开口方向一次项 顶点位于正中央 焦点准线两边