【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题7 平面向量 理（2007-2012）

用心 爱心 专心 1 2012 2012 年高考试题年高考试题 1 2012 高考真题重庆理 6 设R 向量且 x y 1 1 2 4 axby c cbca 则ba A B C D 105102 5 2 2012 高考真题浙江理 5 设 a a b b 是两个非零向量 A 若 a ba b a a b b 则 a a b b B 若 a a b b 则 a a b b a a b b C 若 a a b b a a b b 则存在实数 使得 b b a a D 若存在实数 使得 b b a a 则 a a b b a a b b 3 2012 高考真题四川理 7 设 都是非零向量 下列四个条件中 使成立的a b ab ab 充分条件是 A B C D 且ab ab 2ab ab ab 答案 C 解析 A 可以推得为既不充分也不必要条件 B 可以推得 b b a a ab ab 或为必要不充分条件 C 为充分不必要条件 D 同 B b b a a 4 2012 高考真题辽宁理 3 已知两个非零向量a b满足 a b ab 则下面结论正确的 用心 爱心 专心 2 是 A a b B a b C 0 1 3 D a b ab 5 2012 高考真题江西理 7 在直角三角形中 点是斜边的中点 点为线段ABCDABP 的中点 则 CD 22 2 PAPB PC A 2 B 4 C 5 D 10 6 2012 高考真题湖南理 7 在 ABC 中 AB 2 AC 3 1 则 AB BC A BC A B C D 372 223 答案 A 用心 爱心 专心 3 7 2012 高考真题广东理 3 若向量 2 3 4 7 则 BA CA BC A 2 4 B 3 4 C 6 10 D 6 10 答案 A 解析 故选 A 4 2 7 4 3 2 CABABC 8 2012 高考真题广东理 8 对任意两个非零的平面向量 和 定义 若 平面向量 a a b b 满足 a ba b 0 a a 与 b b 的夹角 且和都在集合 4 0 ba ab 中 则 2 Zn n ba A B 1 C D 1 2 3 2 5 2 9 2012 高考真题安徽理 8 在平面直角坐标系中 将向量按逆时针 0 0 6 8 OPOP 用心 爱心 专心 4 旋转后 得向量 则点的坐标是 3 4 OQ Q A 7 2 2 B 7 2 2 C 4 6 2 D 4 6 2 10 2012 高考真题天津理 7 已知ABC 为等边三角形 AB 2 设点 P Q 满足 ABAP ACAQ 1 R 若 则 2 3 CPBQ A 2 1 B 2 21 C 2 101 D 2 223 答案 A 解析 如图 设 则 又cACbAB 2 2 cbcb 由得cbAQBABQ 1 bcAPCACP 2 3 CPBQ 即 2 3 1 1 1 2 22 cbbcbccb 用心 爱心 专心 5 整理 即 解得 2 3 1 24 1 4 2 0144 2 0 12 2 选 A 2 1 11 2012 高考真题全国卷理 6 ABC 中 AB 边的高为 CD 若 a b 0 a 1 b 2 则 A B C D 12 2012 高考真题新课标理 13 已知向量夹角为 且 则 a b 45 1 210aab b 13 2012 高考真题浙江理 15 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 3 BC 10 则 AB AC 答案 16 解析 法一此题最适合的方法是特例法 假设ABC是以AB AC的等腰三角形 如图 用心 爱心 专心 6 AM 3 BC 10 AB AC 34 cos BAC 34341008 2 3417 AB AC cos16ABACBAC 法二 16310 4 1 4 1 2 1 2 1 22 22 AMBCAMBCAMBCACAB 14 2012 高考真题上海理 12 在平行四边形中 边 的长分别ABCD 3 AABAD 为 2 1 若 分别是边 CD上的点 且满足 则的MNBC CD CN BC BM ANAM 取值范围是 15 2012 高考真题山东理 16 如图 在平面直角坐标系中 一单位圆的圆心的初始位xOy 置在 此时圆上一点的位置在 圆在轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 0 1 P 0 0 x 时 的坐标为 2 1 OP 答案 2cos1 2sin2 用心 爱心 专心 7 解析 因为圆心移动的距离为 2 所以劣弧 即圆心角 2 PA2 PCA 则 所以 2 2 PCA2cos 2 2sin PB 所以 所以2sin 2 2cos CB2sin22 CBxp2cos11 PByp 2cos1 2sin2 OP 16 2012 高考真题北京理 13 已知正方形 ABCD 的边长为 1 点 E 是 AB 边上的动点 则 的值为 的最大值为 CBDE DCDE 17 2012 高考真题安徽理 14 若平面向量满足 则的最小值是 a b 23ab a b A 答案 9 8 解析 22 22 23494 9 444944 8 ababa b aba ba ba ba ba b A AAAA 用心 爱心 专心 8 18 2012 高考江苏 9 5 5 分 分 如图 在矩形中 点为的ABCD22ABBC EBC 中点 点在边上 若 则的值是 FCD2ABAF AAEBF A 2011 2011 年高考试题年高考试题 一 选择题一 选择题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 12 12 设设 是平面直角坐标系中两两不同的四点 是平面直角坐标系中两两不同的四点 1 A 2 A 3 A 4 A 若若 R R R R 且 且 则称则称 调和分割调和分割 1312 A AA A 1412 A AA A 11 2 3 A 4 A 已知点已知点 C cC c o D do D d O O c c d R d R 调和分割点调和分割点 A 0A 0 0 0 B 1B 1 0 0 则下面说法 则下面说法 1 A 2 A 正确的是正确的是 A C A C 可能是线段可能是线段 ABAB 的中点的中点 用心 爱心 专心 9 B D B D 可能是线段可能是线段 ABAB 的中点的中点 C C C C D D 可能同时在线段可能同时在线段 ABAB 上上 D D C C D D 不可能同时在线段不可能同时在线段 ABAB 的延长线上的延长线上 3 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 10 10 已知 a 与 b 均为单位向量 其夹角为 有下列四个 命题 1 2 10 3 Pab 2 2 1 3 Pab 3 10 3 Pab 4 1 3 Pab 其中的真命题是 A B C D 14 P P 13 P P 23 P P 24 P P 用心 爱心 专心 10 5 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 4 4 如图 正六边形 ABCDEF 中 BACDEF A 0 B BE C AD D CF 答案 D 解析 BACDEFDECDEFCDDEEFCF 6 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 12 12 设向量满足 1 a b c a b a b 1 2 则的最大值等于 ac bc 0 60c A 2 B c D 132 答案 A 解析 如图 构造 AB a AD b AC c 所以四点共圆 120 60BADBCD A B C D A B D C 用心 爱心 专心 11 可知当线段为直径时 最大 最大值为 2 ACc 7 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 17 17 设是空间中给定的 5 个不同的点 则使 12345 A A A A A 成立的点的个数为 12345 0MAMAMAMAMA M A 0 B 1 C 5 D 10 答案 B 二 填空题二 填空题 1 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 14 14 若平面向量 满足 且以向量 1 1 为邻边的平行四边形的面积为 则与的夹角的取值范围是 1 2 2 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 13 13 已知向量a a b b满足 a a 2b b a a b b 6 且 a 则a a与b b的夹角为 2b 3 3 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 14 14 已知直角梯形已知直角梯形 ABCDABCD 中中 AD BC AD BC AD 2 BC 1 P AD 2 BC 1 P90ADC 是腰是腰 DCDC 上的动点上的动点 则则的最小值为的最小值为 3 PAPB 用心 爱心 专心 12 6 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 12 12 已知单位向量的夹角为 则 ij c c 60 2 ij cc 解析 3 222 22444 1 4 cos603 ijijijij ccccccc c A 7 2011 2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 10 10 已知是夹角为的两个单位向量 21 e e 3 2 若 则 k 的值为 2 2121 eekbeea0 ba 答案 5 4 解析 0 解得a b 1212 2 eekee 2 2 1122 1 2 2kek e ee 2 1 2 cos2 3 kk 用心 爱心 专心 13 5 4 k 2010 2010 年高考试题年高考试题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 8 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若CBa uur CAb uu r 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 20102010 辽宁理数 辽宁理数 8 平面上 O A B 三点不共线 设 则 OAB 的面积等于 OA a OBb A B 222 aba b A 222 aba b A C D 222 1 2 aba b A 222 1 2 aba b A 20102010 重庆理数 重庆理数 2 已知向量 a b 满足 则0 1 2 a bab 2ab A 0 B C 4 D 82 2 用心 爱心 专心 14 解析 2ab 22844 2 222 bbaaba 20102010 四川理数 四川理数 5 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 则 2 16 BCABACABAC AM A 8 B 4 C 2 D 1w w w k s5 u c o m 20102010 山东理数 山东理数 12 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的 Aa m n 令bp q 下面说法错误的是 ab mq np A A 若与共线 则 B a b ab 0 Aab ba AA C 对任意的 有 D R a b A ab A 2222 ab ab a b A 20102010 湖南理数 湖南理数 4 在中 90 AC 4 则等于Rt ABC C AB AC uu u r uuu r A 16 B 8 C 8 D 16 用心 爱心 专心 15 1 2010 年安徽理数 2 2010 湖北理数 5 已知和点 M 满足 若存在实数 m 使得ABC 0MA MB MC 成立 则 m AB ACAMm A 2 B 3 C 4 D 5 20102010 浙江理数 浙江理数 16 已知平面向量满足 且与的夹 0 1 角为 120 则的取值范围是 解析 利用题设条件及其几何意义表示在三角形中 即可迎刃而解 本题主要考察了平面向 量的四则运算及其几何意义 突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力 属中档题 20102010 江西理数 江西理数 13 已知向量 满足 与的夹角为 60 则a b 1a 2b a b ab 答案 3 用心 爱心 专心 16 解析 考查向量的夹角和向量的模长公式 以及向量三角形法则 余弦定理等知识 如图 由余弦定理得 aOA bOB abOAOBBA 3ab 20102010 天津理数 天津理数 15 如图 在中 ABCAADAB 3BCBD 则 1AD AC AD A 答案 D 解析 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识 属于难题 cos cos sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 解析 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影 且均属于中等题或难题 应加强平面 向量的基本运算的训练 尤其是与三角形综合的问题 20102010 广东理数 广东理数 10 若向量 1 1 x 1 2 1 1 1 1 满足条件a r b r c r 2 则 2 cab rrr x 10 C 解得 0 0 1 cax 2 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2cabxx 2x 20102010 江苏卷 江苏卷 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 0 求 t 的值 OCtAB OC 方法二 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 用心 爱心 专心 17 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC AD 4 22 10 2 由题设知 2 1 OC 32 5 ABtOCtt 由 0 得 OCtAB OC 32 5 2 1 0tt 从而所以 511 t 11 5 t 或者 2 AB OCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 20102010 江苏卷 江苏卷 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 3 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 4 设实数 t 满足 0 求 t 的值 OCtAB OC 方法二 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC AD 4 22 10 2 由题设知 2 1 OC 32 5 ABtOCtt 由 0 得 OCtAB OC 32 5 2 1 0tt 从而所以 511 t 11 5 t 或者 2 AB OCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 用心 爱心 专心 18 2009 2009 年高考试题年高考试题 10 2009 广东理 6 一质点受到平面上的三个力 123 F F F 单位 牛顿 的作用而处 于平衡状态 已知 1 F 2 F成 0 60角 且 1 F 2 F的大小分别为 2 和 4 则 3 F的大小为 A 6 B 2 C 2 5 D 2 7 12 2009 浙江文 5 已知向量 1 2 a 2 3 b 若向量c满足 cab cab 则c A 7 7 9 3 B 77 39 C 7 7 3 9 D 77 93 命题意图 此题主要考查了平面向量的坐标运算 通过平面向量的平行和垂直关系的考查 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用 解析 不妨设 Cm n 则 1 2 3 1 acmnab 对于 cab 则有 3 1 2 2 mn 又 cab 则有30mn 则有 77 93 mn 13 2009 山东理 7 文 8 设 P 是 ABC 所在平面内的一点 2BCBABP 则 A 0PAPB B 0PCPA C 0PBPC D 0PAPBPC 解析 因为2BCBABP 所以点 P 为线段 AC 的中点 所以应该选 B 答案 B 命题立意 本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则 可以借助图形解答 14 2009 宁夏海南理 9 已知 O N P 在ABC 所在平面内 且 0OAOBOC NANBNC 且PA PBPB PCPCPA 则点 用心 爱心 专心 19 O N P 依次是ABC 的 A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心 注 三角形的三条高线交于一点 此点为三角型的垂心 解析 0OAOBOCOABCNANBNCOABC 由知为的外心 由知 为的重心 00 PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPB APBCPC 同理 为ABC 的垂心 选 23 2009 辽宁文理 3 平面向量 a 与 b 的夹角为 0 60 a 2 0 b 1 则 a 2b A 3 B 23 C 4 D 12 16 2009 福建理 9 文 12 设 a b c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向 量 且满足 a与 b不共线 a c a c 则 b c 的值一定等于 A 以 a b为邻边的平行四边形的面积 B 以 b c为两边的三角形面积 C a b为两边的三角形面积 D 以 b c为邻边的平行四边形的面积 解析 假设 a与 b的夹角为 b c b c cos b a cos 90 0 b a sin 即为以 a b为邻边的平行四边形的面积 故选 A 3 2009 广东理 10 若平面向量a b满足1 ba ba 平行于x轴 1 2 b 则 a A B C P 第 7 题图 用心 爱心 专心 20 解析 0 1 ba或 0 1 则 1 1 1 2 0 1 a 或 1 3 1 2 0 1 a 4 2009 江苏 已知向量a 和向量b 的夹角为30o 2 3ab 则向量a 和向量b 的数 量积a b 解析 考查数量积的运算 3 233 2 a b 5 2009 安徽理 14 给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB 它们的夹角为120o 如图所示 点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动 若 OCxOAyOB 其中 x yR 则xy 的最大值是 14 天津理 15 在四边形 ABCD 中 1 1 AB DC 则四边形 ABCD 的面积是 113 BABCBD BABCBD 解析 因为 1 1 所以四边形 ABCD 为平行四边形 所以AB DC 1133 BABCBDBABC BABCBDBD 33 2 6BDBABCBABCBD 即 则四边形 ABCD 的面积为15 天津文 15 若等边的 16 2623 24 S ABC 用心 爱心 专心 21 边长为 平面内一点 M 满足 则 32 CACBCM 3 2 6 1 MBMA 解析 合理建立直角坐标系 因为三角形是正三角形 故设 3 3 0 32 0 0 BAC 这样利用向量关系式 求得 M 然后求得 运 2 1 2 33 2 5 2 3 2 1 2 3 MBMA 用数量积公式解得为 2 3 2009 浙江理 18 本题满分 14 分 在中 角所对的边分别为 ABC A B C a b c 且满足 2 5 cos 25 A I 求的面积 II 若 求的值 3AB AC ABC 6bc a 5 2009 江苏 15 本小题满分 14 分 设向量 4cos sin sin 4cos cos 4sin abc 1 若与垂直 求的值 a 2bc tan 2 求的最大值 bc 3 若 求证 tantan16 a b 解析 本小题主要考查向量的基本概念 同时考查同角三角函数的基本关系式 二倍角的 正弦 两角和的正弦与余弦公式 考查运算和证明得基本能力 满分 14 分 6 2009 广东理 16 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心 22 已知向量与互相垂直