巴特沃斯数字带阻滤波器

数字信号处理 课程设计报告 设计课题 滤波器设计与实现滤波器设计与实现 专业班级 姓 名 学 号 报告日期 20122012 年年 1212 月月 目录 1 课题描述 2 2 设计原理 2 2 1 滤波器的分类 3 2 2 数字滤波器的设计指标 3 2 3 巴特沃斯数字带阻模拟滤波器 3 2 3 1 巴特沃斯数字带阻滤波器的设计原理 4 2 3 2 巴特沃斯数字带阻滤波器的设计步骤 7 3 设计内容 8 3 1 用 MATLAB 编程实现 10 3 2 设计结果分析 10 4 总结 10 5 参考文献 11 第第 0 0 页页 共共 1515 页页 课程设计任务书 题 目滤波器设计与实现 学生姓名学号 专业班 级 设 计 内 容 与 要 求 一 设计内容 设计巴特沃斯数字带阻滤波器 阻带频率 200 500hz 通带上 限频率 600hz 通带下限频率 150hz 通带衰减为 0 5dB 阻带 最大衰减 20dB 采样频率 2000hz 画出幅频 相频响应曲线 并设计信号验证滤波器设计的正确性 二 设计要求 1 设计报告一律按照规定的格式 使用 A4 纸 格式 封面统一给 出模版 2 报告内容 1 设计题目及要求 2 设计原理 包括滤波器工作原理 涉及到的 MATLAB 函数的说 明 3 设计内容 设计思路 设计流程 仿真结果 4 设计总结 收获和体会 5 参考文献 6 程序清单 起止时间2012 年 12 月 3 日 至 2011 年 12 月 11 日 指导教师签名2011 年 12 月 2 日 系 教研室 主任 签名 年 月 日 学生签名年 月 日 第第 1 1 页页 共共 1515 页页 1 1 课题描述课题描述 数字滤波器是由数字乘法器 加法器和延时单元组成的一种算法 或装置 数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算 处理 以达到改变信号频谱的目的 由于电子计算机技术和大规模 集成电路的发展 数字滤波器已可用计算机软件实现 也可用大规 模集成数字硬件实时实现 使用 MATLAB 信号处理箱和 BW 巴特 沃斯 设计低通数字滤波器 2 2 设计原理设计原理 2 1 滤波器的分类 数字滤波器有低通 高通 带通 带阻和全通等类型 它可以 是时不变的或时变的 因果的或非因果的 线性的或非线性的 如 果数字滤波器的内部参数不随时间而变化 则称为时不变的 否则 为时变的 如果数字滤波器在某一给定时刻的响应与在此时刻以后 的激励无关 则称为因果的 否则为非因果的 如果数字滤波器对 单一或多个激励信号的响应满足线性条件 则称为线性的 否则为 非线性的 应用最广的是线性 时不变数字滤波器 数字滤波器也可以按所处理信号的维数分为一维 二维或多维 数字滤波器 一维数字滤波器处理的信号为单变量函数序列 例如 时间函数的抽样值 二维或多维数字滤波器处理的信号为两个或多 个变量函数序列 第第 2 2 页页 共共 1515 页页 2 2 数字带阻滤波器的设计指标 阻带频率 200 500hz 通带上限频率 600hz 通带下限频率 150hz 通带衰减为 0 5dB 阻带最大衰减 20dB 采样频率 2000hz 2 3 巴特沃斯数字带阻模拟滤波器 2 3 1 巴特沃斯数字带阻滤波器的设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 Ha j 2用下式表示 Ha j 公式中 N 称为滤波器的阶数 在 0 时 Ha j 1 c 时 Ha j 1 c 是 3dB 截止频率 在2 c 附近 随 加大 幅度迅速下降 幅度特性与 和 N 的关 N 越大 通带越平坦 过渡带越宽 过渡带与阻带幅度下降的速度 越快 总是频响特性与理想低通滤波器的误差越小 以 S 代替 j 将幅度平方函数 Ha j 2写成 s 的函数 Ha S Ha S 复变量 S j 此公式表明幅度平方函数有 2N 个极点 极点 Sk 用下公式表示 Sk 公式中 K 0 1 2 2N 1 2N 个极点等间隔分布在半径为 c 的圆上 间隔是 N rad 为形成因果稳定的滤波器 2N 个极 第第 3 3 页页 共共 1515 页页 点中只取 S 平面左半平面的 N 个极点构成 Ha S 而右半平面的 N 个 极 点构成 Ha S Ha S 的表达式为 Ha S S Sk 设 N 3 极点有六个 它们分 S0 S1 c S2 S3 S4 c S5 取 S 平面的左半平面的极点 S0 S1 S2 组成系统函数 Ha S 即 Ha S 由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同 为 使设计公式和图表统一将频率归一化 巴特沃斯滤波器采用对 3dB 截止频率 c 归一化 归一化后的系统函数为 令 称为归一化频率 称为归一化 复变量 这样的巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 公式中 称为归一化极点 用下公式表示 k 0 1 N 1 显然 Sk c Pk 第第 4 4 页页 共共 1515 页页 这样 只要根据技术指标求出阶数 N 按照公式求出 N 个 极点 再按得到归一化低通原型系统函数 Ga 如果给定 c 再去归一化 即将 代入中 便可得到 期望设计的系统函数 Ha S 所使用的 MATLAB 函数 1 巴特沃斯滤波器阶数选择函数 1 N c buttord p s p s s 作用 计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数 N 和 3dB 截止频率 c 说明 p s c 均为实际模拟角频率 模拟频率 f 每秒经历多少个周期 单位 Hz 即 1 s 信号 的真实频率 可用于模拟信号和数字信号 模拟角频率 每秒经历多少弧度 单位 rad s 通常只于 模拟信号 数字频率 w 每个采样点间隔之间的弧度 单位 rad 通常只 用于数字信号 关系 2pi f w T 2pi f F F 1 Ts 为采样频率 Ts 为采样间隔 2 完整巴特沃斯滤波器设计函数 1 格式 b a butter N wc ftype 作用 计算 N 阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子 分母多 第第 5 5 页页 共共 1515 页页 项式的系数向量 b a 说明 调用参数 N 和 wc 分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和 3dB 截止频率的归一化值 一般是调用 buttord 格式 1 计算 N 和 wc 系数 b a 是按照 z 1 的升幂排列 2 格式 B A butter N c ftype s 作用 计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子 分母多项式系数 向量 说明 调用参数 N 和 c 分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和 3dB 截止频率 实际角频率 可调用 buttord 2 格式计算 N 和 c 系数 B A 按 s 的正降幂排列 tfype 为滤波器的类型 ftype high 时 高通 c 只有 1 个值 ftype stop 时 带阻 c cl cu 分别为带阻滤波 器的通带 3dB 下截止频率和上截止频率 ftype 缺省时 若 c 只有 1 个值 则默认为低通 若 c 有 2 个值 则默认为带通 其通带频率区间 cl cu 3 求离散系统频响特性的函数 freqz 格式 H w freqz b a N 说明 b 和 a 分别为离散系统的系统函数分子 分母多项式的系 数向量 返回量 H 则包含了离散系统频响在 0 pi 范围内 N 个频率 等分点的值 其中 N 为正整数 w 则包含了范围内 N 个频率等分 点 调用默认的 N 时 其值是 512 可以先调用 freqz 函数计算系 第第 6 6 页页 共共 1515 页页 统的频率响应 然后利用 abs 和 angle 函数及 plot 函数 绘 制出系统的频响曲线 4 模拟域频率变换函数 lp2lp 模拟低通滤波器变换为低通滤波器 lp2hp 模拟低通滤波器变换为高通滤波器 lp2bs 模拟低通滤波器变换为带阻滤波器 lp2bp 模拟低通滤波器变换为带通滤波器 5 滤波器离散化函数 bilinear 使用双线性变换法把模拟滤波器转换为数字滤波 器 impinvar 使用脉冲响应不变法把模拟滤波器转换为数字滤 波器 2 3 2 巴特沃斯带阻数字滤波器的设计步骤 1 确定滤波器的设计指标 求出滤波去的阶 sps p 数 N 2 运用函数计算巴特沃斯低通滤波器的阶 sps buttord p 数 N 和归一化 3db 截止频率 c 3 运用函数求得低通滤波器的系统函数的分子 butter c N 分母多项式形式 第第 7 7 页页 共共 1515 页页 4 设计模拟低通原型滤波器 用模拟低通滤波器设计方法得到 模拟低通滤波器的传输函数 Ha s 借助巴特沃斯 Butterworth 滤波器 5 调用 lp2bp 函数将模拟低通滤波器转化为带阻低通滤波器 6 利用双线性变换法将模拟带通滤波器 Ha s 转换成数字带通 滤波器 H z 7 作图显示滤波器的幅频特性和相位特性 3 3 设计内容设计内容 3 1 用 MATLAB 编程实现 clear all fs 2000 T 1 fs rp 0 5 rs 20 wp1 150 1000 pi wp2 600 1000 pi ws1 200 1000 pi ws2 500 1000 pi 数字数字带带阻阻滤滤波器的技波器的技术术指指标标 wc1 2 T tan wp1 2 频频率率预预畸畸变变 wc2 2 T tan wp2 2 wr1 2 T tan ws1 2 wr2 2 T tan w s2 2 w0 sqrt wc1 wc2 B wc2 wc1 wp 1 归归一化通一化通带带截止截止频频率率 ws wp wr1 B w0 2 wr1 2 归归一化阻一化阻带带截止截止频频率率 N wc buttord wp ws rp rs s 求求滤滤波器波器阶阶数与数与3dB截止截止频频率率 Z P K buttap N Bd Ad zp2tf Z P K 将零极点形式将零极点形式转转化成化成传输传输形式形式 B A lp2bs Bd Ad w0 B 对对低通低通滤滤波器波器进进行行频频率率转换转换 转换为带转换为带阻阻滤滤 波器波器 第第 8 8 页页 共共 1515 页页 b a bilinear B A 2000 利用双利用双线线性性变换变换法 法 转换转换成数字成数字滤滤波器波器 H W freqz b a 数字数字带带阻阻滤滤波器的幅波器的幅频频响响应应 subplot 2 2 1 plot W fs 2 pi abs H grid on xlabel 频频率率 Hz ylabel 幅幅值值 title 数字数字滤滤波器幅波器幅频频响响应应 subplot 2 2 2 plot W fs 2 pi angle H grid on xlabel 频频率率 Hz ylabel 相位相位 t 0 1 100 y sin 45 t 1 4 pi sin 250 t pi subplot 2 2 3 plot t y grid on y1 filter b a y y2 fft y1 subplot 2 2 4 plot t y2 grid on 幅频 相频响应曲线 第第 9 9 页页 共共 1515 页页 信号验证滤波器设计的正确性 附图 经过滤波后 第第 1010 页页 共共 1515 页页 3 2 设计结果分析 设计巴特沃斯带阻数字滤波器时 发现 与 W 成非线性关系 所以 在图像呈现出非线性的关系 由于是带阻数字滤波 所以滤掉响应 部分后剩余的部分呈现平缓趋势 4 4 总结总结 本次课程