窗函数设计低通滤波器

目录目录 1 1 课题描述课题描述 1 1 2 2 设计原理设计原理 1 1 2 12 1 滤波器的分类滤波器的分类 1 1 2 22 2 利用窗函数设计利用窗函数设计 FIRFIR 滤波器滤波器 2 2 2 2 12 2 1 窗函数的设计原理窗函数的设计原理 3 3 2 2 22 2 2 典型窗函数的介绍典型窗函数的介绍 4 4 2 2 32 2 3 用窗函数设计用窗函数设计 FIRFIR 滤波器的步骤滤波器的步骤 5 5 2 2 42 2 4 窗函数法的窗函数法的 MATLABMATLAB 设计函数简介设计函数简介 5 5 3 3 设计内容设计内容 6 6 3 13 1 设计题目设计题目 6 6 3 23 2 用用 MATLABMATLAB 编程编程 7 7 3 33 3 设计结果分析设计结果分析 8 8 4 4 总结总结 9 9 1 1 课题描述课题描述 数字滤波器是数字信号处理的重要工具之一 它通过数值运算处理改变输入信号所含 频率成分的相对比例或者滤出某些频率成分的数字器件或程序 而数字滤波器处理精度高 体积小 稳定 重量轻 灵活 不存在阻抗匹配问题 可以实现模拟滤波器无法实现的特 殊功能 故本课题使用 MATLAB 信号处理箱和运用窗函数设计数字滤波器 2 2 设计原理设计原理 2 12 1 滤波器的分类滤波器的分类 1 从功能上分 低通滤波器 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器 2 从实现方法上分 FIR 滤波器 IIR 滤波器 3 从设计方法上分 Chebyshev 切比雪夫 滤波器 Butterworth 巴特沃斯 滤波 器 Ellipse 椭圆 滤波器 Bessel 贝塞尔 滤波器 4 从处理信号上分 经典滤波器 现代滤波器 2 22 2 利用窗函数设计利用窗函数设计 FIRFIR 滤波器滤波器 2 2 12 2 1 窗函数的设计原理窗函数的设计原理 设希望逼近的滤波器频率响应函数为 H w 其单位脉冲响应是 nhd n jwn d jw d enheH 由已知的求出 经过 Z 变换可以得到滤波器的系统函数 通常以理想 jw d eH nhd 滤波器作为 其幅频特性逐段恒定 在边界频率处有不连续的点 因而是 jw d eH nhd 无限时宽的 且是非因果序列的某为了构造一个长度为 N 的线性相位滤波器 只有将 截取一段 设截取的那段用 h n 表示即 nhd h n nRnh nd 式中是一个矩形序列 长度为 N 我们实际设计的滤波器的单位脉冲响应为 h n nRn 长度为 N 其系统函数为 H Z 这样用一个有限长的序列 h n 去代替 1 0 N n n znh nhd 肯定会引起误差 表现在频域就是通常所说的吉布斯效应 该效应引起过度加宽以及通带 dweeHnh jwnjw wc wc dd 2 1 和阻带内的波动 尤其使阻带的衰减小 从而满足不了技术上的要求 吉布斯效应是由于 将直接截断引起的 称为截断效应 窗函数法设计 FIE 滤波器就是构造一个窗函数 nhd w n 来减少截断效应 2 2 22 2 2 典型窗函数的介绍典型窗函数的介绍 1 矩形窗 幅度函数 nRnw NR 2 sin 2 sin w wN wwRg 2 三角窗 1 2 N n nwB 1 2 1 0 Nn 1 2 2 N n nwB1 1 2 1 NnN 幅度函数 22 2 sin 4 sin 2 e w wN N wBg 频谱函数 w N j jw B e w wN N eW 2 1 2 2 sin 4 sin 2 3 汉宁窗 1 2 cos 1 5 0 nR N n nW NHn w N i HngHn iw Hn ewWnwFTeW 2 1 2 2 25 0 5 0 N1 N1N N wW N wWwWnW RgRgRgHng 时 当 4 哈明窗 1 2 cos 46 054 0 nR N n nw NHm 频谱函数 23 0 23 0 54 0 1 2 1 2 N wj R N wj R iw W jw Hm eWeWeWeW 幅度函数 2 23 0 2 23 0 54 0 N wW N wWwWwW RgRgRgHmg 5 贝塞尔窗 10 0 0 Nn I I nWk 2 1 1 2 1 N n 2 1 0 2 1 1 k k k I 幅度函数 1 1 cos 2 0 N n kkkg wnnwwwW 六种窗函数的基本参数六种窗函数的基本参数 过渡带宽度 t B 窗函数类型旁瓣峰值 an dB 近似值精确值 阻带最小衰 减 as dB 矩形窗 13 N 4 N 8 1 21 三角窗 25 N 8 N 1 6 25 汉宁窗 31 N 8 N 2 6 44 哈明窗 41 N 8 N 6 6 53 布莱克曼窗 57 N 10 N 11 74 凯赛窗 57 N 10 80 2 2 32 2 3 用窗函数设计用窗函数设计 FIRFIR 滤波器的步骤滤波器的步骤 用用窗函数设计 FIR 滤波器的步骤如下 1 根据对阻带衰减以及过渡带的指标要求 选择窗函数的类型 并估计窗口长度 N 先按照阻带衰减函数类型 原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下 尽量的选择主瓣窄 的窗函数 再根据过渡带的宽度估计窗口长度 带球滤波器的过渡带宽近似等于窗函数 t B 主瓣宽度 且近似与窗口长度成反比 A 取决于窗口类型 例如 矩形窗的NBtAN 哈明窗的等 参数 A 的近似和精确取值参考表所示 4 A 8 A 2 构造希望逼近的频率响应函数即 jw e d H 2 1 j dg j d e e N HH 所谓的 标准窗函数法 就是选择为线性相位理想滤波器 理想低通 理想高 jw e d H 通 理想带通 理想带阻 以低通滤波器为例 应满足 dg H 1w dg H c 0 dg H c 理想滤波器的截止频率近似为最终设计的的过载的中心频率点 幅度函数衰减 c FIRDF 一半 所以如果设计指标给定带通边界频率和阻带边界频率阻带边界频率和 一般 p n 取 2 sp c 3 计算 如果给出多的待求滤波器的频响函数 那么单位脉冲响应应用下 nhd jw e d H 式求出 dee 2 1 nh nj j dd H 如果较复杂 或者不能用封闭公式表示 这不能够用上式求出 我们可以对 jw e d H nhd 从到采样 M 点 采样值为进行点 0 2 k 2 j d d ek M M HH M IFFTIDFT 得到 MMM HIDFTknh dd 根据频域采样理论 与应满足如下关系 nhdM n d h r Mdd nrnhnhRM M 因此 如果值选的较大 可以保证窗口内有效逼近 M nhdM n d h 4 加窗得到设计结果 nwnhnh d 2 2 42 2 4 窗函数法的窗函数法的 MATLABMATLAB 设计函数简介设计函数简介 可以调用 MATLAB 工具箱函数 fir1 实现本实验所要求的线性相位 FIR DF 的设计 调 用一维快速傅立叶变换函数 fft 来计算滤波器的频率响应函数 fir1 是用窗函数法设计线性相位 FIRDF 的工具箱函数 调用格式如下 hn fir1 N wc ftype window fir1 实现线性相位 FIR 滤波器的标准窗函数法设计 hn fir1 N wc 可得到 6 dB 截止频率为 wc 的 N 阶 单位脉冲响应 h n 长度为 N 1 FIR 低 通滤波器 默认 缺省参数 windows 选用 hammiing 窗 其单位脉冲响应 h n 满足线性相位 条件 h n h N 1 n 其中 wc 为对 归一化的数字频率 0 wc 1 当 wc wc1 wc2 时 得到的是带通滤波器 hn fir1 N wc ftype 可设计高通和带阻滤波器 当 ftype high 时 设计高通 FIR 滤波器 当 ftype stop 时 设计带阻 FIR 滤波器 应当注意 在设计高通和带阻滤波器时 阶数 N 只能取偶数 h n 长度 N 1 为奇数 不过 当用户将 N 设置为奇数时 fir1 会自动对 N 加 1 hn fir1 N wc window 可以指定窗函数向量 window 如果缺省 window 参数 则 fir1 默 认为 hamming 窗 可用的其他窗函数有 Boxcar Hanning Bartlett Blackman Kaiser 和 Chebwin 窗 例如 hn fir1 N wc bartlett N 1 使用 Bartlett 窗设计 hn fir1 N wc chebwin N 1 R 使用 Chebyshev 窗设计 hn fir1 N wc ftype window 通过选择 wc ftype 和 window 参数 含义同上 可以设计各种加窗滤波器 3 3 设计内容设计内容 3 13 1 设计题目设计题目 产生包含两个正弦成分 120hz 20hz 的信号 设计基于窗函数的 FIR 滤波器去除高频成 分 保留 20hz 信号 通带允许的最大衰减为 0 25dB 阻带应达到的最小衰减为 53dB 滤 波器的采样频率为 500Hz 3 2 用 MATLAB 编程 f1 30 f2 50 fs 500 wp 2 pi f2 fs ws 2 pi f1 fs bt wp ws 计算过渡带宽度 n0 ceil 6 6 pi bt 矩形窗计算 h n 长度 n0 ceil x 取大于等于 x 的最小整数 n n0 mod n0 1 2 确保好 h n 长度 n 是奇数 wc wp ws 2 pi 计算高通滤波器通带截止频率 b fir1 n 1 wc hamming n 调用 firl 计算高通 FIR 数字滤波器的 h n figure 1 H W freqz b 1 512 plot W fs 2 pi 20 log10 abs H xlabel 频率 Hz ylabel 幅度 dB title 滤波器的幅频特性 figure 2 subplot 2 2 1 t 0 1 fs 0 25 定义时间范围和步长 x1 sin 2 pi 20 t plot t x1 xlabel 时间 s ylabel 幅度 subplot 2 2 2 x2 sin 2 pi 120 t plot t x1 xlabel 时间 s ylabel 幅度 subplot 2 2 3 x sin 2 pi 20 t sin 2 pi 120 t 滤波前信号 plot t x xlabel 时间 s ylabel 幅度 title 信号滤波前时域图 subplot 2 2 4 X fft x 512 将信号变换到频域 f 0 255 256 fs 2 频率采样 plot f abs X 1 256 滤波前的信号频域图 xlabel 频率 Hz ylabel 幅度 title 信号滤波前频域图 figure 3 y filter b 1 x 使用 filter 函数对信号进行滤波 subplot 2 1 1 plot t y 滤波后的信号图像 xlabel 时间 s ylabel 幅度 title 信号滤波后时域图 subplot 2 1 2 Y fft y 512 将信号变换到频域 f 0 255 256 fs 2 频率采样 plot f abs Y 1 256 滤波后的信号频域图 xlabel 频率 Hz ylabel 幅度 title 信号滤波后频域图 3 3 设计结果分析设计结果分析 1 求的阶数 n 13 根据阻带衰减和过渡带选择矩形窗 尽量选择主瓣窄的窗函数 2 用滤波器进行滤波时 要选择好滤波器的通带频率和阻带频率 如果选