2017届江苏省南京市高三年级学情调研数学试题.doc

南京市2017届高三年级学情调研 数 学 2016.09注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：柱体的体积公式：VSh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高锥体的体积公式：VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合A0，1，2，Bx|x2x0，则AB （第3题）0.040.030.020.014050607080时速/km2设复数z满足(zi)i34i (i为虚数单位)，则z的模为 k1开始输出k结束S80S1YNS2Skkk1（第5题）3为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间40，80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间40，60)内的汽车有 辆4若函数f(x)sin(x) (0)的最小正周期为，则f()的值是 5右图是一个算法的流程图，则输出k的值是 6设向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b若ac，则实数x的值是 7某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某、地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是 8在平面直角坐标系xOy中，双曲线C： 1（a0）的一条渐近线与直线y2x1平行，则实数a的值是 9在平面直角坐标系xOy中，若直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)216相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，则实数a的值是 10已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为 11各项均为正数的等比数列an，其前n项和为Sn若a2a578，S313，则数列an的通项公式an 12已知函数f(x)当x(，m 时，f(x)的取值范围为 16，)，则实数m的取值范围是 13.在ABC中，已知AB3，BC2，D在AB上，若3，则AC的长是 14已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)()x若存在x0，1，使得等式af(x0)g(2x0)0成立，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）xOyAB（第15题）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点A，B若点A的横坐标是，点B的纵坐标是（1）求cos()的值；（2）求的值16（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点ABCDMNA1B1C1（第16题） （1）求证：MN平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，ADDC1，求证：MNAD 17（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2设AOCx rad（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；ABOCD（第17题）（2）试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设（1）若点P的坐标为 (1，)，且PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；（第18题）xOyPF1F2Q（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e，求实数的取值范围 19（本小题满分16分）已知数列an是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2a315，S416 （1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足b1a1，bn1bn求数列 bn的通项公式； 是否存在正整数m，n(mn)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分16分）已知函数f(x)ax2bxlnx，a，bR（1）当ab1时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；（2）当b2a1时，讨论函数f(x)的单调性；（3）当a1，b3时，记函数f(x)的导函数f (x)的两个零点是x1和x2 (x1x2)求证：f(x1)f(x2)ln2南京市2017届高三年级学情调研 数学附加题 2016.09注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲（第21题A）ABCDEFO如图， AB为 圆O的一条弦，C为圆O外一点 CA，CB分别交圆O于D，E两点若ABAC，EFAC于点F，求证：F为线段DC的中点B选修42：矩阵与变换已知矩阵A，B ，设MAB（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M的特征值C选修44：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为 r2cos，直线l的极坐标方程为 r sin()m若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值D选修45：不等式选讲解不等式 |x1|2|x|4x【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）ABCDFPE（第22题）如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是线段PC的中点（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角FDEB的正弦值为，求的值23（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束设甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中的概率为 ，且各次投篮互不影响现由甲先投（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望南京市2017届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）10，1 22 380 4 55 647 81 9.1 106 113n1 122，813 142，二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）解： 因为锐角的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos，从而sin 2分因为钝角的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，所以sin，从而cos 4分（1）cos()coscossinsin() 8分（2）sin()sincoscossin() 11分因为为锐角，为钝角，故(，)， 所以 14分16（本小题满分14分）ABCDMNA1B1C1（第16题）证明：（1）如图，连结A1C在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点 2分因为M为线段A1B的中点，所以MNBC 4分又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C 6分（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC又AD平面ABC，所以CC1AD 8分因为ADDC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1DC1C1，所以AD平面BB1C1C 10分又BC平面BB1C1C，所以ADBC 12分又由（1）知，MNBC，所以MNAD 14分17（本小题满分14分）解：（1）因为扇形AOC的半径为40 m，AOCxrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC800x，0x 2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面积SCODOCODsinCOD1600sin(x)1600sinx 4分从而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x 6分（2）由（1）知，S(x)1600sinx800x，0xS(x)1600cosx8001600(cosx) 8分由S(x)0，解得x从而当0x时，S(x)0；当x时， S(x)0因此S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，)上单调递减 11分所以当x，S(x)取得最大值答：当AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大 14分18（本小题满分16分）解：（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1PF2QF1QF22a，从而PQF2的周长为4a由题意，得4a8，解得a2 2分因为点P的坐标为 (1，)，所以1，解得b23所以椭圆C的方程为1 5分（2）方法一：因为PF2x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y00设Q(x1，y1)因为P在椭圆上，所以1，解得y0，即P(c，) 7分因为F1(c，0)，所以(2c，)，(x1c，y1)由，得2c(x1c)，y1，解得x1c，y1，所以Q(c，) 11分因为点Q在椭圆上，所以()2e21，即(2)2e2(1e2)2，(243)e221，因为10，所以(3)e21，从而3 14分因为e，所以e2，即5所以的取值范围为，5 16分方法二：因为PF2x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y00因为P在椭圆上，所以1，解得y0，即P(c，) 7分因为F1(c，0)，故直线PF1的方程为y(xc)由得(4c2b2)x22b2cxc2(b24a2)0因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)设Q(x1，y1)，则x1c，即cx1 11分因为，所以3 14分因为e，所以e2，即5所以的取值范围为，5 16分19（本小题满分16分）解：（1）设数列an的公差为d，则d0由a2a315，S416，得 解得 或 （舍去）所以an2n1 4分（2）因为b1a1，bn1bn，所以b1a11，bn+1bn()， 6分即 b2b1(1)，b3b2()， bnbn1()，（n2）累加得：bnb1(1)， 9分所以bnb11b11也符合上式故bn，nN* 11分假设存在正整数m、n(mn)，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2bn2bm又b2，bn，bm，所以()2()，即， 化简得：2m7 14分当n13，即n2时，m2，（舍去）；当n19，即n8时，m3，符合题意所以存在正整数m3，n8，使得b2，bm，bn成等差数列 16分20（本小题满分16分）解：（1）因为ab1，所以f(x)x2xlnx，从而f (x)2x1 因为f(1)0，f (1)2，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为y02(x1)，即2xy20 3分（2）因为b2a1，所以f(x)ax2(2a1)xlnx，从而f (x)2ax(2a1)，x0 5分当a0时，x(0，1)时，f (x)0，x(1，)时，f (x)0，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减 7分当0a时，由f (x)0得0x1或x，由f (x)0得1x，所以f(x)在区间(0，1)和区间(，)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当a时，因为f (x)0（当且仅当x1时取等号），所以f(x)在区间(0，)上单调递增当a时，由f (x)0得0x或x1，由f (x)0得x1，所以f(x)在区间(0，)和区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减 10分（3）方法一：因为a1，所以f(x)x2bxlnx，从而f (x) (x0)由题意知，x1，x2是方程2x2bx10的两个根，故x1x2记g(x) 2x2bx1，因为b3，所以g()0，g(1)3b0，所以x1(0，)，x2(1，)，且bxi2x1 (i1，2) 12分f(x1)f(x2)(xx)(bx1bx2)ln(xx)ln因为x1x2，所以f(x1)f(x2)xln(2x)，x2(1，) 14分令t2x(2，)，(t)f(x1)f(x2)lnt因为(t)0，所以(t)在区间(2，)单调递增，所以(t)(2)ln2，即f(x1)f(x2)ln2 16分方法二：因为a1，所以f(x)x2bxlnx，从而f (x) (x0)由题意知，x1，x2是方程2x2bx10的两个根记g(x) 2x2bx1，因为b3，所以g()0，g(1)3b0，所以x1(0，)，x2(1，)，且f(x)在x1，x2上为减函数 12分所以f(x1)f(x2)f()f(1)(ln)(1b)ln2因为b3，故f(x1)f(x2)ln2ln2 16分南京市2017届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲证明：因为点A、D、E、B在圆O上，即四边形ADEB是圆内接四边形，所以BEDC 3分因为ABAC，所以BC 5分所以CEDC，从而EDEC 7分又因为EFDC于点F，所以F为线段DC中点 10分B选修42：矩阵与变换解：（1）MAB 5分（2）矩阵M的特征多项式为f() (2)(3)2令f()0，解得11，24， 所以矩阵M的特征值为1或4 10分C选修44：坐标系与参数方程解：曲线C的极坐标方程为 r2cos，化为直角坐标方程为x2y22x 即(x1)2y21，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆 3分直线l的极坐标方程是 r sin()m，即rcosrsinm，化为直角坐标方程为xy2m0 6分因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，所以1，解得m或m所以，所求实数m的值为 或 10分D选修45：不等式选讲解：原不等式等价于 或 或 6分解得x；解得 x1；解得x1所以原不等式的解集为 ，) 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 22（本小题满分10分）解：（1）在四棱锥PABCD中，