【步步高】2014届高三数学一轮 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案 理 北师大版VIP

1 学案学案 4242 空间点 线 面之间的位置关系空间点 线 面之间的位置关系 导学目标 1 理解空间直线 平面位置关系的含义 2 了解可以作为推理依据的公理 和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 自主梳理 1 平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理 2 过 的三点 有且只有一个平面 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有 过该点的 公共直线 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 Error 2 异面直线所成的角 定义 设 a b 是两条异面直线 经过空间中任一点 O 作直线 a a b b 把 a 与 b 所成的 叫做异面直线 a b 所成的角 或夹角 范围 3 直线与平面的位置关系有 三种情况 4 平面与平面的位置关系有 两种情况 5 平行公理 平行于 的两条直线互相平行 6 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 自我检测 1 2011 泉州月考 若直线 a 与 b 是异面直线 直线 b 与 c 是异面直线 则直线 a 与 c 的位置关系是 A 相交 B 相交或异面 C 平行或异面 D 平行 相交或异面 2 已知 a b 是异面直线 直线 c 直线 a 则 c 与 b A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D 不可能是相交直线 3 如图所示 点 P Q R S 分别在正方体的四条棱上 且是所在棱的中点 则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是 4 2010 全国 直三棱柱 ABC A1B1C1中 若 BAC 90 AB AC AA1 则异面 直线 BA1与 AC1所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 2 5 下列命题 空间不同三点确定一个平面 有三个公共点的两个平面必重合 空间两两相交的三条直线确定一个平面 三角形是平面图形 平行四边形 梯形 四边形都是平面图形 垂直于同一直线的两直线平行 一条直线和两平行线中的一条相交 也必和另一条相交 两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是 填序号 探究点一 平面的基本性质 例 1 如图所示 空间四边形 ABCD 中 E F G 分别在 AB BC CD 上 且满足 AE EB CF FB 2 1 CG GD 3 1 过 E F G 的平面交 AD 于 H 连接 EH 1 求 AH HD 2 求证 EH FG BD 三线共点 变式迁移 1 如图 E F G H 分别是空间四边形 AB BC CD DA 上的点 且 EH 与 FG 相交于点 O 求证 B D O 三点共线 3 探究点二 异面直线所成的角 例 2 2009 全国 已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等 A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点 则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为 A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 变式迁移 2 2011 淮南月考 在空间四边形 ABCD 中 已知 AD 1 BC 且 3 AD BC 对角线 BD AC 求 AC 和 BD 所成的角 13 2 3 2 转化与化归思想的应用 例 12 分 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 底面是边长为 2 的菱形 DAB 60 对 角线 AC 与 BD 交于点 O PO 平面 ABCD PB 与平面 ABCD 所成角为 60 1 求四棱锥的体积 2 若 E 是 PB 的中点 求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值 多角度审题 对 1 只需求出高 PO 易得体积 对 2 可利用定义 过 E 点作 PA 的平 行线 构造三角形再求解 答题模板 解 1 在四棱锥 P ABCD 中 PO 平面 ABCD PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角 即 PBO 60 2 分 在Rt AOB 中 BO AB sin 30 1 又 PO OB PO BO tan 60 3 底面菱形的面积 S 2 2 2 2 1 2 3 23 四棱锥 P ABCD 的体积 VP ABCD 2 2 6 分 1 333 2 取 AB 的中点 F 连接 EF DF E 为 PB 中点 EF PA DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角 或其补角 8 分 4 在Rt AOB 中 AO AB cos 30 3 在Rt POA 中 PA EF 6 6 2 在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中 DF DE 3 由余弦定理得cos DEF 10 分 DE2 EF2 DF2 2DE EF 3 2 6 2 2 3 2 2 3 6 2 6 4 3 2 2 4 所以异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 12 分 2 4 突破思维障碍 求两条异面直线所成角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共 面问题来解决 根据空间等角定理及推论可知 异面直线所成角的大小与顶点位置无关 往往将角的顶点取在其中的一条直线上 特别地 可以取其中一条直线与另一条直线所在 平面的交点或异面线段的端点 总之 顶点的选择要与已知量有关 以便于计算 具体步 骤如下 1 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选在特殊的位置上 2 证明作出的角即为所求角 3 利用三角形来求解 异面直线 所成角的范围是 0 90 易错点剖析 1 求异面直线所成的角时 仅指明哪个角 而不进行证明 2 忘记异面直线所成角的范围 余弦值回答为负值 1 利用平面基本性质证明 线共点 或 点共线 问题 1 证明共点问题 常用的方法是 先证其中两条直线交于一点 再证交点在第三条直 线上 有时也可将问题转化为证明三点共线 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的 公共点 根据公理 3 可知这些点在交线上 因此共线 2 异面直线的判定方法 1 定义法 由定义判断两直线不可能在同一平面内 2 反证法 用此方法可以证明两直线是异面直线 3 求异面直线所成的角的步骤 1 一般是用平移法 可以借助三角形的中位线 平行四边形等 作出异面直线的夹角 2 证明作出的角就是所求的角 3 利用条件求出这个角 4 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补 角才是要求的角 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A 异面 B 相交 C 平行 D 异面或相交 5 2 给出下列命题 若平面 上的直线 a 与平面 上的直线 b 为异面直线 直线 c 是 与 的交线 那么 c 至多与 a b 中的一条相交 若直线 a 与 b 异面 直线 b 与 c 异面 则直线 a 与 c 异面 一定存在平面 同时和异面直线 a b 都平行 其中正确的命题为 A B C D 3 2011 宁德月考 如图所示 在正三角形 ABC 中 D E F 分别为各边的中点 G H I J 分别为 AF AD BE DE 的中点 将 ABC 沿 DE EF DF 折成三棱锥以后 GH 与 IJ 所成角的度数 为 A 90 B 60 C 45 D 0 4 2009 全国 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB E 为 AA1的中点 则 异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 A B C D 10 10 1 5 3 10 10 3 5 5 2011 三明模拟 正四棱锥 S ABCD 的侧棱长为 底面边长为 E 为 SA 的中 23 点 则异面直线 BE 和 SC 所成的角为 A 30 B 45 C 60 D 90 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 一个正方体纸盒展开后如图所示 在原正方体纸盒中有如下结论 AB EF AB 与 CM 所成的角为 60 EF 与 MN 是异面直线 MN CD 则正确结 论的序号是 7 2009 四川 如图所示 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱长都相等 M 是侧棱 CC1的中点 则异面直线 AB1和 BM 所成的角的大小是 8 如图所示 正四面体 P ABC 中 M 为棱 AB 的中点 则 PA 与 CM 所成角的余弦值为 三 解答题 共 38 分 9 12 分 2011 温州月考 6 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 AB 和 AA1的中点 求证 1 E C D1 F 四点共面 2 CE D1F DA 三线共点 10 12 分 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 P Q R 分别是棱 CC1 A1D1 A1B1的中点 画出过这三点的截面 并求这个截面的周长 11 14 分 2011 舟山模拟 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 E 为 AB 的中点 1 求证 AC 平面 BDD1 2 求异面直线 BD1与 CE 所成角的余弦值 3 求点 B 到平面 A1EC 的距离 7 学案学案 4242 空间点 线 面之间的位置关系空间点 线 面之间的位置关系 自主梳理 1 两点 不在一条直线上 一条 2 1 平行 相交 2 锐角或直角 3 平行 相交 在平面内 0 2 4 平行 相交 5 同一条直线 6 相等或互补 自我检测 1 D a c 都与直线 b 异面 并不能确定直线 a c 的关系 2 C a b 是异面直线 直线 c 直线 a 因而 cD b 否则 若 c b 则 a b 与已知矛盾 因而 cDb 3 C A中 PQ RS B中 RS PQ D中 RS 和 PQ 相交 4 C 将直三棱柱 ABC A1B1C1补成如图所示的几何体 由已知易知 该几何体为正方体 连接 C1D 则 C1D BA1 异面直线 BA1与 AC1所成的角为 AC1D 或补角 在等边 AC1D 中 AC1D 60 5 课堂活动区 例 1 解题导引 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题 其基本理论是把 直线看作两平面的交线 点看作是两平面的公共点 由公理 3 得证 1 解 2 EF AC AE EB CF FB EF 平面 ACD 而 EF 平面 EFGH 且平面 EFGH 平面 ACD GH EF GH 而 EF AC AC GH 3 即 AH HD 3 1 AH HD CG GD 2 证明 EF GH 且 EF AC 1 3 GH AC 1 4 EF GH 四边形 EFGH 为梯形 令 EH FG P 则 P EH 而 EH 平面 ABD P FG FG 平面 BCD 平面 ABD 平面 BCD BD P BD EH FG BD 三线共点 变式迁移 1 证明 E AB H AD E 平面 ABD H 平面 ABD EH 平面 ABD EH FG O O 平面 ABD 同理可证 O 平面 BCD O 平面 ABD 平面 BCD 即 O BD B D O 三点共线 例 2 解题导引 高考中对异面直线所成角的考查 一般出现在综合题的某一步 求 8 异面直线所成角的一般步骤为 1 平移 选择适当的点 平移异面直线中的一条或两条成为相交直线 这里的点通常 选择特殊位置的点 如线段的中点或端点 也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点 2 证明 证明所作的角是异面直线所成的角 3 寻找 在立体图形中 寻找或作出含有此角的三角形 并解之 4 取舍 因为异面直线所成角 的取值范围是 0 90 所以所作的角为钝角 时 应取它的补角作为异面直线所成的角 D 如图 A1D 平面 ABC 且 D 为 BC 的中点 设三棱柱的各棱长为 1 则 AD 由 3 2 A1D 平面 ABC 知 A1D Rt A1BD中 易求A1B 1 2 1 4 1 4 2 2 CC1 AA1 AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角 在 A1BA中 由余弦定理 可知 cos A1AB AB与CC1所成的角的余弦值为 1 1 1 2 2 1 1 3 4 3 4 变式迁移 2 解 如图所示 分别取AD CD AB BD的中点E F G H 连接EF FH HG GE GF 由三角形的中位线定理知 EF AC 且EF GE BD 且GE GE和EF所成的 3 4 13 4 锐角 或直角 就是AC和BD所成的角 同理 GH AD HF BC GH HF 1 2 3 2 又AD BC GHF 90 GF2 GH2 HF2 1 在 EFG中 EG2 EF2 1 GF2 GEF 90 即AC和BD所成的角为 90 课后练习区 1 D 2 C 错 c可与a b都相交 错 因为a c可能相交也可能平行 正确 例如过异面直线a b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条 件 3 B 9 将三角形折成三棱锥 如图所示 HG与IJ为一对异面直线 过D分别作HG与IJ的 平行线 因GH DF IJ AD 所以 ADF为所求 因此HG与IJ所成角为 60 4 C 如图所示 连接A1B 则A1B C D1故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成 的角 设AB a 则A1E a A1B a 5 BE a 2 A1BE中 由余弦定理得 cos A1BE BE2 A1B2 A1E2 2BE A1B 2a2 5a2 a2 2 2a 5a 3 10 10 5 C 设AC中点为O 则OE SC 连接BO 则 BEO 或其补角 即为异面直线BE和 SC所成的角 EO SC BO BD 1 2 2 2 1 2 6 2 在 SAB中 cos A 1 2AB SA 3 2 2 6 4 BE AB2 AE2 BE2 2AB AE2 在 BEO中 cos BEO BE2 EO2 BO2 2BE EO 1 2 BEO 60 6 10 解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体 如图所示 易知 AB EF AB CM EF与MN异面 MN CD 故 正确 7 90 解析 延长A1B1至D 使A1B1 B1D 则AB1 BD MBD就是直线AB1和BM所成的角 设三棱柱的各条棱长为 2 则BM BD 2 52 C1D2 A1D2 A1C 2A1D A1C1cos 60 2 1 16 4 2 4 12 DM2 C1D2 C1M2 13 cos DBM 0 DBM 90 BM2 BD2 DM2 2 BM BD 8 3 6 解析 如图 取PB中点N 连接CN MN CMN为PA与CM所成的角 或补角 设PA 2 则CM 3 MN 1 CN 3 cos CMN MN2 CM2 CN2 2MN CM 3 6 9 证明 1 如图所示 连接CD1 EF A1B E F分别是AB和AA1的中点 EF A1B 且EF A1B 2 分 1 2 又 A1D1綊BC 四边形A1BCD1是平行四边形 A1B CD1 EF CD1 EF与CD1确定一个平面 E F C D1 11 即E C D1 F四点共面 6 分 2 由 1 知EF CD1 且EF CD1 1 2 四边形CD1FE是梯形 CE与D1F必相交 设交点为P 8 分 则P CE 平面ABCD 且P D1F 平面A1ADD1 P 平面ABCD且P 平面A1ADD1 10 分 又平面ABCD 平面A1ADD1 AD P AD CE D1F DA三线共点 12 分 10 解 如图所示 连接QR并延长 分别与C1B1 C1D1的延长线交于E F两