【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点45 事件与概率、古典概型与几何概型（含解析）新人教A版

1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 4545 事件与概率 古典概事件与概率 古典概 型与几何概型 解析版 型与几何概型 解析版 加 加 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 一一 考纲目标考纲目标 随机事件的概念 实践的交 并 互斥事件及对立事件 频率 概率的概念和概率的基本性质 古典概型及几何概型的定义 概率的计算及应用 二二 知识梳理知识梳理 1 事件 1 必然事件 在一定条件下必然发生的事件 2 不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件 3 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 4 基本事件 基本事件空间 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件 它是试验中不能再分的最简单的随机事件 所 有基本事件构成的集合称为基本事件空间 基本事件空间常用大写希腊字母 表示 2 概率与频率 1 概率定义 在 n 次重复进行的试验中 事件 A 发生的频率 m n 当 n 很大时 总是在某个常数 附近摆动 随着 n 的增加 摆动幅度越来越小 这时就把这个常数叫做事件 A 的概率 记作 P A 2 概率与频率的关系 概率可以通过频率来 测量 频率是概率的一个近似值 3 互斥与对立事件 名称定义符号表示 并事件 和事件 由事件 A 和 B 至少有一个发生 所构成的事件 C A B 互斥事件不可能同时发生的两个事件 A B A B 互为对 立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件 A B A B A B 4 概率的几个基本性质 2 1 概率的取值范围为 0 P A 1 2 必然事件的概率为 P A 1 3 不可能事件的概率为 P A 0 4 互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥 则 P A B P A P B 特别地 P A1 A2 An P A1 P A2 P An A1 A2 An彼此互斥 5 对立事件的概率 P 1 P A A 6 基本事件的两个特点 1 任何两个基本事件是相等的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 7 古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 8 古典概型的概率公式对于古典概型 任何事件的概率为 P A A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 9 几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型 为几何概率模型 简称为几何概型 10 几何概型的概率公式 在几何概型中 事件 A 的概率的计算公式如下 P A 构成事件 A 的区域长度 面积和体积 实验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 三 考点逐个突破三 考点逐个突破 1 1 互斥事件与对立事件的判断互斥事件与对立事件的判断 例 1 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件 某小组有 3 名男生和 2 名女生 从中任选 2 名同学去参加演讲比赛 其中 1 恰有 1 名男生和恰有 2 名男生 2 至少有 1 名男生和至少有 1 名女生 3 至少有 1 名男生和全是男生 4 至少有 1 名男生和全是女生 思路点拨 应重点关注从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名同学的所有可能情况 然后根据各事件 包含的各种可能结果来判断各事件的关系 解 1 是互斥事件 不是对立事件 3 原因是 在所选的 2 名同学中 恰有 1 名男生 实质是选出的是 1 名男生和 1 名女生 它与 恰有两名男生 不可能同时发生 所以是一对互斥事件 但其并事件不是必然事件 所以不是 对立事件 2 不可能是互斥事件 从而也不是对立事件 原因是 至少有 1 名男生 包括 1 名男生和 1 名女生 与 两名都是男生 两种结果 至少 有 1 名女生 包括 1 名女生和 1 名男生 与 两名都是女生 两种结果 它们可能同时发生 3 不可能是互斥事件 也不是对立事件 原因是 至少有 1 名男生 包括 1 名男生和 1 名女生 与 两名都是男生 这与 全是男生 可能同时发生 4 是互斥事件 也是对立事件 原因是 至少有 1 名男生 包括 1 名男生和 1 名女生 与 两名都是男生 两种结果 它与 全是女生 不可能同时发生 且其并事件是必然事件 所以也是对立事件 2 2 随机事件的概率与频率随机事件的概率与频率 例 2 某市统计的 2006 2009 年新生婴儿数及其中男婴数 单位 人 见下表 时间2006 年 2007 年2008 年 2009 年 新生婴儿数 21840230702009419982 男婴数 11453120311029710242 1 试计算男婴各年的出生频率 精确到 0 001 2 该市男婴出生的概率约是多少 解 从概率的定义中 我们可以看出 概率是可以通过频率来 测量 的 或者说频率是概率的 近似值 1 2006 年男婴出生的频率为 f nA 0 524 nA n 11453 21840 同理可求得 2007 年 2008 年和 2009 年男婴出生的频率分别约为 0 521 0 512 0 513 2 由以上计算可知 各年男婴出生的频率在 0 51 0 53 之间 所以该市男婴出生的概率约为 0 52 3 3 互斥事件与对立事件的概率互斥事件与对立事件的概率 例例 3 3 袋中有 12 个相同的小球 分别为红球 黑球 黄球 绿球 从中任取一球 得到红球的概 率是 得到黑球或黄球的概率是 得到黄球或绿球的概率也是 1 3 5 12 5 12 1 求得到黑球 得到黄球及得到绿球的概率 4 2 求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率 解 1 从袋中任取一球 记事件 A 为 得到红球 B 为 得到黑球 C 为 得到黄球 D 为 得到绿球 则事 件 A B C D 两两互斥 由已知 P A P B C P B P C P C D P C P D 1 3 5 12 5 12 P B C D 1 P A 1 1 3 2 3 B 与 C D B C 与 D 也互斥 P B P B C D P C D 2 3 5 12 1 4 P D P B C D P B C 2 3 5 12 1 4 P C 1 P A B D 1 P A P B P D 1 1 1 3 1 4 1 4 5 6 1 6 故得到黑球 得到黄球 得到绿球的概率分别是 1 4 1 6 1 4 2 得到的球既不是黑球也不是绿球 得到的球是红球或黄球 即事件 A C P A C P A P C 故所求的概率是 1 3 1 6 1 2 1 2 4 4 简单的古典概型的简单的古典概型的概率概率 例 4 箱中有 6 张卡片 分别标有 1 2 3 6 1 抽取一张记下号码后不放回 再抽取一张记下号码 求两次之和为偶数 的概率 2 抽取一张记下号码后放回 再抽取一张记下号码 求两个号码中至少一个为偶数的概率 解 1 设 两次之和为偶数 的事件为 A 则 P A 12 30 2 5 2 基本事件的个数是 36 其中两个号码都是奇数的有 1 1 1 3 1 5 3 1 3 3 3 5 5 1 5 3 5 5 共计 9 个基本事件 故两个号码至少有一个偶数含有 27 个基本事 件 设 两个号码中至少一个为偶数 的事件为 B 则 P B 27 36 3 4 5 5 较复杂的古典概型问题较复杂的古典概型问题 例 5 如上图 在某城市中 M N 两地之间有整齐的方格形道路网 其中 A1 A2 A3 A4是道路 网中位于一条对角线上的 4 个交汇处 5 今在道路网 M N 处的甲 乙两人分别要到 N M 处 他们分别随机地选择一条沿街的最短路径 以相同的速度同时出发 直到到达 N M 处为止 1 求甲经过 A2到达 N 处的方法有多少种 2 求甲 乙两人在 A2处相遇的概率 3 求甲 乙两人相遇的概率 解 1 甲经过 A2 可分为两步 第一步 甲从 M 到 A2的方法有 C 种 1 3 第二步 甲从 A2到 N 的方法有 C 种 1 3 所以甲经过 A2到达 N 处的方法有 C 2 9 种 1 3 2 由 1 知 甲经过 A2的方法数为 9 乙经过 A2的方法数也为 9 所以甲 乙两人在 A2处相遇的方法数为 9 9 81 甲 乙两人在 A2处相遇的概率为 81 C3 6C3 6 81 400 3 甲 乙两人沿最短路径行走 只可能在 A1 A2 A3 A4处相遇 他们在 Ai i 1 2 3 4 处相遇 的走法有 C 4种方法 所以 C 4 C 4 C 4 C 4 164 i 130 31 32 33 3 故甲 乙两人相遇的概率为 164 400 41 100 6 6 与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型 例 6 在集合 A m 关于 x 的方程 x2 mx m 1 0 无实根 中随机地取一元素 m 恰使式子 lgm有 3 4 意义的概率为 思路点拨 转化条件与结论 用几何概型求解 解析 由 m2 4 m 1 0 得 1 m0 即使 lgm 有意义的范围是 0 4 故所求概率为 P 4 0 4 1 4 5 7 7 与面积与面积 或体积或体积 有关的几何概型有关的几何概型 例 7 在平面区域 x y y x2 2x 且 y 0 内任意取一点 P 则所取的