解决平面向量问题“五技巧”

解决平面向量问题 五技巧 平面向量具有 数 和 形 的 双重身份 是数形结合的典范 准确把握平面向量 的概念与运算 正确理解向量的几何意义 充分发挥图形的直观作用 挖掘 式 和 形 中隐含的几何关系和数量关系 这样才能较好地解决平面向量问题 在熟练掌握解决平面 向量问题的通性通法的基础上 还要体味如何巧解平面向量问题 下面的 五巧 要尽量 掌握 一 巧用向量中点公式 在平面内 设点为线段的中点 为任意一点 则 CABO 1 2 OCOAOB 例 1 2011 年高考上海卷 文 18 设是平面上给定的 4 个不同点 则使 1234 A A A A 成立的点的个数为 1234 MAMAMAMA 0 M A 0 B 1 C 2 D 4 分析 由条件得 联想向量中点公式进行简化得 1234 MAMAMAMA 其中为线段的中点 为线段的中点 进而得到为MCMD C 12 A AD 34 A AM 的中点 问题即可获解 CD 解 设为线段的中点 为线段的中点 由条件得C 12 A AD 34 A A 即 所以向量与是相反向量 且共 1234 MAMAMAMA MCMD MC MD 用起点 所以为的中点 所以点的个数是唯一的 选 B MMCDM 点评 利用向量中点公式对条件向量等式进行简化 化归为熟知的问题 简捷获解 牛刀小试 赣州市 2011 届高三摸底考试 在长方形中 ABCD 2 6 3 AB 为的中点 若是线段上动点 则的最小值是 3 3 AD OABPDO PAPBPD 解 由题意得 因为为的中点 所以 22 1ODOAAD OAB 设 则 2PAPBPO PDx 01x 1POx PAPBPD 2PO PD 故所求最小值2 cos180POPD 2 1 xx 2 11 2 22 x 1 2 为 1 2 二 巧用 ab0 a b 例 2 2011 年高考上海卷 理 11 在正三角形中 是上的一点 ABCDBC 则 3AB 1BD AB AD 分析 欲求 而 虽然可以利用条件AB AD AD cosBAD 求出 但是显得繁琐 注意到 作60ABC 1BD 3AB 垂足为 则可将转化为 可快速获DEAB EAB AD AB AE 解 解 如图 过点作垂足为 则DDEAB EAB AD ABAEED AB AEAB ED AB AE 3 AE 1 3 3 2 BD 15 2 点评 利用结合问题的特征 数量 图形 数形结合 将要求解 ab0 a b 的目标进行转化 利于沟通条件而快捷获解 牛刀小试 2011 年高考湖南卷 理 14 在边长为 1 的正三角形 中 设 则ABC2BCBD 3CACE AD BE 解 依题意为的中点 所以DBCADBC AD BE ADBCCE AD BCAD CE AD CE cos150ADCE 3131 2324 三 巧用平面内三点共线的充要条件 平面内三点共线 对平面内任意一点 使得 A P B APAB R O 其中 OPOAOB R1 例 3 2011 届北京市东直门学校第二次月考 已知是平面上不共线的三点 A B C 为的外心 为的中点 动点满足OABC DABP 1 2 2 12 3 OPODOC 则点的轨迹一定过的 RPABC A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心 分析 审视条件向量等式 有 问题即可获解 11 22 12 1 33 解 因为 所以 11 22 12 33 OPODOC 11 22 12 1 33 三点共线 又为的中点 所以点的轨迹一定过的重心 选 C P C DDABPABC 点评 利用平面内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式 的 包装 露出三点共线这个 内核 问题迎刃而解 P C D 牛刀小试 哈尔滨市 2011 届高三第二次月考试题 如图 在中 于 为的中点 若ABC AHBC HMAH 则 AMABAC 解 因为为的中点 三点共线 所以 MAH B H C2AMAHABAC 所以 所以 1 22 AMABAC 11 22 四 巧用常用结论 1 三角形四心的向量表示 在中 角所对的边分别为 ABC A B C a b c 为外心 为重心 为垂心O 222 OAOBOC G GAGBGC 0 0H 为内心 2 HA HBHB HCHC HA I a IAb IBc IC 0 0 简化为 所在的直线一定通过的内心 即为的角 ABAC ABAC AD ABC ADBAC 平分线 3 所在的直线一定通过的重心 4 ABAC ABC 简化为 可证得 所在直线一定通过 cos cos ABAC ABBACC AP 0AP BC 的垂心 ABC 例 4 上海市浦东新区 2011 届高三质量抽测 点在所在平面内 给出下列OABC 关系式 1 2 3 OAOBOC 0 0OA OBOB OCOC OA ACAB OA ACAB 4 则点依 0 BCBA OB BCBA 0OAOBABOBOCBC O 次为的 ABC A 内心 外心 重心 垂心 B 重心 外心 内心 垂心 C 重心 垂心 内心 外心 D 外心 内心 垂心 重心 分析 根据熟知的结论可排除选项 A B D 选 C 解 1 显然为的重心 2 显然为的垂心 3 设OABC OABC 则 都为单位向量且分别与 同向共 AC AM AC AB AN AB AM AN AC AB 线 由得 所以 所以是的 0 ACAB OA ACAB 0OA NM OAMN OABAC 平分线 同理由得到是的平分线 所以为的 0 BCBA OB BCBA OBABC OABC 内心 4 设为的中点 由得 所以 DAB 0OAOBAB 20OD AB ODAB 所以是的垂直平分线 同理由得到点在线段的垂直平ODAB 0OBOCBC OBC 分线上 所以为的外心 OABC 点评 熟记一些重要而常用的小结论 对解决数学问题是很有益的 或者可以开启解 题思路 或者可以直接用于解题赢得考试时间 牛刀小试 安徽蚌埠二中 2011 届高三第四次质量检测题 已知所在平面上ABC 的动点满足 则点的轨迹过的 M 22 2AM BCACAB MABC A 内心 B 垂心 C 重心 D 外心 解 由已知得 即2 AM BCACABACAB 所以 设的中点为2 AM BCACABBC 2 0BCAMABAC BC 则 所以 所以 所以动点在的D2ABACAD 20BCDM MDBC MBC 垂直平分线上 所以点的轨迹过的外心 选 D MABC 五 巧构图形 1 构图求向量夹角的取值范围 例 5 2011 年高考课标全国卷 理 10 已知与均为单位向量 其夹角为 有下ab 列命题 1 p 2 1 0 3 ab 2 p 2 1 3 ab 3 p 1 0 3 ab 4 p 1 3 ab 其中真命题是 A B C D 14 pp 13 pp 23 pp 24 pp 分析 利用向量的三角形法则分别表示 固定而让旋转 观察角 ab abab 如何变化结合条件即可确定相应的取值范围 解 如图 1 AB a BC b 当绕着点逆时针旋转 AC abCBD BC B 时 增大 减小 当时为正 AC ab 2 3 ABC 三角形 易知 如图 2 a b 2 0 3 AB a AC b 当绕着点逆时针旋转时 增大 增 CB abCAB AC A CB ab 大 易知 故选 A ab 3 点评 向量具有 数 和 形 的双重特征 利用向量的三角形法则和运动思想 研 究相应条件下的取值范围 解法新颖独特 直观快捷 只画图让图在大脑中运动并抓临 界值即可获解 牛刀小试 2011 年高考浙江卷 理 14 若平面向量 满足 1 且以向量 为邻边的平面四边形的面积为 则向量与的夹角的取 1 1 2 值范围为 解 如图 在单位圆中 取半径 设 作OAOAOA 交圆于点 取的中点 过点作的平行线交OBOA BOBDDOA 单位圆于点 设 当点在线段 含两个端点 E FOC CEF 上时满足 且以向量 为邻边的平面四边形的面积为 1 1 2 易知 所以 6 EOA 5 6 FOA 5 66 2 求向量的模的最值 例 6 2011 年高考天津卷 理 14 已知直角梯形中 ABCD ADBC 是腰上的动点 则的最小值为90ADC 2AD 1BC PDC 3 PAPB 分析 构图时自然是从直角梯形内的向量图ABCD 形出发 扣住的特点设法用一个向量三角形来3PAPB 描述转化为即 点在GPPF 3 PAPBGF P 上运动时 动点在直线上的投影点到点DCGADE 的距离为 2 动点在直线上的投影点到点DFADN 的距离为 3 于是获得构图思路 D 解 作出直角梯形 延长至点使得 过点ABCDADEADDE 作 延长至点 使得 过点作 交的EHEAD CBM2MBBC MMNAD DA 延长线于点 如图 由 易知 延长交于点 延N2AD 1BC 5EN APEHG 长交于点 则 当点向点靠近时 点向上PBMNF3PAPB GPPFGF PCG 运动 点向下运动 当即F22 GEPDCDPC 2FNPCCD GEFN 时 此时取得最小值 所以的最小值为 3 4 PCCD GFAD GF 5 3 PAPB 5 点评 依据的特点及已知条件进行 充分利用平面几何知识巧妙构图 数3PAPB 形结合在运动中探索的最小值 3 PAPB 牛刀小试 2011 年高考辽宁卷 理 10 若 均为单位向量 且 abc0 a b 则的最大值为 0 acbc abc A B C D 21 122 解 因为 均为单位向量 且 所以构造abc0 a b 单位圆 如图 使得 OA a 又 所以OB bOC cOBOA 0 acbc 所以只能在内或者与 或 重合 作 则90BCA OCBOA OAOBOD ab 所以当点在线