解析法在几何中的应用

解析法在几何中的应用 摘要 解析法彻底改变了数学的研究方法 它把 几何的问题变换成一个相应的代数问题 再把代数问题归 结到去解一个方程式 从而使解决问题的方法变得更为简 单 本文将从平面几何 立体几何 平面解析几何和空间 解析几何四大方面举例说明解析法在几何中的应用 关键词 解析法 几何 轨迹 对称 笛卡尔为了把算术 代数 几何统一起来 他设想把 数学问题化为一个代数问题 再把任何代数问题归结到去 解一个方程式 于是笛卡尔从天文和地理的经纬度出发 指出平面上的点和实数对 x y 的对应关系 x 和 y 的不同数 值可以确定平面上不同的点 即平面上的点和实数对 x y 建 立了一一对应关系 这就是解析几何的基本思想 也是代 数和几何的第一次完美结合 一 解析法的概念 平面解析几何的基本思想有两个点 第一 在平面建立坐标系 取定两条相互垂直的 具 有一定方向和度量单位的直线 叫做平面上的一个直角坐 标系 oxy 利用坐标系可以把平面内的点和一实数对 x y 建 立起一一对应的关系 除了直角坐标系外 还有斜坐标系 极坐标系 空间直角坐标系等等 在空间直角坐标系中还 有球面坐标系和柱面坐标系 第二 坐标系将几何对象和数 几何关系和函数之间 建立了密切联系 这样就可以对空间形式的研究归结成比 较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了 用这种方法研究 几何学通常就叫做解析法 二 解析法的意义 这种解析法不但对于解析几何是重要的 而且对于几 何学的各个分支的研究也是十分重要的 应用坐标法不仅 可以把几何问题通过代数的方法解决 而且还把变量 函 数以及数和形等重要概念密切联系起来 正如笛卡尔的数 学格言 一切问题可以化成数学问题 一切数学问题可 以化成代数问题 一切代数问题可以化成方程求解的问题 三 解析法在平面解析几何中求轨迹问题的应用 根据形成曲线的几何条件 在适当的坐标系下求出曲 线的方程 这是解析几何的基本问题 也是代数方法研究 几何问题的基础 轨迹求法的步骤是根据题设条件 分析 推导出动点所满足的几何性质 然后根据圆锥曲线的定义 以及所熟悉的各种曲线的定义 写出轨迹方程 并说明其 图形的形状和位置 例 1 已知 ABC 的两个顶点 A B 分别是椭圆 2x2 3y2 12 的左 右焦点 且求顶点 C 的轨迹方程 解 椭圆的焦点分别为 A 2 0 B 2 0 则 AB 2 2 由 得 即 2 sinB sinA sin A B sinC 由正弦定理 得 2 AC BC AB 2 2 由双曲线的定义知 即 ABC 的顶点 C 的轨迹是以原 点为中心 a 2 2 c 2 的双曲线的右支 除去顶点 2 2 0 b2 c2 a2 3 2 故 ABC 的顶点 C 的轨迹方程为 2x2 2 3y2 1 x 0 y 0 四 解析法在空间解析几何中关于点 直线 平面之 间对称性的应用 在几何历史上 不少学者对对称问题作了很多研 究 从代数观点看 实质上就是一种变换 下面用解析法 展开了对点 直线 平面之间的对称性问题的求解方法的 研究 并用定理证明和例题解答的形式明确给出了各种对 称性问题的求解方法 定理 1 点 p1 x1 y1 z1 关于点 p0 x0 y0 z0 的对称点 p1 的坐标是 x1 2x0 x1 y1 2y0 y1 z1 2z0 z1 证明 设点 P1 x y z 是点 P1 x1 y1 z1 关于点 P0 x0 y0 z0 的对称点 由中心对称的性质 P0 是线段 P1P1 中点 因而有 故 P1 的坐标是 2x0 x1 2y0 y1 2z0 z1 利用定理 1 的结论可以解决关于一点的对称直线与对 称平面问题 例 2 求平面 x y z 5 0 关于点 P0 1 2 3 的对称平 面 解 设 上的点 P x y z 关于点 P0 的对称点为 P1 x1 y1 z1 则点 P1 在平面 上 x y z 5 0 1 由中点坐标公式得 x1 2 x y1 4 y z1 6 z 2 把 2 代入 1 即得所求对称平面 的方程 x y z 7 0 例 3 求直线 l 关于点 P0 0 0 1 的对称直线 l 解 设 l 上的点 P x y z 关于点 P0 的对称点为 P1 x1 y1 z1 由 P1 在直线 l 上可得 3 由中点坐标公式 得 x1 x y1 y z1 2 z 4 把 4 代入 3 得所求对称直线 l 的方程 定 理 2 点 P1 x1 y1 z1 关于平面 Ax By Cz D 0 的对称点 P1 的坐标是 证明 因 P1 x1 y1 z1 为点 P1 关于平面 的对称点 则 P1P1 的中点 在平面 上 5 与 n A B C 共线 6 解 5 与 6 得证 定理 3 点 P1 x1 y1 z1 关于直线的对称点 P1 的坐标是 其中 l2 m2 n2 1 证明 因为 P1 x y z 为点 P1 关于直线 l 的对称点 则 P1P1 的中点在直线 l 上 7 与 v l m n 垂直 l x1 x1 m y1 y1 n z1 z1 0 8 解 7 与 8 定理得证 利用定理 3 不仅可以直接求出关于一直线对称点的问 题而且通过它的证明方法可以解决关于一直线的对称直线 与对称平面问题 关于一直线对称点的问题把已知条件直 接代入到定理 3 的公式中即可求出关于一直线对称点的坐 标 下面将举例说明如何通过定理 3 的证明过程来解决关于 一直线的对称直线与对称平面问题 例 4 求直线关于直线的对称直线 l1 解 可以证明二直线 l1 与 l2 相交 首先求出二直线的交 点 Q 1 1 0 取 P1 0 0 1 l 设 P1 x y z 为点 P1 关于直线 l2 的对 称点 则 P1P1 的中点在直线 l2 上 9 与 v2 1 1 1 垂直 x1 y1 z1 1 0 10 解 9 与 10 得对称点 最后由两点式写出对称直线 l1 的方程 综上所述 我们可以知道用解析法解题往往要通过坐 标系写出几何关系的表达式 再进行计算