矩孔夫琅和费衍射的原理及仿真分析

矩孔的夫琅和费衍射原理及仿真分析矩孔的夫琅和费衍射原理及仿真分析 摘要 摘要 利用光波的标量衍射理论推导夫琅和费衍射的原理并列出矩孔衍射在观察平面上的复振幅公式 进 而在 MATLAB 中写出对应的程序代码 再进行模拟仿真并分析不通条件下观察屏上的衍射光强强度分布 图 关键词 关键词 夫琅和费衍射 矩孔 复振幅 光强 正文部分正文部分 一一 应用应用 在科学实验和生产实践中 经常遇到一些狭缝 如光谱仪狭缝 或者微孔的精确测量问题 这些狭 缝或者微孔的尺寸大小 或者由于其他原因不能直接精确测量 这时 可以通过对狭缝或者微孔的较宽的 夫琅和费衍射图样进行测量 进而来间接确定狭缝或者微孔的尺寸 另外 在全息信息光学技术中 图像的再现过程出理也应用了是夫琅和费衍射原理 二二 理论基础理论基础 下图为课程设计过程的流程图下图为课程设计过程的流程图 收集 仿真实验资料 利用 光波标 量理论导出 衍射复 振幅公式 列出 夫琅和费 矩孔衍射 观察屏复振 幅的 表达式 在MATLAB 中写出上述 表达式的程序 改变某些 参数并仿真出 多个图像 对比仿真出的图形 并得出结论 光的衍射是光的波动性的主要标志之一 最初的理论 一定波长的波穿过与波长可比的小孔时会发生衍射现象 通过凸透镜可以将衍射条纹更 好的显示在衍射屏上 便于观察 实际理论 波的波面发生任何形式的形变 通过相位物体 或者说波面 波前 上光场的复振幅分布 受到任何空间的调制 都将导致衍射现象的产生 而使通过障碍或者是孔以后的光场复振幅重新分布 其 中 导致衍射发生的 障碍物 称 作衍射屏 下图介绍的是光波的衍射现象示意图及衍射中的三个波前 光波的标量衍射理论光波的标量衍射理论 1 惠更斯惠更斯 菲涅耳原理菲涅耳原理 2 波前 波面 上的每一点都可以看作为一个发出球面子波的次级扰动中心 在后一个时刻这些子波的 包络面就是此时此刻新的波前 A 为离点光源单位距离处的波振幅 R 是波面的半径 1 1 设单色点光源 s 在波面上任意一点 Q 产生复振幅如下 exp Q A EikR R 1 2 衍射屏上面元在 P 点的复振幅可以表示如下 d exp exp AikRikr d E PCKd Rr 1 3 波面的子波对 P 点产生的复振幅总和为 exp exp CAikRikr E Pkd Rr 2 菲涅耳菲涅耳 基尔霍夫衍射公式 基尔霍夫衍射公式 由于菲涅耳理论本身的缺陷 所以从波动微分方程出发 利用场论中的 Green 定理及电磁场的边值条件 其中倾斜因子为和常数 C 均在下面所设 k exp exp cos cos 2 Aiklikrn rn l E Pd ilr 若设若设 1 C i exp Aikl E Q l cos cos 2 n rn l K 则上式可化为 则上式可化为 exp ikr E PCE QKd r 3 基尔霍夫衍射公式的近似基尔霍夫衍射公式的近似 菲涅耳衍射近似满足 3 222222 111111 11 21 111 1 1 222 xxyyxxyyxyxy rzz zzzz 当上式中很大而使得第四项相对相位的贡献远小于时 即满足 1 z 22 1 2 xy k z 随着的逐渐增大 从而可推得夫琅和费衍射公式如下 1 z 22 1 1 1111 111 exp exp exp 2 ikzikik E x yxyE x yxxyydx dy i zzz 以上是矩孔的矩孔夫琅和费衍射复振幅计算公式的推导过程计算公式的推导过程 如下为夫琅和费矩孔衍射装置及其示意图如下为夫琅和费矩孔衍射装置及其示意图 三三 复振幅计算公式及仿真复振幅计算公式及仿真 3 1 首先设定各已知量并列出公式首先设定各已知量并列出公式 1 波长 550nm 孔的长宽 a 0 008 b 0 008 聚焦凸透镜的焦距 f 50 观察平面上 P 点的复振幅计算公式为 22 22 1111 22 exp exp sin exp sin 2 ab abxy xy ECikikx dxiky dy f 22 sin sin sinsin 22 exp sinsin 2 2 2 y x xy kb ka xy C abik kakb f 其中有 exp CA Cikf f 下面为光强计算式的简化过程和表达 下面为光强计算式的简化过程和表达 4 可令可令 sin sin sin sin 22 y x xy kb ka ab 则有 则有 2 2 0 sinsin IEI 2 利用利用 MATLAB 仿真软件写出仿真程序并画出仿真图形仿真软件写出仿真程序并画出仿真图形 下面是调试后并且运行正确的程序下面是调试后并且运行正确的程序 2 1 仿真程序如下 仿真程序如下 设定系数设定系数 a 0 008 矩孔长度 b 0 008 矩孔宽度 bc 550e 9 仿真实验中的波长 f 50 凸透镜焦距 定义波矢 k k 2 pi bc 设定过矩孔的光强振幅设定过矩孔的光强振幅 a0 及常数及常数 c a0 1 c 1 i k 定义复振幅定义复振幅 c0 c0 c a0 f exp i k f 定义观察屏坐标定义观察屏坐标 x y x 0 008 0 00016 0 008 观察屏上的横向坐标 y 0 008 0 00016 0 008 观察屏上的纵向坐标 首先生成一个矩阵 E zeros 101 101 生成一为下面显示立体图时的采点做准备 计算观察平面上的图形计算观察平面上的图形 for r 1 101 二维坐标的采点矢量 for s 1 101 二维坐标的采点矢量 m x r sqrt x r 2 f 2 横向偏角及纵向偏角 上图所示 的正弦值 n y s sqrt x s 2 f 2 和sin x sin y p sin k m a 2 k m a 2 eps 有助于 E r s 式的简化 q sin k n b 2 k n b 2 eps 有助于 E r s 式的简化 E r s c0 a b p q exp i k x r 2 y s 2 2 f 复振幅表达式 E r s abs E r s 2 E 即为光强 I 的表达式 end 第一层嵌套执行结束 end 第二层嵌套执行结束 E E max max E 与最大光强相除 即对光强进行归一化 构造网格曲面构造网格曲面 X Y meshgrid x y 将采样点编制成格子状 其中 X Y figure 1 mesh X Y E 5 figure 2 surf X Y E 横坐标和纵坐标 view 0 90 俯视角度 figure 3 mesh X Y E view 0 0 水平角度 2 2 运行仿真程序所得的图形运行仿真程序所得的图形 1 下面为上述程序的三维仿真图形 下面为上述程序的三维仿真图形 550 a b 0 008 右方右方为三维三维仿真图形 下方下方为从 Z 轴轴正方向看强三维图 右下方右下方为从 Y 轴轴方向看光强三维图形 6 四四 仿真结果分析仿真结果分析 4 1 下图分别是四种情况下的三维光强图形 利用设置不同的参数而进行的对比 下图分别是四种情况下的三维光强图形 利用设置不同的参数而进行的对比 a 100e 9 a b 0 008 f 50 b 1500e 9 a b 0 008 f 50 c 550e 9 a b 0 001 f 50 d 550e 9 a b 0 1 f 50 e 550e 9 a b 0 008 f 5 f 550e 9 a b 0 008 f 400 a b c d 7 e f 4 2 对仿真图形与最初设置值的结果进行的比较分析 对仿真图形与最初设置值的结果进行的比较分析 对于图 a b 可知 当衍射孔的长度宽度不变时 光波的波长越接近孔的大小 光强图的凹凸散布 更加明显 即衍射现象也更加明显 但衍射光强分布范围更大 对于图 c d 可知 若波长不变时 则当衍射孔的长度宽度越接近波长 光强图的凹凸散布更加明 显 从而得衍射现象也越明显 光强的分布范围减小 对于图 e f 可知 若最初的透镜焦距适合衍射现象的聚光作用 而随着透镜焦距的减小 那么夫 琅和费衍射就越不明显 而随着透镜焦距的增大 衍射现象更加明显 衍射光强的分布范围减小 本实验 只能粗略的表现孔的大小与波长对衍射现象的影响 可以确定衍射明显度与透镜焦距长短的 关系 但不能进一步说明孔的大小与波长的达到什么具体的比值才会使衍射现象更加明显 从其他角度观看 从其他角度观看 由上这些图可以更明晰的看到衍射后的光强分布 五五 总结总结 设计感想设计感想 通过这次课程设计过程中 虽然有许多的问题 对理论的理解有些浅薄 对软件的 使用有些生疏 但还是尽量用 MTALAB 写出了计算公式的源代码 在做实验分析的过程中 先利用书本上的知识 不断 影响我的认识 在 MATLAB 进行的软件仿真式样中 可以通过更改不同的参数 进而对模拟仿真所产生 的图形进行比较 可以得到差异 对这些差异进行分析就可以知道某些物理量对实验效果所产生的作用是 怎样的 因此 比较法对于研究某些物理量对物理现象的影响是十分重要和有效的