【步步高】2014届高三数学大一轮复习 7.4 基本不等式课时检测 理 苏教版

1 7 47 4 基本不等式基本不等式 一 填空题 1 已知x y R R 且满足 1 则xy的最大值为 x 3 y 4 解析 x 0 y 0 且 1 2 xy 3 当且仅当 时取等号 x 3 y 4 xy 12 x 3 y 4 答案 3 2 已知p a q x2 2 其中a 2 x R R 则p q的大小关系为 1 a 2 1 2 解析 p a a 2 2 2 2 4 1 a 2 1 a 2 a 2 1 a 2 当a 2 即a 3 时取等号 q x2 2 4 p q 1 a 2 1 2 答案 p q 3 若x y是正数 则 2 2的最小值是 x 1 2y y 1 2x 解析 由 2 2 x2 y2 2 x 1 2y y 1 2x 1 4x2 1 4y2 2 2 2 4 当且仅当x y 时取等号 x2 1 4x2 y2 1 4y2 2 2 答案 4 4 已知 0 a b 且a b 1 则下列不等式 log2a 0 2a b 1 2 2 log2a log2b 2 其中正确的是 a b b a 1 2 解析 由 0 a b 且a b 1 得 0 a b 1 所以 log2a 0 易得a b 1 所 1 2 以 2a b 由 2 得 2 4 由 1 a b 2 a b 得ab 所以 1 2 a b b a a b b aab 1 4 log2a log2b log2ab 2 仅 正确 答案 5 在等式 1 两个括号内各填入一个正整数 使它们的和最小 则填 1 9 入的两个数是 解析 设括号内填入的两个正整数为x y 则有 1 1 x 9 y 于是x y x y 1 x 9 y 2 10 10 2 16 当且仅当y2 9x2 y x 9x y y x 9x y 即x 4 y 12 时等号成立 此时x y取最小值 16 故应填 4 和 12 答案 4 和 12 6 已知正项等比数列 an 满足 a7 a6 2a5 若存在两项am an使得 4a1 则 aman 1 m 的最小值为 4 n 解析 由a7 a6 2a5 得a5q2 a5q 2a5 又a5 0 q 0 所以q2 q 2 解为q 2 于是由 4a1 得m n 6 aman 所以 m n 5 4 当且仅当n 2m 1 m 4 n 1 6 1 m 4 n 1 6 5 n m 4m n 1 6 3 2 即m 2 n 4 时等号成立 故 min 1 m 4 n 3 2 答案 3 2 7 函数y loga x 1 1 a 0 且a 1 的图象恒过定点A 若点A在一次函数 y mx n的图象上 其中mn 0 则 的最小值为 1 m 2 n 解析 y mx n过定点 2 1 所以 2m n 1 所以 2m n 4 4 2 8 1 m 2 n 1 m 2 n 4m n n m 4m n n m 答案 8 8 若不等式 2a 1 对一切非零实数x恒成立 则实数a的取值范围是 x 1 x 解析 因为 2 所以 2a 1 2 解得 a x 1 x 1 2 3 2 答案 1 2 3 2 9 已知 0 x 则函数y 5x 3 4x 的最大值为 3 4 解析 因为 0 x 所以 x 0 3 4 3 4 所以y 5x 3 4x 20 x 20 2 当且仅当x x 3 4 x x 3 4 x 2 45 16 3 4 即x 时等号成立 3 8 3 答案 45 16 10 已知二次函数f x ax2 2x c x R R 的值域为 0 则 的最小值 a 1 c c 1 a 为 解析 由题可得a 0 c 0 且 22 4ac 0 即ac 1 所以a c 2 2 当且仅 ac 当a c 1 时取等号 所以 ac a2 c2 a c a c 2 a c 2 当且仅当 a 1 c c 1 a a 1 c c 1 a a c 1 时 min 22 2 2 4 a 1 c c 1 a 答案 4 11 若不等式 4x2 9y2 2kxy对一切正数x y恒成立 则整数k的最大值为 解析 由 4x2 9x2 2kxy x 0 y 0 得 2k 因为 2 12 所以 4x y 9y x 4x y 9y x 4x y 9y x 2k 12 所以k 3 即kmax 3 答案 3 12 如果函数f x 在区间D上是凸函数 在D内任意x1 x2 xn 都有 f f x1 f x2 f xn n x1 x2 xn n 若y sin x在 0 是凸函数 可以推出在 ABC中 sin A sin B sin C的最大值为 解析 f f f A f B f C 3 A B C 3 3 所以 sin A sin B sin C 1 3 3 2 所以 sin A sin B sin C 即最大值为 3 3 2 3 3 2 答案 3 3 2 13 不等式a2 3b2 b a b 对任意a b R R 恒成立 则实数 的最大值为 解析 因为要求 的最大值 所以只需要考察b a b 0 的情况 假设b a b 0 所以由a2 3b2 b a b 得 a2 3b2 ab b2 a b 2 3 a b 1 不妨令 t 0 不妨令h t a b t2 3 t 1 t 1 2 2 t 1 4 t 1 4 t 1 2 2 2 2 4 t 1 t 1 4 t 1 当t 1 时取等号 故 的最大值为 2 答案 2 二 解答题 14 对于任意x R R 不等式 2x2 a 3 0 恒成立 求实数a的取值范围 x2 1 解析 原不等式可化为a 2 恒成立 2x2 3 x2 1 2 x2 1 1 x2 1x2 1 1 x2 1 问题转化为求f x 2 的最小值 x2 1 1 x2 1 令u 1 x2 1 而函数f u 2u 在 1 上单调递增 1 u 所以f u f 1 2 1 3 所以f x min 3 故a 3 15 扬州某地区要建造一条防洪堤 其横断面为等腰梯形 腰与底边成角为 60 如图 考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素 设计其横断面要求面积为 9平方米 且高不低 3 于米 记防洪堤横断面的腰长为x 米 外周长 梯形的上底线段BC与两腰长的和 为 3 y 米 1 求y关于x的函数关系式 并指出其定义域 2 要使防洪堤横断面的外周长不超过 10 5 米 则其腰长x应在什么范围内 3 当防洪堤的腰长x为多少米时 堤的上面与两侧面的水泥用料最省 即断面的外周长最 小 求此时外周长的值 解析 1 9 AD BC h 其中AD BC 2 BC x h x 3 1 2 x 2 3 2 所以 9 2BC x x 得BC 3 1 2 3 2 18 x x 2 由Error 得 2 x 6 所以y BC 2x 2 x 6 18 x 3x 2 2 由y 10 5 得 3 x 4 18 x 3x 2 因为 3 4 2 6 所以腰长x的范围是 3 4 3 y 2 6 当且仅当 即x 2 2 6 时等号成立 18 x 3x 2 18 x 3x 23 18 x 3x 23 5 故外周长的最小值为 6米 此时腰长为 2米 33 16 有一隧道既是交通拥挤地段 又是事故多发地段 为了保证安全 交通部门规定 隧 道内的车距d m 正比于车速v km h 的平方与车身长l m 的积 且车距不得小于一个车身 长l 假设所有车身长均为l 而当车速为 60 km h 时 车距为 1 44 个车身长 1 求通过隧道的最低车速 2 在交通繁忙时 应规定怎样的车速 可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多 解析 1 依题意 设d kv2l 其中k是待定系数 因为当v 60 时 d 1 44l 所以 1 44l k 602l 所以k 0 000 4 则d 0 000 4v2l 因为d l 所以 0 000 4v2l l 所以v 50 所以最低车速为 50 km h 2 因为两车间距为d 则两辆车头间的距离为 l d m 一小时内通过汽车的数量为Q 即Q 1 000v l 0 000 4v2l 1 000 l 1 v 0 000 4v 因为 0 000 4v 2 0 04 1 v 1 v 0 000 4v 所以Q 25 000 l 当 0 000 4v 即v 50 时 Q取得最大值为 1 v 25 000 l 所以当v 50 km h 时 单位时段内通过的汽车数量最多 17 心理学家研究某位学生的学习情况发现 若这位学生刚学完的知识存留量为 1 则x 天后的存留量y1 若在t t 0 天时进行第一次复习 则此时存留量比未复习情况 4 x 4 下增加一倍 复习的时间忽略不计 其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分 其斜率为 a 0 存留量随时间变化的曲线如图所示 当进行第一次复习后的存 a t 4 2 留量与不复习的存留量相差最大时 则称此时刻为 二次复习最佳时机点 6 1 若a 1 t 5 求 二次复习最佳时机点 2 若出现了 二次复习最佳时机点 求a的取值范围 解析 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y 由题意 得y2 x t t 0 a t 4 2 8 t 4 所以y y2 y1 x t t 4 a t 4 2 8 t 4 4 x 4 1 当a 1 t 5 时 y x 5 1 2 1 当且仅当 1 5 4 2 8 5 4 4 x 4 x 4 81 4 x 4 4 81 5 9 x 14 时取等号 所以 二次复习最佳时机点 为第 14 天 2 y x t a t 4 2 8 t 4 4 x 4 2 a x 4 t 4 2 4 x 4 8 t 4 a t 4 t 4 2 4a t 4 2 8 a t 4 当且仅当 即x t 4 4 时取等号 a x 4 t 4 2 4 x 4 2 a 由题意 得 t 4 4 t 所以 4 a 0 所以a的取值范围是 4 0 2 a 18 如图 ABC为一个等腰三角形形状的空地 腰CA的长为 3 百米 底AB的长为 4 百米 现决定在空地内筑一条笔直的小路EF 宽度不计 将该空地分成一个四边形和 一个三角形 设分成的四边形和三角形的周长相等 面积分别为S1和S2 1 若小路一端E为AC的中心 求此时小路的长度 2 求的最小值 S1 S2 解析 1 因为E为AC的中点 所以AE CE 3 2 因为 3 4 3 2 3 2 所以点F不在BC上 若点F在AB上 则AE AF 3 AE 4 AF 3 7 所以AE AF 5 所以AF 4 7 2 在 ABC中 cos A 2 3 在 AEF中 EF2 AE2 AF2 2AE AFcos A 2 9 4 49 4 3 2 7 2 2 3 15 2 所以EF 30 2 即小路一端E为AC的中点时小路的长度为 百米 30 2 2 若小道的端点E F都在两腰上 如图 设CE x CF y 则x y 5 1 S1 S