差分方程(第四章)

差分方程差分方程 对连续型变量而言 我们常常回到微分方程的问题 对离散型变量将导致一 类的问题 一 差分的定义一 差分的定义 定义 定义 设是一个函数 自变量从 变化到 这时函数的增量记 t yy t t1t 为 我们称这个量为在点 步长为 1 的一阶差分 简称 1 t yy ty t y tt 为的一阶差分一阶差分 为了方便我们也记 即 y t 1 1 tt yy tyy t 1ttt yyy 称为的二阶差分二阶差分 21121 2 tttttttt yyyyyyyy y t 简记为 2 t y 同样记为 并称为三阶差分三阶差分 2 t y 3 t y 一般记 称为 n 阶差分阶差分 且有 1 nn tt yy 0 1 n nii tnt n i i yCy 性质性质 当是常数 和是函数时 a b C t y t z 1 0C 2 tt CyCy 3 tttt aybzaybz 4 11 tttttttttt yzyzzyyzzy 5 其中 11 11 ttttttttt ttttt yzyyzzyyz zzzzz 0 t z 例例 1 已知 求 0 n t ytt t y 解解 1 n n t ytt 特别 当为正整数时 阶数降了一阶 n 1 n i n i tn i yC t 推论推论 若为正整数且时 为次多项式 则 m nmn P tn 0 mP t 例例 2 已知 求 01 t t yaa t y 解 解 1 1 ttt t yaaa a 二 差分方程二 差分方程 定义 定义 设是含有未知函数差分的等式 称为差分方程差分方程 它的一般形式为 1 0 ttt n F t y yy 或 0 n ttt G t yyy 其中是表达式 是自变量 使等式成立自变量的取值范围称为该方 F Gt 程的定义域定义域 形如的方程 也称为阶差分方程阶差分方程 为 1 0 ttt n F t y yy nn 方程的阶方程的阶 形如 1 011 t nt nnt a t ya t ya t yf t 称为阶线性差分方程阶线性差分方程 时为齐次的 时为非齐次的 n 0f t 0f t 差分方程是含有未知函数及其差分的方程 满足该方程的函数称为差分方程差分方程 的解的解 对于一阶差分方程来说 它的含有一个任意常数的解 称为此差分方程的 通解通解 一般来说 对于 n 阶差分方程 其含有 n 个互相独立的任意常数的解称为 差差分方程的通解分方程的通解 不含有任意常数的解称为差差分方程的特解 分方程的特解 同微分方程一样也 有初值问题 初值条件也有如下情形 一阶的如 二阶的如 0 0tt t yy 等等 0 0tt t yy 0 0tt t yy 对于线性差分方程的解的结构线性差分方程的解的结构有如下结论 定理定理 1 如果和都是齐次差分方程 1 yy t 2 yy t 011 0 t nt nnt a t ya t ya t y 的解 则对任意常数 也是它的解 1 C 2 C 1122 C y tC y t 定理定理 2 设 是齐次差分方程 0 0a t 1 2 n ttt yyy 011 0 t nt nnt a t ya t ya t y 的个线性无关的特解 则是它的通解 n 1 2 12 n tttnt yC yC yC y 定理定理 3 设 是齐次方程 0 0a t 1 2 n ttt yyy 011 0 t nt nnt a t ya t ya t y 的个线性无关的特解 是非齐次方程n t y 011 t nt nnt a t ya t ya t yf t 的一个特解 则是非齐次方程的通解 1 2 12 n tttntt yC yC yC yy 定理定理 4 设 是方程 1 t y 0111 t nt nnt a t ya t ya t yf t 的解 是方程 2 t y 0112 t nt nnt a t ya t ya t yf t 的解 则是方程 1 2 ttt yyy 01112 t nt nnt a t ya t ya t yf tf t 的解 本书着重研究一阶和二阶常系数的差分方程一阶和二阶常系数的差分方程 三 一阶常系数的差分方程三 一阶常系数的差分方程 一阶常系数的差分方程是 常数 1 tt yayf t 0a a 当 设是其齐次方程的解 即 0f t t t yr 1 0 tt rar 所以 那么有通解通解ra 1 0 tt yay 为任意常数 为任意常数 t t yCa C 例例 1 求差分方程的通解 023 1 xx yy 解 解 事实上原方程是所以其通解为 为任0 3 2 1 xx yy x x Cy 3 2 C 意常数 b 当 用待定系数法待定系数法求其特解特解 0f t 1 如果 次多项式 则非齐次方程为 m f tP t m 1 ttm yayP t 若若 1 是特征根 即 那么可以是次多1a 1 ttm yyP t t y1m 项式 相减时常数项和最高次数相被消去 所以可以设 2 012 m tm yt bbtb tb t 代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 012 m b b bb 若若 1 不是特征根 最高次数相不可能被消去 所以可以设有特1a 解 2 012 m tm ybbtb tb t 同样代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 012 m b b bb 2 如果 是次多项式 是常数 则非齐次 t m f tP t m P tm 方程为 1 t ttm ypyP t 为了求之一个特解 分两步 第一步 第一步 令 代入方程得 t tt yz 1 1 ttt ttm zpzP t 它等价于 1 ttm zpzP t 第二步 第二步 用 1 的方法 总之 对这种情况 可以直接设其特解为 其中 2 012 t sm tm yt bbtb tb t 当时 不是特征根 a 0s 当时 是特征根 a 1s 代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 012 m b b bb 3 如果 是实常数 则有 t f tCb C 当不是其特征方程的特征根时 特解为 为待定系数 b t DbD 当是其特征方程的特征根时 特解为 为待定系数 b 01 t DDt b 01 D D 代入方程后 比较系数确定或便得到一个特解特解 D 01 D D 4 如果 或 或 cossinf tMtNt cosMt 是实常数且 可以设有特解sinNt NM 2 0 cossin t yAtBt 同样代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 A B 5 如果 是实常数且 cossin t f tMtNt NM 是其模 可以设有特解 2 0 cossin t t yAtBt 同样代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 A B 例例 2 求差分方程 的通解 1 37 2t tt yy 解 解 显然其齐次方程的通解为 C 为任意常数 3t t yC 设其特解为 所以有 从而得 2t t yb 1 2327 2 ttt bb 7b 因此 原方程的通解为 37 2 tt t yC 表 表 一阶常系数线性非齐次差分方程的特解求解公式一阶常系数线性非齐次差分方程的特解求解公式 的形式 f t特解的形式 t y 与方程系数 的关 f ta 系 m Qt 1 a 1 不是特征根 m P t 是次多项式 m P tm m tQt 1 a 1 是特征根 t m Qt 0a 不是特征根 t m P t 是次多项式 m P tm t m tQt 0a 是特征根 t Db 为待定系数D 不是特征根b t Cb 是实数b1 b 01 t DDt b 为待定系数 01 D D 是特征根b cossinMtNt 或 cosMt 或sinNt cossinAtBt cossin t MtNt cossin t AtBt 四 二阶常系数的差分方程四 二阶常系数的差分方程 这里讨论的是这样的方程 是常数 先给 21 ttt ypyqyf t p q 结论 定理 定理 是方程 t t yr 2 21 0 ttt ypyqy 的解的充分必要条件 r 为方程 3 0 2 qprr 的根 证明略 3 式称为原方程的特征方程特征方程 下面分步讨论 1 当 当 0f t 如果 即其特征方程有两个不同实根两个不同实根 记为 注意到04 2 qp 21 r r 是线性无关的 所以齐次差分方程 2 有通解 12 tt r r 是任意常数 1 12 2 tt t yC rC r 21 C C 如果 即其特征方程有两个相同实根两个相同实根 记为 04 2 qp 2 21 p rr 可以验证是齐次差分方程 2 的线性无关的特解 所以 22 tt pp t 是任意常数 是齐次差分方程 2 的通解 12 2 t t p yCC t 21 C C 如果 因是实数 即其特征方程有两互为共轭的复根两互为共轭的复根 04 2 qp p q 记为 将其转化为三角形式 2 4 22 pi qpi 2 22 4 0 tan 22 qp q p 则 即 可以验证cos sin cossin ii 1 2 cossin cossin t t t t ytit ytit 是齐次差分方程 2 的特解 还可以证明 1 2 1 2 1 cos 2 1 sin 2 t tt t tt yyt yyt i 也是齐次差分方程 2 的线性无关的特解 所以 是任意常数 12 cos sin t t yCtCt 21 C C 是齐次差分方程 2 的通解 例例 1 求的通解 21 430 ttt yyy 解解 其特征方程 有根 1 3 原方程有通解034 2 rr 是任意常数 12 1 3 tt t yCC 21 C C 例例 2 求的通解 2 40 tt yy 解解 其特征方程 有根 且04 2 r2i 2i 22 2 022 arctanarctan 02 原方程有通解 是任 1 122 2cossin2 1 22 ttt t yCtCtC 21 C C 意常数 2 当 当 同一阶相似 只要求其一个特解即可 0f t 如果 次多项式 注意到 m f tP t m 2 21 2 tttt yyyy 和 1ttt yyy 因此 可以写成 21 ttt ypyqyf t 2 2 1 ttt ypypq yf t 若 1 不是其特征方程的特征根 令特解为01 qp 2 012 m tm ybbtb tb t 若 1 是其特征方程的单特征根 令特解为02 01 pqp 2 012 m tm yt bbtb tb t 若 1 是其特征方程的二重特征根 令特解为02 01 pqp 22 012 m tm ytbbtb tb t 将特解代入原方程 再比较系数确定便得到一个特解 012 m b b bb 例例 3 求的通解 2 42 tt yy 解解 前例已知其齐次的通解 故只需求一个特解 令 代入的 所以它的通解为 0t yb 2 1 0 b 是任意常数 12 1 2cossin 222 t x yCtCt 21 C C 如果 是次多项式 是常数 则非齐次方程 t m f tP t m P tm 为 21 t tttm ypyqyP t 可以直接设其特解为 其中 2 012 t sm tm yt bbtb tb t 当不是其特征方程的特征根时 0s 当是其特征方程的单特征根时 1s 当是其特征方程的二重特征根时 2s 将特解代入原方程 再比较系数确定便得到一个特解 012 m b b bb 例例 4 求的通解 2 42t tt yy 解 解 令 所以 所以其通解2t t yb 2 24 22 ttt bb 8 1 b 是任意常数 12 2 2cossin 228 t t t yCtCt 21 C C 如果 为常数 则有 t f tCb C 当不是其特征方程的特征根时 特解为 为待定系数 b t DbD 当是其特征方程的单特征根时 特解为 为待定系数 b 01 t DDt b 01 D D 当是其特征方程的二重特征根时 特解为 b 2 012 t DDtD tb 为待定系数 012 D D D 代入方程后 比较系数确定 或便得到一个特解特解 D 01 D D 012 D D D 如果 或 或 cossinf tMtNt cosMt sinNt 是实常数且 则有 NM 2 0 当不是其特征方程的特征根时 特解为cossinri 为待定系数 cossinAtBt BA 当是其特征方程的单特征根时 特解为cossinri 为待定系数 cossint AtBt BA 当是其特征方程的二重特征根时 特解为cossinri 为待定系数 2 cossintAtBt BA 代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 BA 如果 是实常数且 cossin t f tMtNt NM 是其模 则有 2 0 当不是其特征方程的特征根时 特解为 cossinri 为待定系数 cossin t AtBt BA 当是其特征方程的单特征根时 特解为 cossinri 为待定系数 cossin t tAtBt BA 当是其特征方程的二重特征根时 特解为 cossinri 为待定系数 2 cossin t tAtBt BA 代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 BA 表表 2 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解求解公式二阶常系数线性非齐次差分方程的特解求解公式 的形式 f t特解的形式 t y 取特解的条件 1 01 tt mt mt mm Q ttt 为待定系数 m 10 不是特征根 1 01 tt mt mt mm t Q tttt 为待定系数 m 10 是单特征根 t m f tP t 是次多项式 m P tm 2212 01 tt mt mt mm tQ tttt 为待定系数 m 10 是二重特征根 m f tP t 是次多项式 m P tm 1 01 mm mm Qttt 为待定系数 m 10 10pq 1 不是特征根 1 01 mm mm tQtttt 为待定系数 m 10 10pq 且2 a 1 是单特征根 2212 01 mm mm t Q tttt 为待定系数 m 10 2 1pq 1 是二重特征根 t Db 为待定系数D 不是特征根b 01 t DDt b 为待定系数 01 D D 是单特征根b t f tCb 2 012 t DDtD tb 为待定系数 012 D D D 是二重特征根b cossinAtBt 为待定系数BA cossinri 不是特征根 cossin t AtBt 为待定系数BA cossinri 是单特征根 cossinMtNt 或 cosMt 或 sinNt 2 cossin tAtBt 为待定系数BA cossinri 是二重特征根 cossin t AtBt 为待定系数BA cossinri 不是特征根 cossin t tAtBt 为待定系数BA cossinri 是单特征根 cossin t MtNt 2 cossin t tAtBt 为待定系数BA cossinri 是二重特征根 五 五 n 阶常系数的差分方程阶常系数的差分方程 这里讨论的是这样的 n 阶常系数差分方程 1111 t nt nntnt ya yaya yf t 其中 是常数 且 当时 时 11 nn aaa 0 n a 0f t 1111 0 t nt nntnt ya yaya y 是对应的齐次方程 定理 定理 是方程 t t yr 2 1111 0 t nt nntnt ya yaya y 的解的充分必要条件 r 为方程 3 1 11 0 nn nn ra rara 的根 证明略 3 式称为原方程的特征方程特征方程 下面分步讨论 1 当 当 0f t 如果 3 式有一实特征根 其重数为 则是r k kn 1 ttkt r trtr 齐次方程 2 的个线性无关的特解 k 如果 3 式有一对共轭复根其重数为 0 ri 2 kkn 将其转化为三角形式 22 0 tan 22 其中 即 则可以证明cos sin cossin ii 1 1 cos cos cos sin sin sin ttkt ttkt ttttt ttttt 是齐次差分方程 2 的个线性无关的特解 2k 上述 和 中共有特解个 将它们用任意常数组合起来即得齐次差分方程n 2 的通解 2 当 当 同一阶相似 只要求其一个特解即可 0f t 如果 次多项式 则非齐次方程为 m f tP t m 1111 t nt nntntm ya yaya yP t 可以直接设其特解为 其中 2 012 sm tm yt bbtb tb t 若 1 不是其特征方程的特征根 0s 若 1 是其特征方程的重特征根 1 k k sk 将特解代入原方程 再比较系数确定便得到一个特解 012 m b b bb 如果 是次多项式 是常数 则非齐次方程 t m f tP t m P tm 为 1111 t t nt nntntm ya yaya yP t 可以直接设其特解为 其中 2 012 t sm tm yt bbtb tb t 当不是其特征方程的特征根时 0s 当是其特征方程的重特征根 1 k k sk 将特解代入原方程 再比较系数确定便得到一个特解 012 m b b bb 如果 为常数 则有 t f tCb C 当不是其特征方程的特征根时 特解为 为待定系数 b t DbD 当是其特征方程的重特征根时 特解为 b 1 k k 01 kt k DDtD tb 为待定系数 01 k D DD 代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 01 k D DD 如果 或 或 cossinf tMtNt cosMx sinNx 是实常数且 则有 NM 2 0 当不是其特征方程的特征根时 特解为cossinri 为待定系数 cossinAtBt BA 当是其特征方程的重特征根时 特解为cossinri 1 k k 为待定系数 cossin k tAtBt BA 代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 BA 如果 或 或 cossinf tMtNt cosMt sinNt 是实常数且 则有 NM 2 0 当不是其特征方程的特征根时 特解为cossinri 为待定系数 cossinAtBt BA 当是其特征方程的重特征根时 特解为cossinri 1 k k 为待定系数 cossin k tAtBt BA 代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 BA 如果 是实常数且 cossin t f tMtNt NM 是其模 则有 2 0 当不是其特征方程的特征根时 特解为 cossinri 为待定系数 cossin t AtBt BA 当是其特征方程的重特征根时 特解为 cossinri 1 k k 为待定系数 cossin kt tAtBt BA 代入方程后 比较系数确定便得到一个特解特解 BA 表表 3 n n 阶常系数线性非齐次差分方程的特解求解公式阶常系数线性非齐次差分方程的特解求解公式 的形式 f t特解的形式 t y 取特解的条件 1 01 tt mt mt mm Q ttt